psilogic: (Default)
psilogic ([personal profile] psilogic) wrote2006-07-20 11:33 am

Прикол для любителей логики

Превращаем кванторы в *юнкции и обратно. ;)


Квантор всеобщности

∀x P(x)

означает, что P(x) истинно для любых значений x. То есть, истинно для некоего x1, и для x2, и для x3, и т.д. То есть:

∀x P(x) = P(x1) & P(x2) & P(x3) & ...

Эта последовательность бесконечна, если область значений x бесконечна.

Квантор существования

∃x P(x)

означает, что P(x) истинно для каких-то значений x, хотя бы для одного. То есть, истинно для некоего x1, или для x2, или для x3, и т.д. То есть:

∃x P(x) = P(x1) \/ P(x2) \/ P(x3) \/ ...

А теперь поюзаем законы Де Моргана:

~∀x P(x) = ~(P(x1) & P(x2) & P(x3) & ...) = ~P(x1) \/ ~P(x2) \/ ~P(x3) \/ ... = ∃x ~P(x)

Выходит, что самое широко известное правило преобразования кванторов:

~∀x P(x) = ∃x ~P(x)

- выводится из законов Де Моргана. Если область определения для x конечная, то этот вывод - строгий. Если бесконечная, то это жульничество с моей стороны, так как я фактически распространил законы Де Моргана на формулы бесконечной длины, а формулы бесконечной длины - это фишка рискованная. Но все равно зобавно :)

[identity profile] miss-lenchick.livejournal.com 2006-07-20 07:53 am (UTC)(link)
Ну, не то чтобы бесконечной...
Если уж обозначать х1, х2, х3, ... - то не более чем счетной. Там тоже не все так хорошо, но все же лучше, чем на континууме.
А вот насчет того, что можно действие кванторов сводить только к не более чем счетному множеству... Надо подумать.

[identity profile] psilogic.livejournal.com 2006-07-20 07:57 am (UTC)(link)
Угу, для несчетного даже непонятно, как обозначить серию конъюнкций/дизъюнкций, но принцип тот же :)

[identity profile] miss-lenchick.livejournal.com 2006-07-20 08:02 am (UTC)(link)
Вот я вроде помню, было вполне строгое доказательство для правила отрицания кванторов... Иэххх, где ж мой первый курс :)
Вечером в книжке посмотрю, а то не успокоюсь :)