![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Проект "логика для чайников". Параграф 37
Свойства условных высказываний
Помимо двух modus-ов, есть еще ряд полезных свойств условных высказываний.
Обращение условия
(X =>> Y) =>> (~Y =>> ~X)
(~X =>> ~Y) =>> (Y =>> X)
Так из одного условного высказывания можно получить другое. Например дано: “если это селедка, то это рыба”. Можно получить: “если это НЕ рыба, то это НЕ селедка”. И наоборот. Метод действует в обе стороны.
Цепочка условий
( (X =>> Y) & (Y =>> Z) ) =>> (X =>> Z)
Если мы можем составить цепочку условных высказываний, где заключений одного высказывания является посылкой другого, то мы можем объединить эту цепочку в одно высказывание, взяв концы цепочки.
Например, дано: “если это селедка, то это рыба”, “если это рыба, то у нее есть хвост”. Можно получить: “если это селедка, то у нее есть хвост”. Тем же методом можно составить цепочку любой длины и потом взять только ее концы.
Данное свойство называется “транзитивностью”.
Условия для “И”
Операция логического “И” позволяет строить высказывания вида:
(A & B) =>> A
(A & B) =>> B
Высказывание A И B истинно, когда истинны оба: и A, и B. А раз истинны оба, значит и каждое по отдельности (именно об этом приведенные правила). Например: “если шушпанчики рыжие и пушистые, то шушпанчики рыжие”. Если мы можем утверждать сразу две вещи, то можем ограничиться и только одной.
Условия для “ИЛИ”
Операция логического “ИЛИ” позволяет строить высказывания вида:
A => ( A \/ B )
B => ( A \/ B )
Высказывание A ИЛИ B истинно, когда истинны хотя бы одно: A, или B (а можно оба). Правило говорит о том, что для того, чтобы доказать истинность A \/ B, достаточно доказать только истинность A или только истинность B. Например: “если человек украл вещи или человек украл деньги, то он вор”. Можно получить: “если человек украл вещи, то он вор”.
Условия для “XOR”
Операция логического “XOR” позволяет строить высказывания вида:
( ~A & ( A ⊕ B ) ) => B
( ~B & ( A ⊕ B ) ) => A
( A & ( A ⊕ B ) ) => ~B
( B & ( A ⊕ B ) ) => ~A
(если у кого-то не отображается значок "⊕", то там плюс в кружочке)
Высказывание A XOR B истинно, когда истинно только одно: либо A, либо B (но не оба). Правило говорит о том, что если уже доказано, что A XOR B истинно, то можно делать заключения об истинности одной из частей по истинности другой:
Если A ложно (доказано НЕ A), тогда истинно B.
Если B ложно (доказано НЕ B), тогда истинно A.
Если A истинно, тогда ложно B (можно доказать НЕ B).
Если B истинно, тогда ложно A (можно доказать НЕ A).
Например: “Человек может быть либо женского, либо мужского пола. Если человек не женского пола, тогда мужского”.
Обратите внимание, что правила для XOR похожи на modus-ы.
Опровержение условного высказывания
К сожалению, не существует простого и единого правила, которое позволяет доказать некое условное высказывание. Я сейчас не буду это обсуждать, так как тема требует дополнительных знаний, которые еще не изложены в учебнике. Но, хотя нет единого правила для доказательства условных высказываний, есть такое правило для опровержения.
( A & ~B ) => ~( A =>> B )
Поясню словами. Чтобы опровергнуть утверждение “ЕСЛИ A, ТО B”, нужно найти случай, когда A истинно, но B ложно. Например: “если это рыба, то это селедка”. Это неправильно, так как, например, лосось – это рыба (истинно A), но не селедка (B ложно).
Помимо двух modus-ов, есть еще ряд полезных свойств условных высказываний.
Обращение условия
(X =>> Y) =>> (~Y =>> ~X)
(~X =>> ~Y) =>> (Y =>> X)
Так из одного условного высказывания можно получить другое. Например дано: “если это селедка, то это рыба”. Можно получить: “если это НЕ рыба, то это НЕ селедка”. И наоборот. Метод действует в обе стороны.
Цепочка условий
( (X =>> Y) & (Y =>> Z) ) =>> (X =>> Z)
Если мы можем составить цепочку условных высказываний, где заключений одного высказывания является посылкой другого, то мы можем объединить эту цепочку в одно высказывание, взяв концы цепочки.
Например, дано: “если это селедка, то это рыба”, “если это рыба, то у нее есть хвост”. Можно получить: “если это селедка, то у нее есть хвост”. Тем же методом можно составить цепочку любой длины и потом взять только ее концы.
Данное свойство называется “транзитивностью”.
Условия для “И”
Операция логического “И” позволяет строить высказывания вида:
(A & B) =>> A
(A & B) =>> B
Высказывание A И B истинно, когда истинны оба: и A, и B. А раз истинны оба, значит и каждое по отдельности (именно об этом приведенные правила). Например: “если шушпанчики рыжие и пушистые, то шушпанчики рыжие”. Если мы можем утверждать сразу две вещи, то можем ограничиться и только одной.
Условия для “ИЛИ”
Операция логического “ИЛИ” позволяет строить высказывания вида:
A => ( A \/ B )
B => ( A \/ B )
Высказывание A ИЛИ B истинно, когда истинны хотя бы одно: A, или B (а можно оба). Правило говорит о том, что для того, чтобы доказать истинность A \/ B, достаточно доказать только истинность A или только истинность B. Например: “если человек украл вещи или человек украл деньги, то он вор”. Можно получить: “если человек украл вещи, то он вор”.
