Прикол для любителей логики

[psilogic]

Превращаем кванторы в *юнкции и обратно. ;)


Квантор всеобщности

∀x P(x)

означает, что P(x) истинно для любых значений x. То есть, истинно для некоего x1, и для x2, и для x3, и т.д. То есть:

∀x P(x) = P(x1) & P(x2) & P(x3) & ...

Эта последовательность бесконечна, если область значений x бесконечна.

Квантор существования

∃x P(x)

означает, что P(x) истинно для каких-то значений x, хотя бы для одного. То есть, истинно для некоего x1, или для x2, или для x3, и т.д. То есть:

∃x P(x) = P(x1) \/ P(x2) \/ P(x3) \/ ...

А теперь поюзаем законы Де Моргана:

~∀x P(x) = ~(P(x1) & P(x2) & P(x3) & ...) = ~P(x1) \/ ~P(x2) \/ ~P(x3) \/ ... = ∃x ~P(x)

Выходит, что самое широко известное правило преобразования кванторов:

~∀x P(x) = ∃x ~P(x)

- выводится из законов Де Моргана. Если область определения для x конечная, то этот вывод - строгий. Если бесконечная, то это жульничество с моей стороны, так как я фактически распространил законы Де Моргана на формулы бесконечной длины, а формулы бесконечной длины - это фишка рискованная. Но все равно зобавно :)

Comments

Кванторы? Для украшения аллей?.. Для устрашения людей?..

[alex-semenov.livejournal.com]

Про формулу бесконечной длинны согласен.
Рискованно. У самого есть несколько рассуждений, где хочется но...
Хотя в этом случае все получается верно.
Вот еще одна популяризация понятия "квантор".
Давайте будем рассматривать некое бесконечное и счетное множество Х как бесконечный массив. Теперь рассмотрим некий предикат (логическую функцию) P(x). Пускай для некоторых x он может быть истинным: P(x[i])=true, а для некоторых ложным P(x[i]) = false. Хотя возможно, что ни для какого или для всех.
Утверждение:

Ax: P(х)

означает для всякого х, P(x) истинно. Это значит, что следующий цикл надежно зациклится:

. . .
i=1
While  not(P(x[i])) do
   Begin
      i=i+1
   End;
. . .

Нигде на бесконечности не встретится такой x что бы P(x) = ложь.
Утверждение:

Ex: P(х)

Существует такой х что P(x) истинно. Это значит что наш цикл:

. . .
i=1
While  not(P(x[i])) do
   Begin
      i=i+1
   End;
. . .

Обязательно когда-нибудь остановится.
То есть кванторы множено рассматривать как утверждения о программных циклах. И не каких-то там примитивно-рекурсивных For, а о настоящих итерациях. :)
Как-то читал статью самого папы Вирта, где он пытался научить программистов отлавливать ошибки в программах с помощью кванторов. Но почин не зачался и остался чисто академическим мудрствованием великого и ужасного. Хотя статья написана была толково без нашей расейской зауми. Кстати, реакция ваших, Мирослав, читателей на страшилку под названием "квантор" говорит о многом. Запугали наукообразы простой люд своим крючкотворчеством. Теперь попробуй ему, люду, объясни, что крючки эти придуманы не для устрашения людей, а облегчения их же уму понимания идей... Не верят же, гады!.. :)(

Re: Кванторы? Для украшения аллей?.. Для устрашения людей

[psilogic.livejournal.com]

Запугали наукообразы простой люд своим крючкотворчеством. Теперь попробуй ему, люду, объясни, что крючки эти придуманы не для устрашения людей, а облегчения их же уму понимания идей... Не верят же, гады!.. :)(

Ну не гады, но не верят, в натуре! :)))