Мне почему-то всегда казалось, что ложные утверждения также выводятся. Т.е. например если нам известна истинность A, то мы можем сделать вывод (т.е. вывести), что не-A ложно.
Из ложных тогда получается нельзя выводить истинные? Т.е. если мы знаем, что не-A ложно, то мы не можем вывести, что A истинно? Т.е. надо обязательно искать истинное и из него выводить?
---
Сейчас пытаюсь разобраться с док-вом от противного, а парадокс лжеца просто пример. На нем как-то не совсем получается донести мысль.. Попробуем с примером в вики? там где корень из 2-х: http://ru.wikipedia.org/wiki/Доказательство_от_противного
Изначально есть утверждение (Y): "\sqrt{2} рационально". Так понимаю, что Y изначально может находится в одном из 3-х состояний: [1] выводимо и истинно ("\sqrt{2} рационально"). [2] ложно ("\sqrt{2} не является рациональным"). [3] невыводимо (неизвестно, рационально \sqrt{2} или нет и узнать в рамках данной теории невозможно).
Теперь попробуем док-ть, как в вики. Допустим противное Y: "\sqrt{2} рационально" (то, что выполняется [1], т.е. что Y в состоянии [1]). Потом бла-бла-бла, приходим к противоречию. В качестве вывода в вики написано:
"Значит, исходное предположение было неверным, и \sqrt{2} — иррациональное число."
Каким образом?
Мы приняли, что Y выполняется. Ничего не вышло. Я так понимаю, что из этого следует, что Y не может находится в состоянии [1] ( выводимо и истинно ("2 рационально") ), но может находится в состоянии [2] или [3]. Но в вики делается вывод о том, что Y находится в состоянии [2], т.е. это не рациональное число. Почему утверждение не может находится в состоянии [3], т.е. быть невыводимым?
no subject
Из ложных тогда получается нельзя выводить истинные? Т.е. если мы знаем, что не-A ложно, то мы не можем вывести, что A истинно? Т.е. надо обязательно искать истинное и из него выводить?
---
Сейчас пытаюсь разобраться с док-вом от противного, а парадокс лжеца просто пример. На нем как-то не совсем получается донести мысль.. Попробуем с примером в вики? там где корень из 2-х:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Доказательство_от_противного
Изначально есть утверждение (Y): "\sqrt{2} рационально".
Так понимаю, что Y изначально может находится в одном из 3-х состояний:
[1] выводимо и истинно ("\sqrt{2} рационально").
[2] ложно ("\sqrt{2} не является рациональным").
[3] невыводимо (неизвестно, рационально \sqrt{2} или нет и узнать в рамках данной теории невозможно).
Теперь попробуем док-ть, как в вики. Допустим противное Y: "\sqrt{2} рационально" (то, что выполняется [1], т.е. что Y в состоянии [1]). Потом бла-бла-бла, приходим к противоречию. В качестве вывода в вики написано:
"Значит, исходное предположение было неверным, и \sqrt{2} — иррациональное число."
Каким образом?
Мы приняли, что Y выполняется. Ничего не вышло. Я так понимаю, что из этого следует, что Y не может находится в состоянии [1] ( выводимо и истинно ("2 рационально") ), но может находится в состоянии [2] или [3]. Но в вики делается вывод о том, что Y находится в состоянии [2], т.е. это не рациональное число. Почему утверждение не может находится в состоянии [3], т.е. быть невыводимым?