![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Интерпретация "возможных миров"
Продолжаю импровизированную научно-логическую конференцию, которую начали ![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
solomon2 и falcao :)
Я решил продемонстрировать, как решается в неклассической логике парадокс, изложенный ранее.
Термин “модальная логика”. Модальные логики – это логические системы, которые пытаются имитировать дополнительные оттенки обычной речи, которые не формализуются в классической логике – в том числе модальные глаголы “может”, “должен”, прилагательные “возможный”, “необходимый” и т.п. Я не знаю, по какому принципу слова относятся к модальным или немодальным – так что не могу очертить четкую границу модальных логик. Вопрос к френдам-лингвистам и филологам, кстати.
Например, вводится некий значок (пусть будет $B), который читается как “возможно” и претендует на то, чтобы моделировать наречие “возможно”. По тому же принципу вводится значок “необходимо” (пусть будет $H).
Например:
“возможно, что x и y”
записывается как
“$B (x and y)”.
Например:
“необходимо, чтобы x или не x”
записывается как
“$H (x or not x)”.
Модальных логик много всяких, но их классификация, как говорится, “не доставляет”. Замечу только, что самую первую модальную логику изобрел еще Аристотель (наделав при этом парочку ошибок в выкладках).
Одна из проблем – как себе представить понагляднее операции в модальной логике, может быть, как-нибудь выразить их в классической логике. И вообще, чтобы как-то можно было это вычислять.
Одна из идей – это так называемая “интерпретация возможных миров”. Идея состоит в том, что мы должны себе представить разные “миры”, в которых ситуация сложилась так или иначе. Это и будут возможные миры.
Если хотя бы в одном из возможных миров ситуация сложилась так, как описывает некая логическая формула, то перед этой формулой можно поставить значок “возможно”, и получится истинная формула.
Если во всех возможных мирах ситуация сложилась так, как описывает некая логическая формула, то перед этой формулой можно поставить значок “необходимо”, и получится истинная формула.
На мой взгляд “возможные миры” – это звучит слишком напыщенно. Еще мне не нравится предложение “представить себе” разные миры и отнести к невозможным те, которые представить себе не удастся. Опора на воображение выглядит зыбкой. Мало ли, у кого какая фантазия, и как далеко она заходит.
Я хочу предоложить немного другую метафору. Она эквивалентна интерпретации возможных миров, но кажется мне более легкой для понимания.
Отличий будет два.
Во-первых, не возможные миры, а возможные ситуации в нашем мире. Это более реалистично.
Во-вторых, опора не на воображение, а на практическую задачу. К возможным будем относить те ситуации, которые мы считаем достаточно вероятными в нашем мире, чтобы их рассматривать. Скажем, вероятность того, что самолет с китайскими проститутками и африканскими людоедами сейчас врежется в мой дом, ненулевая. Но тратить время на рассмотрение этой ситуации непрактично. Что практично рассматривать, а что нет – зависит от конкретной задачи.
Свою интерпретацию я назову “метафорой практически возможных ситуаций”.
Теперь рассмотрим тот парадокс.
У нас есть двухкнопочный выключатель, который зажигает свет тогда и только тогда, когда обе кнопки включены. Мы находимся в другой комнате и не знаем, в каком положении сейчас выключатель, и горит ли там свет. Но мы не рассматриваем предположение, что выключателя там нет, или он работает неправильно, или на него упал самолет с... ну вы поняли.
Тем самым мы допускаем как возможные следующие ситуации:
w1. Кнопка 1 включена, кнопка 2 включена, свет горит.
w2. Кнопка 1 вЫключена, кнопка 2 включена, свет НЕ горит.
w3. Кнопка 1 включена, кнопка 2 вЫключена, свет НЕ горит.
w4. Кнопка 1 вЫключена, кнопка 2 вЫключена, свет НЕ горит.
Обозначим множество практически возможных ситуаций W = {w1, w2, w3, w4}.
