Проект "логика для чайников". Параграф 39

[psilogic]

Про формальную логику говорят, что она "абстрагируется от содержания", оперируя только истинностью. Что это значит? Можно показать на примере наглядно.

Абстрагирование в логике

Осмысленный текст содержит некоторое количество информации. Или, если говорить более обыденным языком, текст о чем-то сообщает.

Возьму случайную фразу из текста, который я только что читал:

"Дым распространился по аудитории".

Что можно из нее извлечь? Что написана она на русском, что в ней 4 слова, что в ней нет грамматических ошибок, что она сообщает про дым, про распространение, про аудиторию, что она говорит о прошлом... ну и так далее. Если бы я сам находился в той аудитории и в тот момент, я смог бы сказать, истинна эта фраза или ложна.

Таким образом, истинность или ложность - это некоторая характеристика текста, которую можно получить, но это не сам текст. Символом "Tr" я буду обозначать функцию, которая "на вход" принимает текст, а на выходе дает его истинность. Допустим, тогда в аудитории правда надымили. Тогда:

Tr("Дым распространился по аудитории") = true

А сами константы "true" и "false" не несут никакой другой нагрузки, кроме истинности:

Tr(true) = true
Tr(false) = false

Про формальную логику говорят, что она "абстрагируется от содержания", оперируя только истинностью. Вот как раз с помощью этой функции можно показать, что это за "абстрагирование".

Пусть дан текст с союзом "и":

"На собрании присутствовали менеджер и инженер".

Истинность этого высказывания зависит 1) от присутствия менеджера, 2) от присутствия инженера. Оба должны быть на собрании, иначе получится неправда. Можно переформулировать фразу так, чтобы в ней получилось два полных предложения:

"На собрании присутствовал менеджер и на собрании присутствовал инженер".

Это уже не тот текст, что прежде, но истинность у него такая же. Значок "Tr" позволяет это выразить:

Tr("На собрании присутствовали менеджер и инженер") = Tr("На собрании присутствовал менеджер и на собрании присутствовал инженер").

Здесь можно использовать операцию "логическое И":

Tr("На собрании присутствовал менеджер") И Tr("На собрании присутствовал инженер").

Пусть менеждер присутствовал, а инженер - нет. Тогда:

Tr("На собрании присутствовал менеджер") = true
Tr("На собрании присутствовал инженер") = false

Теперь вся цепочка целиком:

Tr("На собрании присутствовали менеджер и инженер")
= Tr("На собрании присутствовал менеджер и на собрании присутствовал инженер")
= Tr("На собрании присутствовал менеджер") И Tr("На собрании присутствовал инженер")
= true И false
= false

Здесь наглядно видно то самое "абстрагирование". Сначала одну фразу заменили другой, очень похожей по смыслу. То есть, для начала "абстрагировались" от конкретного варианта написания. Потом фразу разбили на две части, лишь бы результат получился правильный. Потом тексты вообще исчезли, остались лишь true и false - здесь от всего текста осталась только истинность частей и "логический скелет" в виде операции "И". Наконец, даже и это исчезло, осталась одна "голая" истинность, равная false (фраза оказалась ложной).

Большая часть информации о первоначальном тексте утеряна, но цель то была - "вычислить" истинность, и ее "вычислили".

Comments

[arifg.livejournal.com]

Я бы как пример абстрагирования и парадоксов, к которым оно может привести, привел известный парадокс брадобрея. Ясно, что описанная в нем ситуация в жизни невозможна - брадобрей не может быть брадобреем все 24 часа в сутки, поэтому нет ничего парадоксального в том, что он не является профессиональным брадобреем, когда бреется сам и может нарушать условия задачи. Абстрагирование же такую возможность исключает, что и приводит к парадоксу.

[psilogic.livejournal.com]

Я не думаю, что вот такое абстрагирование связано с парадоксом брадобрея. В данном случае абстрагирование заключается в том, что мы последовательно "забываем" о разных свойствах текста, которые нам не нужны. В этом нет ничего предосудительного, в естественных науках происходит то же самое. Для расчета баллистики снаряда, мы берем его массу, может быть еще форму, но нам пофиг, из чего он сделан.

