![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Текстовый парадокс
Тексты могут определять целые числа. Например текст "три" определяет число 3, текст "два в квадрате" определяет число 4.
Рассмотрим все возможные тексты на русском языке длиной не более 1000 символов. Количество таких текстов конечно. Верхний предел - количество возможных комбинаций из 1000 символов. Каждый символ может быть русской буквой (большой или малой), пробелом, знаком препинания, цифрой. В общем, число разных символов тоже ограничено, скажем сотней. Итого может быть не более 100 в степени 1000 текстов. Число астрономически большое, но конечное.
Среди текстов возьмем тот, который определяет самое большое целое число по сравнению с другими текстами. Возьмем число на единицу большее.
--
Текст выше черточек "--" написан на русском языке и длиной длиной не более 1000 символов. Он определяет целое число, которое... больше максимально возможного для таких текстов. Парадокс.
--
В чем здесь дело?
Данный парадокс представляет собой чистый софизм, то бишь рассуждение со скрытой логической ошибкой. Неявно предполагалось, что учитываются только те тексты, которые определяют только одно число. Для рассуждения важно, чтобы число определенных чисел было конечно, поскольку конечное подмножество целых чисел имеет максимум. Если же хотя бы один текст определяет бесконечное количество целых чисел, то рассуждение не получается. Например, текст "все целые числа" все портит.
Кажется очевидным, что такие тексты не надо при подсчете принимать во внимание, как и те тексты, которые не выражают вообще никаких чисел или выражают, но не целые (чтобы не заморачиваться введением меры).
Но приведенный текст как раз и относится к тем текстам, что не определяют конкретного числа, либо определяют бесконечное количество чисел, просто это хорошо скрыто.
В тексте есть инструкция: "возьмем тот, который определяет самое большое целое число по сравнению с другими текстами". Допустим мы определили максимум M для всех прочих текстов. А какое число определяет текст из парадокса?
Надо признать, что никакое, т.е. этот текст должен быть исключен из рассмотрения. И максимальное число - по прежнему M.
Если же мы предположим, что текст определяет некое конкретное число Z, тогда, перечитав текст еще раз, мы придем к выводу, что он определяет число max(Z,M) + 1. Перечитав еще раз, мы придем к выводу, что он определяет число max(Z,M) + 2. И так далее, бесконечная рекурсия (или индукция - как кому нравится). Тогда этот текст определяет бесконечное количество чисел, а такие тексты тоже полагается из рассмотрения исключать. И максимальное число - по прежнему M, и никакого парадокса.
Рассмотрим все возможные тексты на русском языке длиной не более 1000 символов. Количество таких текстов конечно. Верхний предел - количество возможных комбинаций из 1000 символов. Каждый символ может быть русской буквой (большой или малой), пробелом, знаком препинания, цифрой. В общем, число разных символов тоже ограничено, скажем сотней. Итого может быть не более 100 в степени 1000 текстов. Число астрономически большое, но конечное.
Среди текстов возьмем тот, который определяет самое большое целое число по сравнению с другими текстами. Возьмем число на единицу большее.
--
Текст выше черточек "--" написан на русском языке и длиной длиной не более 1000 символов. Он определяет целое число, которое... больше максимально возможного для таких текстов. Парадокс.
--
В чем здесь дело?
Данный парадокс представляет собой чистый софизм, то бишь рассуждение со скрытой логической ошибкой. Неявно предполагалось, что учитываются только те тексты, которые определяют только одно число. Для рассуждения важно, чтобы число определенных чисел было конечно, поскольку конечное подмножество целых чисел имеет максимум. Если же хотя бы один текст определяет бесконечное количество целых чисел, то рассуждение не получается. Например, текст "все целые числа" все портит.
Кажется очевидным, что такие тексты не надо при подсчете принимать во внимание, как и те тексты, которые не выражают вообще никаких чисел или выражают, но не целые (чтобы не заморачиваться введением меры).
Но приведенный текст как раз и относится к тем текстам, что не определяют конкретного числа, либо определяют бесконечное количество чисел, просто это хорошо скрыто.
В тексте есть инструкция: "возьмем тот, который определяет самое большое целое число по сравнению с другими текстами". Допустим мы определили максимум M для всех прочих текстов. А какое число определяет текст из парадокса?
Надо признать, что никакое, т.е. этот текст должен быть исключен из рассмотрения. И максимальное число - по прежнему M.
Если же мы предположим, что текст определяет некое конкретное число Z, тогда, перечитав текст еще раз, мы придем к выводу, что он определяет число max(Z,M) + 1. Перечитав еще раз, мы придем к выводу, что он определяет число max(Z,M) + 2. И так далее, бесконечная рекурсия (или индукция - как кому нравится). Тогда этот текст определяет бесконечное количество чисел, а такие тексты тоже полагается из рассмотрения исключать. И максимальное число - по прежнему M, и никакого парадокса.
no subject
no subject
Парадокс Рассела - настоящий парадокс, который соблюдает правила логической системы, в которой он построен (правила наивной теории множеств). там нет никаких скрытых уловок, спрятанных нарушений логики. И, тем не менее, он приводит к противоречию. То есть, наивная теория множеств противоречива.
Это же парадокс содержит скрытое нарушение логики. Как только нарушение устраняется, противоречие исчезает. Поэтому это парадокс из разряда софизмов как апории Зенона.
no subject
Рассмотрим множество, содержащее все объекты, которые с использованием русского языка могут быть описаны фразой, состоящей из менее, чем двадцати слов. Рассмотрим объект, который не может быть описан фразой, состоящей из менее чем двадцати слов. С одной точки зрения, этот объект попадает в множество, с другой — не попадает :)
no subject
"объект, который не может быть описан фразой, состоящей из менее чем двадцати слов" - это фраза. Но описывает ли она объект? Непонятно.
Если определить понятие более строго, то можно прийти к разным выводам. Например, к тому, что такого объекта не существует, а описать можно все объекты. Например, фраза "любой объект" - описывает все объекты.
Или, как вариант, можно прийти к тому, что фраза все-таки не описывает объект. Надо уточнять, что есть "описан фразой".
no subject
no subject
no subject
no subject