[Разница здесь заключается в том, как формализовать конструкции вида если... то.
...
по схеме "material implication":
если A(x) то B(x) = A(x) =>B(x)
..
по схеме "strict implication":
если A(x) то B(x) = ∀x:A(x) =>B(x)
]
Теперь я понял, почему меня все это запутывает. Просто я после фразы "действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем" интуитивно понимаю (Про себя: "контрпримером опровергается квантор всеобщности"), что выбран второй вариант. И дальнейшее использование первого для меня выглядит несколько странно.