Теперь введем высказывания:
A1 = “Кнопка 1 включена”
A2 = “Кнопка 2 включена”
B = “Свет горит”
Например, в ситуации w3 будет: A1 истинно, A2 ложно, B ложно.
В одной из первых модальных логик (логика Льюиса) было предложено формализовать конструкцию если...то... вот таким образом:
Если X то Y = $H (X => Y)
Если воспользоваться метафорой возможных ситуаций, то получится вот так:
Если X то Y = ∀ w (X(w) => Y(w))
Здесь w имеет область определения W (все практически возможные ситуации). X и Y превратились из констант в функции. Такого рода функции, которые “на вход” принимают что угодно, а “на выходе” возвращают true или false, называются “предикатами”. Функция X(w) = true, если (и только если) высказывание X истинно в ситуации w. Аналогично для Y.
Вернемся к примеру с выключателем.
Функция A1(w) будет истинной для w = w1, w3.
Функция A2(w) будет истинной для w = w1, w2.
Функция B(w) будет истинной для w = w1.
Попытаемся формализовать первое высказывание из парадокса:
“Если обе кнопки нажаты, то свет горит”.
В классической логике это будет:
(A1 and A2) => B
В модальной логике Льюиса это будет:
$H ((A1 and A2) => B)
В метафоре практически возможных ситуаций это будет:
∀ w ((A1(w) and A2(w)) => B(w))
В “уме” формула решается просто: мысленно смотрим, есть ли среди ситуаций такая, когда слева от значка => стоит true, а справа – false? Нет. Слева true только в ситуации w1, а там и справа true.
В “компьютере” формула может быть доказата “в лоб” простым перебором вариантов:
Для w1: (A1(w1) and A2(w1)) => B(w1) = (true and true) => true = true
Для w2: (A1(w2) and A2(w2)) => B(w2) = (false and true) => false = true
Для w3: (A1(w3) and A2(w3)) => B(w3) = (true and false) => false = true
Для w4: (A1(w4) and A2(w4)) => B(w4) = (false and false) => false = true
Теперь возьмем последнее высказывание из парадокса:
“Если нажата кнопка 1, то свет горит; или если нажата кнопка 2, то свет горит”.
В классической логике это будет:
(A1 => B) or (A2 => B)
В модальной логике Льюиса это будет:
$H(A1 => B) or $H(A2 => B)
В метафоре возможных ситуаций это будет:
∀ w (A1(w) => B(w)) or ∀ w (A2(w) => B(w))
Левая часть ложна. В самом деле:
Для w3: (A1(w3)) => B(w3)) = true => false = false
То есть, как минимум в ситуации w = w3 скобка (A1(w) => B(w)) дает false, а поэтому левый квантор ∀ дает false.
Правая часть тоже ложна. В самом деле:
Для w2: (A2(w2)) => B(w2)) = true => false = false
То есть, как минимум в ситуации w = w2 скобка (A2(w) => B(w)) дает false, а поэтому правый квантор ∀ дает false.
Итого получаем false or false = false, все как в “естественном” языке. То есть, в модальной логике версии Льюиса тот парадокс не получается, и логическая конструкция если... то... ведет себя как в нормальной речи.
Это к вопросу о полезности и бесполезности неклассических логик. Такого рода интерпретация, с одной стороны, “классична”, так как не использует каких-то операций помимо тех, что есть в классической логике предикатов. С другой стороны, она “неклассична”, так как предлагает неклассический перевод высказываний обычного языка “если ... то...” на язык формул.
Превед :)
solomon2 и falcao :)Я решил продемонстрировать, как решается в неклассической логике парадокс, изложенный ранее.
Термин “модальная логика”. Модальные логики – это логические системы, которые пытаются имитировать дополнительные оттенки обычной речи, которые не формализуются в классической логике – в том числе модальные глаголы “может”, “должен”, прилагательные “возможный”, “необходимый” и т.п. Я не знаю, по какому принципу слова относятся к модальным или немодальным – так что не могу очертить четкую границу модальных логик. Вопрос к френдам-лингвистам и филологам, кстати.
