[ Мне почему-то всегда казалось, что ложные утверждения также выводятся. Т.е. например если нам известна истинность A, то мы можем сделать вывод (т.е. вывести), что не-A ложно. ]
Тут две очень важные оговорки. Во-первых, да, ложные выводятся. Но во-вторых то, что вы привели не ложное!
Начну со второго.
Высказывание "не-А ложно" истинно и мы его можем вывести, да. Однако это не будет высказывание просто "не А"! Если вспомнить правила булевой алгебры, то сравните: ~ A = false и просто ~ A Когда A истинно, первое истинно, второе - ложно.
Теперь о первой оговорке.
Ложное утверждение можно вывести, но не из аксиом! Его можно вывести из так называемой "гипотезы" - так называют утверждения, которые сами пока ниоткуда не выведены.
И вот в этом как раз заложен метод от противного. Если мы из гипотезы G вывели A, про которое известно, что оно ложно, то мы тем самым вывели не-G. То есть тогда не-G выводимо и истинно, не-A тоже выводимо и истинно, а A и G невыводимы и ложны.
Или схематично:
Если ((если G то A) и не A) то (не G)
[ Я так понимаю, что из этого следует, что Y не может находится в состоянии [1] ( выводимо и истинно ("2 рационально") ), но может находится в состоянии [2] или [3]. ]
Нет, идея док-ва от противного в том, что состояни [3] тогда быть не может. Отличие от парадокса лжеца в том, что там мы не смогли получить ложное утверждение на выходе.
no subject
Тут две очень важные оговорки. Во-первых, да, ложные выводятся. Но во-вторых то, что вы привели не ложное!
Начну со второго.
Высказывание "не-А ложно" истинно и мы его можем вывести, да. Однако это не будет высказывание просто "не А"! Если вспомнить правила булевой алгебры, то сравните:
~ A = false
и просто
~ A
Когда A истинно, первое истинно, второе - ложно.
Теперь о первой оговорке.
Ложное утверждение можно вывести, но не из аксиом! Его можно вывести из так называемой "гипотезы" - так называют утверждения, которые сами пока ниоткуда не выведены.
И вот в этом как раз заложен метод от противного. Если мы из гипотезы G вывели A, про которое известно, что оно ложно, то мы тем самым вывели не-G. То есть тогда не-G выводимо и истинно, не-A тоже выводимо и истинно, а A и G невыводимы и ложны.
Или схематично:
Если ((если G то A) и не A) то (не G)
[ Я так понимаю, что из этого следует, что Y не может находится в состоянии [1] ( выводимо и истинно ("2 рационально") ), но может находится в состоянии [2] или [3]. ]
Нет, идея док-ва от противного в том, что состояни [3] тогда быть не может. Отличие от парадокса лжеца в том, что там мы не смогли получить ложное утверждение на выходе.