А в парадоксе брадобрея речь о другом абстрагировании, если это вообще можно назвать абстрагированием - там неявно утверждается, что описанный словами брадобрей может существовать, хотя непонятно, с чего бы вдруг. Не все, что можно выразить словами, встречается в природе.

[arifg.livejournal.com]

там неявно утверждается, что описанный словами брадобрей может существовать, хотя непонятно, с чего бы вдруг.

Дык, по-моему, все тоже самое - как в реальности не существует снаряда, летящего лишь строго по законам баллистики, так не существет и абстрактного брадобрея, который бреет лишь тех, кто не бреется сам. Хотя, согласен, в подобных парадоксах всегда есть элемент софистики, заключающийся в неявной подмене реального объекта на его абстракцию.

[psilogic.livejournal.com]

[ в реальности не существует снаряда, летящего лишь строго по законам баллистики ]

Ну добавить погрешность в законы баллистики - и будет строго :)

[ Кстати, помнишь задачку про то, что из всесокрушаюшей пушки стреляют по несокрушаемой стене? ]

Неа, не помню. Но это выглядит просто как противоречие. Типа: если выстрелить и не выстрелить - будет ли выстрел.

[arifg.livejournal.com]

Ну добавить погрешность в законы баллистики - и будет строго :)

Неа, не будет. Как доказал товарищ Пригожин, абсолютную погрешность вычислить невозможно даже для макрообъектов, поскольку всегда присутствет элемент нелинейности. Не говоря уж о квантовых эффектах.

Неа, не помню. Но это выглядит просто как противоречие. Типа: если выстрелить и не выстрелить - будет ли выстрел.

О, ну ты много потерял - это одна из моих любимейших логических задач, очень элегантная. Дело в том, что не смотря на кажущееся противречие она имеет строгое решение. Дело вот в чем - в отличие от "несокрушаемой стены" "всесокрушающая пушка" не может существовать даже в виде абстракции , поскольку квантор всеобщности неприменим к понятию "сокрушать", т.к. существуют понятия, к которым неприменимо само понятие "сокрушать". Ну, например, нельзя даже принципиально "сокрушить свет" или "согрушить газ". Если же мы искусственно ограничиваем область применения данного термина лишь объектами, к которым понятие "соркушать" применимо, то получается тавтология - "пушка, сокрушающая все, что можно сокрушить". Однако, в такм случае мы попадаем в ловушку - "несокрушаемая стена" как раз в число подобных объектов и не входит по своему определению :)

[psilogic.livejournal.com]

[ Если же мы искусственно ограничиваем область применения данного термина лишь объектами, к которым понятие "соркушать" применимо, то получается тавтология - "пушка, сокрушающая все, что можно сокрушить". ]

Тут одна ашыпка: получится пушка, сокрушающая все, к чему можно применить понятие сокрушения.

[psilogic.livejournal.com]

Вторая трабла: а можно ли стену принципиально сокрушить ЧЕМ угодно? Например, сокрушить лохматостью или совестью. Если нет, тогда квантор существования тоже применим не ко всем сокрушалкам.

[arifg.livejournal.com]

Кстати, помнишь задачку про то, что из всесокрушаюшей пушки стреляют по несокрушаемой стене? А решение ее знаешь? Вот тоже яркий пример чрезмерного абстрагирования, приводящего к абсурду.

[alisarin.livejournal.com]

В парадоксе брадобрея речь идет о неопределенности позиции по отношению к ситуации: как бы сказали лингвисты, брадобрей и агенс, и пациенс одновременно. И речь идет о смешнии двух структур связей: агенс - прочим пациенсам, и активность агенса на самое себя.

И дальше анализ предпосылок, можно ли эти две структуры связей смешивать ... На мой взгляд, при "активности на самое себя" обещание неуместно. А самое главное - статусный дуализм требует закрепления брадобрея в одном из статусов, иначе ассоциативный порядок логики рушится :))