Например, вводится некий значок (пусть будет $B), который читается как “возможно” и претендует на то, чтобы моделировать наречие “возможно”. По тому же принципу вводится значок “необходимо” (пусть будет $H).
Например:
“возможно, что x и y”
записывается как
“$B (x and y)”.
Например:
“необходимо, чтобы x или не x”
записывается как
“$H (x or not x)”.
Модальных логик много всяких, но их классификация, как говорится, “не доставляет”. Замечу только, что самую первую модальную логику изобрел еще Аристотель (наделав при этом парочку ошибок в выкладках).
Одна из проблем – как себе представить понагляднее операции в модальной логике, может быть, как-нибудь выразить их в классической логике. И вообще, чтобы как-то можно было это вычислять.
Одна из идей – это так называемая “интерпретация возможных миров”. Идея состоит в том, что мы должны себе представить разные “миры”, в которых ситуация сложилась так или иначе. Это и будут возможные миры.
Если хотя бы в одном из возможных миров ситуация сложилась так, как описывает некая логическая формула, то перед этой формулой можно поставить значок “возможно”, и получится истинная формула.
Если во всех возможных мирах ситуация сложилась так, как описывает некая логическая формула, то перед этой формулой можно поставить значок “необходимо”, и получится истинная формула.
На мой взгляд “возможные миры” – это звучит слишком напыщенно. Еще мне не нравится предложение “представить себе” разные миры и отнести к невозможным те, которые представить себе не удастся. Опора на воображение выглядит зыбкой. Мало ли, у кого какая фантазия, и как далеко она заходит.
Я хочу предоложить немного другую метафору. Она эквивалентна интерпретации возможных миров, но кажется мне более легкой для понимания.
Отличий будет два.
Во-первых, не возможные миры, а возможные ситуации в нашем мире. Это более реалистично.
Во-вторых, опора не на воображение, а на практическую задачу. К возможным будем относить те ситуации, которые мы считаем достаточно вероятными в нашем мире, чтобы их рассматривать. Скажем, вероятность того, что самолет с китайскими проститутками и африканскими людоедами сейчас врежется в мой дом, ненулевая. Но тратить время на рассмотрение этой ситуации непрактично. Что практично рассматривать, а что нет – зависит от конкретной задачи.
Свою интерпретацию я назову “метафорой практически возможных ситуаций”.
Теперь рассмотрим тот парадокс.
У нас есть двухкнопочный выключатель, который зажигает свет тогда и только тогда, когда обе кнопки включены. Мы находимся в другой комнате и не знаем, в каком положении сейчас выключатель, и горит ли там свет. Но мы не рассматриваем предположение, что выключателя там нет, или он работает неправильно, или на него упал самолет с... ну вы поняли.
Тем самым мы допускаем как возможные следующие ситуации:
w1. Кнопка 1 включена, кнопка 2 включена, свет горит.
w2. Кнопка 1 вЫключена, кнопка 2 включена, свет НЕ горит.
w3. Кнопка 1 включена, кнопка 2 вЫключена, свет НЕ горит.
w4. Кнопка 1 вЫключена, кнопка 2 вЫключена, свет НЕ горит.
Обозначим множество практически возможных ситуаций W = {w1, w2, w3, w4}.
Теперь введем высказывания:
A1 = “Кнопка 1 включена”
A2 = “Кнопка 2 включена”
B = “Свет горит”
Например, в ситуации w3 будет: A1 истинно, A2 ложно, B ложно.
В одной из первых модальных логик (логика Льюиса) было предложено формализовать конструкцию если...то... вот таким образом:
Если X то Y = $H (X => Y)
Если воспользоваться метафорой возможных ситуаций, то получится вот так:
Если X то Y = ∀ w (X(w) => Y(w))
Здесь w имеет область определения W (все практически возможные ситуации). X и Y превратились из констант в функции. Такого рода функции, которые “на вход” принимают что угодно, а “на выходе” возвращают true или false, называются “предикатами”. Функция X(w) = true, если (и только если) высказывание X истинно в ситуации w. Аналогично для Y.
