![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Проект "логика для чайников" - параграф 5
Бинарное отношение
Рассмотрим наглядную иллюстрацию.
Схема 1.
Даны две совокупности объектов. Совокупности изображены эллипсами, отдельные объекты - жирными точками. Между объектами есть связи, изображенные дугами. Каждая связь соединяет один объект в левой совокупности с одним объектом в правой. Все связи направлены в одну сторону, что отмечено стрелками.
На схеме 1 изображено бинарное отношение самого общего вида. В нем один объект слева может быть соединен с нулем, одним или несколькими объектами справа. И наоборот: объект справа может быть соединен с произвольным числом объектов слева.
Есть несколько названий для такой конструкции: отношение, бинарное отношение, соотношение, морфизм, отображение, многозначная функция, отношение многие-ко-многим. Если станете искать информацию по теме, будьте готовы к небольшой путанице терминов.
Пример такого отношения – это люди и дома, в которых они живут. В каком-то доме может жить несколько человек, или один, или ни одного (если дом заброшен). Отдельный человек может жить где-то в одном месте, или иметь несколько домов или быть бездомным.
На схеме 1 нет ограничений на количество связей. Пусть теперь будет одно ограничение: каждый объект слева должен быть связан ровно с одним объектом справа. Получится что-то вроде этого:
Схема 2.
Такое отношение называют функцией, однозначной функцией, отображением, гомоморфизмом, отношением многие-к-одному. Всякий гомоморфизм является бинарным отношением, но не всякое бинарное отношение является гомоморфизмом.
Пример гомоморфизма – отношение между человеческими пальцами и людьми. Каждый человеческий палец принадлежит одному определенному человеку. Но каждый человек обычно имеет 20 пальцев (хотя у инвалида их может быть ноль).
Отношение на схеме 2 несимметричное. Для объектов слева есть ограничение на количество связей. А для объектов справа - ограничения нет. То есть, с объектом справа может быть соединено любое число объектов слева. На схеме это видно.
Можно ввести дополнительное ограничение: сказать, что каждый объект справа связан ровно с одним объектом слева. То есть, теперь введены одинаковые ограничения в обоих совокупностях. Получится так:
Схема 3.
Это отношение называется изоморфизмом, отношением один-к-одному, взаимно однозначным отношением. Всякий изоморфизм является гомоморфизмом, но не всякий гомоморфизм является изоморфизмом.
Пример изоморфизма – череп и головной мозг. Каждый мозг расположен в одном черепе, каждый череп содержит ровно один мозг.
Краткий итог. Бинарное отношение общего вида - это две совокупности объектов, для которых определены связи от объектов из первой совокупности к объектам второй. В гомоморфизме каждый объект первой совокупности имеет ровно одну связь. В изоморфизме такое же ограничение вводится и для объектов второй совокупности.
В логике и математике все эти конструкции имеют широкое применение, они очень важны. Есть еще много всяких "-измов", перечислять все нет смысла. Вот последний пример: "автоморфизм". Это такое отношение, когда первая и вторая совокупности совпадают:
Схема 4.
Рассмотрим наглядную иллюстрацию.
Схема 1.
Даны две совокупности объектов. Совокупности изображены эллипсами, отдельные объекты - жирными точками. Между объектами есть связи, изображенные дугами. Каждая связь соединяет один объект в левой совокупности с одним объектом в правой. Все связи направлены в одну сторону, что отмечено стрелками.
На схеме 1 изображено бинарное отношение самого общего вида. В нем один объект слева может быть соединен с нулем, одним или несколькими объектами справа. И наоборот: объект справа может быть соединен с произвольным числом объектов слева.
Есть несколько названий для такой конструкции: отношение, бинарное отношение, соотношение, морфизм, отображение, многозначная функция, отношение многие-ко-многим. Если станете искать информацию по теме, будьте готовы к небольшой путанице терминов.
Пример такого отношения – это люди и дома, в которых они живут. В каком-то доме может жить несколько человек, или один, или ни одного (если дом заброшен). Отдельный человек может жить где-то в одном месте, или иметь несколько домов или быть бездомным.
На схеме 1 нет ограничений на количество связей. Пусть теперь будет одно ограничение: каждый объект слева должен быть связан ровно с одним объектом справа. Получится что-то вроде этого:
Схема 2.
Такое отношение называют функцией, однозначной функцией, отображением, гомоморфизмом, отношением многие-к-одному. Всякий гомоморфизм является бинарным отношением, но не всякое бинарное отношение является гомоморфизмом.
Пример гомоморфизма – отношение между человеческими пальцами и людьми. Каждый человеческий палец принадлежит одному определенному человеку. Но каждый человек обычно имеет 20 пальцев (хотя у инвалида их может быть ноль).
Отношение на схеме 2 несимметричное. Для объектов слева есть ограничение на количество связей. А для объектов справа - ограничения нет. То есть, с объектом справа может быть соединено любое число объектов слева. На схеме это видно.
Можно ввести дополнительное ограничение: сказать, что каждый объект справа связан ровно с одним объектом слева. То есть, теперь введены одинаковые ограничения в обоих совокупностях. Получится так:
Схема 3.
Это отношение называется изоморфизмом, отношением один-к-одному, взаимно однозначным отношением. Всякий изоморфизм является гомоморфизмом, но не всякий гомоморфизм является изоморфизмом.
Пример изоморфизма – череп и головной мозг. Каждый мозг расположен в одном черепе, каждый череп содержит ровно один мозг.
Краткий итог. Бинарное отношение общего вида - это две совокупности объектов, для которых определены связи от объектов из первой совокупности к объектам второй. В гомоморфизме каждый объект первой совокупности имеет ровно одну связь. В изоморфизме такое же ограничение вводится и для объектов второй совокупности.
В логике и математике все эти конструкции имеют широкое применение, они очень важны. Есть еще много всяких "-измов", перечислять все нет смысла. Вот последний пример: "автоморфизм". Это такое отношение, когда первая и вторая совокупности совпадают:
Схема 4.
no subject
Кстати, тут вот написано:
> Многое из того, что вы прочтете здесь, может вызвать у вас реакцию отторжения. Будьте готовы встретиться лицом к лицу с темной стороной логики... или закройте книгу прямо сейчас!
Эти параграфы собирались стать книгой?? или даже стали?
no subject
no subject
Хотя я сам недавно женился, и ребенок только появился, скоро станет понятнее, что с людьми в семье происходит (;
И наверное, доступная книга про логику думаю нашла бы своего потребителя и поклонника, т.к. зубодробительные значки в среднем для людей скучны и страшны.