Условия для “XOR”
Операция логического “XOR” позволяет строить высказывания вида:
( ~A & ( A ⊕ B ) ) => B
( ~B & ( A ⊕ B ) ) => A
( A & ( A ⊕ B ) ) => ~B
( B & ( A ⊕ B ) ) => ~A
(если у кого-то не отображается значок "⊕", то там плюс в кружочке)
Высказывание A XOR B истинно, когда истинно только одно: либо A, либо B (но не оба). Правило говорит о том, что если уже доказано, что A XOR B истинно, то можно делать заключения об истинности одной из частей по истинности другой:
Если A ложно (доказано НЕ A), тогда истинно B.
Если B ложно (доказано НЕ B), тогда истинно A.
Если A истинно, тогда ложно B (можно доказать НЕ B).
Если B истинно, тогда ложно A (можно доказать НЕ A).
Например: “Человек может быть либо женского, либо мужского пола. Если человек не женского пола, тогда мужского”.
Обратите внимание, что правила для XOR похожи на modus-ы.
Опровержение условного высказывания
К сожалению, не существует простого и единого правила, которое позволяет доказать некое условное высказывание. Я сейчас не буду это обсуждать, так как тема требует дополнительных знаний, которые еще не изложены в учебнике. Но, хотя нет единого правила для доказательства условных высказываний, есть такое правило для опровержения.
( A & ~B ) => ~( A =>> B )
Поясню словами. Чтобы опровергнуть утверждение “ЕСЛИ A, ТО B”, нужно найти случай, когда A истинно, но B ложно. Например: “если это рыба, то это селедка”. Это неправильно, так как, например, лосось – это рыба (истинно A), но не селедка (B ложно).
Re: windows (не для "чайнегов" :))
Это ненужная "надстройка". Можно продолжать "сказку про белого бычка", "утверждаю, что утверждаю, ..." Ясно, что это ни к чему. ]
Я просто подчеркнул, что все-таки у вас получилось высказывание. "Утверждение", "высказывание" - синонимы.
Про "окна" - этот подход удаляет нас от решения конечной задачи - формализации если-то. В естественном языке если-то сплошь и рядом рассматривается как высказывание, ему приписывается истинность или ложность, никто не отделяет его "в отдельное окно" для каких-то "неприкасаемых" текстов. То есть, исчисление такое построить можно, но оно не будет описывать если-то.
[ Ваш аргумент говорит ровно следующее: если конъюнкция истинна, то импликация тоже истинна. ]
Да, с этим возражением согласен.
шаблоны
Можно было для краткости не приводить длинного куска текста про траву и воду. Достаточно было указать, что Вы не считаете само импликативное высказывание истинным из-за отстутствия связи между посылкой и заключением.
> у вас получилось высказывание
Нет, я с этим не согласен. Разрешение имеет иной статус. Это более чем принципиально. У Вас внимание направлено в основном на то, что имеет истинностные значения. Я давно пришёл к выводу, что это ограничение слишком сильное, и именно оно порождает многие парадоксы и несоответствия.
Если Вы стремитесь к "ревизии" толкования каких-то "классических" вещей, то само стремление я всецело поддерживаю, причём считаю, что этими вещами нужно заниматься. Я при этом с горечью констатирую, что значение такого рода "ревизий" не понимает практически никто. "А зачем это нужно?" или "а что это даст?" -- только это и приходится слышать.
Поскольку Вы явно имеете как вкус к этой проблематике, так и чутьё, то я очень рекомендовал бы Вам подходить к этому вопросу ещё более свободно. В частности, не сводить всё к "утверждениям", поскольку кроме них есть ещё очень много всего. Правила, разрешения -- это вещи совсем иной природы.
То же самое касается формализации "если ... то". Я не исключаю, что удовлетворительное разрешение этого вопроса может заключаться (и даже, скорее всего, заключается) в чём-то ином. Например, в придании условным суждениям иного статуса. Именно такая идея у меня и возникла.
В любом случае, я считаю полезным отходить от "шаблонов" и "стандартов". Или хотя бы допускать такую возможность.
Re: шаблоны
Ну надо же было доказать, что если-то - не функция истинности операндов.
[ У Вас внимание направлено в основном на то, что имеет истинностные значения. ]
Скажем так: любой текст, который имеет единственное истинностное значение, я называю (по определению) высказыванием (синином: утверждением). Если вы хотите придать высказыванию какой-то дополнительный статус, чтобы отличить его от других высказываний, это на здоровье. Получится, что некоторые высказывания будут правилами, разрешениями и т.п. - ну и пускай.
"А что это даст?" - именно! И я тоже сразу буду долбить вас таким вопросом, я же злостный прикладник ;)))) Ревизии должны быть чем-то оправданы. Просто перефразировка известного? Зачем? Чтобы создать иллюзию новизны на пустом месте? Такничесна! Обязательно должен быть хоть какой-то "бонус". Вот как у вас в изложении исчисления высказываний. Не надо доказывать метатеорему дедукции - это большой бонус. Замена интуитивно малопонятных аксиом более понятными правилами - это тоже бонус. А вот переименование правил вывода в правила рассуждения - нет, извиняйте, это уже подозрительно напоминает перефразировку. "Значение ревизий не понимает никто" - так назовите это значение - тогда и поймут! :) Просто перефразировка заменяет привычные слова на непривычные, заставляет отвлекаться не на суть проблемы, а на перевод с непривычного языка на привычный типа... а вот он называет ... то, что я называю...