Вернемся к примеру с выключателем.
Функция A1(w) будет истинной для w = w1, w3.
Функция A2(w) будет истинной для w = w1, w2.
Функция B(w) будет истинной для w = w1.
Попытаемся формализовать первое высказывание из парадокса:
“Если обе кнопки нажаты, то свет горит”.
В классической логике это будет:
(A1 and A2) => B
В модальной логике Льюиса это будет:
$H ((A1 and A2) => B)
В метафоре практически возможных ситуаций это будет:
∀ w ((A1(w) and A2(w)) => B(w))
В “уме” формула решается просто: мысленно смотрим, есть ли среди ситуаций такая, когда слева от значка => стоит true, а справа – false? Нет. Слева true только в ситуации w1, а там и справа true.
В “компьютере” формула может быть доказата “в лоб” простым перебором вариантов:
Для w1: (A1(w1) and A2(w1)) => B(w1) = (true and true) => true = true
Для w2: (A1(w2) and A2(w2)) => B(w2) = (false and true) => false = true
Для w3: (A1(w3) and A2(w3)) => B(w3) = (true and false) => false = true
Для w4: (A1(w4) and A2(w4)) => B(w4) = (false and false) => false = true
Теперь возьмем последнее высказывание из парадокса:
“Если нажата кнопка 1, то свет горит; или если нажата кнопка 2, то свет горит”.
В классической логике это будет:
(A1 => B) or (A2 => B)
В модальной логике Льюиса это будет:
$H(A1 => B) or $H(A2 => B)
В метафоре возможных ситуаций это будет:
∀ w (A1(w) => B(w)) or ∀ w (A2(w) => B(w))
Левая часть ложна. В самом деле:
Для w3: (A1(w3)) => B(w3)) = true => false = false
То есть, как минимум в ситуации w = w3 скобка (A1(w) => B(w)) дает false, а поэтому левый квантор ∀ дает false.
Правая часть тоже ложна. В самом деле:
Для w2: (A2(w2)) => B(w2)) = true => false = false
То есть, как минимум в ситуации w = w2 скобка (A2(w) => B(w)) дает false, а поэтому правый квантор ∀ дает false.
Итого получаем false or false = false, все как в “естественном” языке. То есть, в модальной логике версии Льюиса тот парадокс не получается, и логическая конструкция если... то... ведет себя как в нормальной речи.
Это к вопросу о полезности и бесполезности неклассических логик. Такого рода интерпретация, с одной стороны, “классична”, так как не использует каких-то операций помимо тех, что есть в классической логике предикатов. С другой стороны, она “неклассична”, так как предлагает неклассический перевод высказываний обычного языка “если ... то...” на язык формул.
Превед :)
no subject
Хорошо, другой пример теории. Стандартная теория множеств, из которой выводится, что яблоко можно нарезать на конечное число частей и сложить два точно таких же яблока. Неверный результат? Будем отказываться от аксиомы выбора в пользу чего-нибудь "поинтуитивнее" и поближе к таблице сложения?
no subject
В данных примерах речь идет как раз о формализации и интерпретации "если-то", поэтому нельзя сказать, что эти примеры не имеют отношения к "если-то". Имеют, и самое прямое.
[ Стандартная теория множеств, из которой выводится, что яблоко можно нарезать на конечное число частей и сложить два точно таких же яблока. ]
Из стандартной теории множеств выводится, что можно так разрезать геометрическую фигуру, а не живое яблоко. В живом яблоке есть ограниченное количество атомов, а геометрическую фигуру можно делить до бесконечности. А деление до бесконечности как раз требуется для вывода. Поэтому переход от фигуры к яблоку некорректен.
no subject