![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Про теорию категорий в стиле фэнтези
Тут пошла такая пьянка: ![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
a_shen помянул теорию категорий, avva помянул теорию категорий... причем, помянули в таком смысле, что это нечто жутко абстрактное, непонятно, как объяснить простым смертным.
Захотелось мне посмотреть, что за страшная такая теория категорий. То есть, попробовать объяснить хотя бы самому себе. :)
Начинать я люблю с определений: раз и два.
Ну что тут скажешь: видим образчики того, как составить определение так, "чтобы никто не догадался". Как нарочно, чтобы было непонятно. Значков много, разложены значки кривовато. Например, определение в вики содержит такое:
"задано множество морфизмов (или стрелок) HomC(A,B)..."
- ну и к чему относится "Hom" - к понятию "морфизм" или к понятию "множество морфизмов"? Я сначала подумал первое, потом стал читать дальше, оказалось - второе. Вот и получается: вроде как математика, формулы, а все-равно - двусмысленности.
Дальше пошли примеры, и, когда сопоставил примеры с определениями, стало более-менее ясно. Не так страшен черт, как его малюют. И объяснить, вроде бы, не так уж и сложно - по крайней мере себе. Можно даже в стиле фэнтези.
Объект
Во-первых, представьте себе некий "объект". Тут есть первая психологическая ловушка - для примера может прийти в голову что-то простое типа "число 5" или "точка A". Так вот, не берите простое, берите сразу сложное - и тогда (как ни парадоксально) понять будет проще.
В качестве объекта возьмем... робота-трансформера или... мага-полиморфа. Маг-полиморф - это который умеет превращаться в разных животных. Все-таки предпочту второе - когда-то для одной игрушки программировал магов-полиморфов, ностальгия, знаете ли. :)
Вот что такое объект. А в категории таких объектов много. То есть, клан магов-полиморфов например. Замечу: это вовсе НЕ аналогия и не художественная метафора, это - вполне корректный пример, частный случай, поскольку теория категорий почти не ограничивает, что именно считать объектами.
Морфизм = превращение
Во-вторых, понятие "морфизм" или "стрелка". Маг-полиморф говорит: "лупус-задрупус-мордус-впередус-жопус-в-хвостус" и превращается, скажем, в волка. Вот морфизм - это и есть превращение. Опять же, для понятности лучше представлять себе превращение сложного объекта в другой сложный объект. Дальше я буду часто говорить "превращение" - мне кажется, это "качественный" и интуитивно понятный перевод термина "морфизм" на русский язык.
Кстати, еще одна психологическая ловушка, мешающая пониманию: слово морфизм - существительное. Но существительные по-умолчанию ассоциируются с предметами. А морфизм удобнее представлять себе как действие с началом и завершением.
Композиция = последовательное превращение
Есть один тонкий момент: может быть много заклинаний превращения мага в волка. Например, заклинание "лупус-задрупус..." заставляет хвост постепенно вырастать из задницы, а заклинание "хомо-дисперсус-конденсус-канис" запускает сложный процесс: сначала превращает мага в облако протоплазмы (первая часть - "хомо-дисперсус"), а потом из облака формируется матерый волчара (вторая часть - "конденсус-канис").
Последний пример называется "композиция". Композиция - это два превращения, идущих друг за другом: маг -> облако протоплазмы -> волк.
Еще одно извращение, мешающее пониманию: вместо того, чтобы писать превращения в порядке применения, их пишут наоборот:
("конденсус-канис" o "хомо-дисперсус")
- значок "o" - обозначает операцию композиции. Почему пишут наоборот - не знаю, может, изобретатель теории категорий был евреем, и ему так привычнее :)
Тождественный морфизм = превращение в себя
А теперь представим себе студента школы магии. Перепутал он "у" и "о" в астральных формулах. Начал балаболить: "лОпус-задрОпОс..." - и дело не пошло. Хвост начал отрастать, но отвалился и испарился. И вроде бы все на месте - лишних деталей не осталось. То есть, была некая попытка превращения, но объект вернулся в прежнее состояние. Вот вам тождественный морфизм.
Категория
Категория - это когда есть совокупность объектов (пример: клан магов-полиморфов), совокупность морфизмов (пример: заклинания превращения, которые используют те маги) и выполняется еще парочка условий.
Что за условия? Да ничего особенного - пара аксиом: ассоциативность и закон тождества.
- Ассоциативность. Пусть маг-полиморф может принимать 4 формы: человек, волк, собака, кот. И пусть есть 4 заклинания:
1. человек->волк
2. волк->собака->кот
3. человек->волк->собака
4. собака->кот
Так вот, закон ассоциативности утверждает, что в кота можно превратиться обоими возможными путями:
(заклинание 1) человек->волк, (заклинание 2) волк->собака->кот
все равно, что:
(заклинание 3) человек->волк->собака, (заклинание 4) собака->кот
- Закон тождества. Пусть есть заклинание превращения в самого себя (как "лОпус-задрОпОс"). Тогда неважно, когда его применять - до другого превращения или после:
человек->волк
все равно, что:
человек->человек, человек->волк
или:
волк->человек
все равно, что:
волк->человек, человек->человек
Всякие-разные морфизмы
Еще один студент с факультета полиморфизма обнаружил в Книге Заклинаний формулу превращения в дракона. Пробормотал: "драгонаутус-фойер-гросс-райзер!" - и превратился в огромное жЫвотное. Попробовал изрыгнуть пламя - вах! Получается! "Ладно", - подумал он, - "а теперь обратно". Обернулся к подставке, на которой лежала книга, а там - только пепел. Упс! Кажется, перестарался огнеметчик.
Вот когда для заданного превращения все-таки есть возможность превратиться обратно - тогда это превращение называется "изоморфизм".
Студент стал искать выход из своего затруднительного положения. Оказалось, что подходящего заклинания - чтобы превратиться из дракона прямиком в человека - никак не обнаруживается. Но нашлось нечто другое: куча заклинаний превращения из дракона в разных животных. Студент решил посмотреть, нельзя ли скомбинировать все эти заклинания так, чтобы найти путь к человеческому облику. Обнаружилось, что есть заклинание лемур->человек и длинная, сложная цепочка заклинаний, ведущих от дракона к лемуру. Причем, единственная цепочка.
Вот такая ситуёвина, когда для первой части превращения есть только один подходящий метод, называется "мономорфизмом".
А "эпиморфизм" – это когда есть только один подходящий вариант для заданной второй части. Скажем, обнаружилось, что из дракона можно превратиться в виверну, тогда студент стал искать путь превращения из виверны в человека, и нашел только один вариант.
"Биморфизм" – когда и для первой, и для второй части есть по одному подходящему варианту.
"Эндоморфизм" – когда одно превращение или серия превращений возвращает к исходной точке, например человек->волк->человек.
"Автоморфизм" – изоморфизм И эндоморфизм.
Тонкость, которую я НЕ понял: чем отличаются тождественный морфизм, эндоморфизм и автоморфизм? На первый взгляд – это одно и то же, в смысле определения эквивалентны. Может ли быть эндоморфизм, который НЕ является единичным? Может ли быть эндоморфизм, который НЕ является изоморфизмом?
a_shen помянул теорию категорий, avva помянул теорию категорий... причем, помянули в таком смысле, что это нечто жутко абстрактное, непонятно, как объяснить простым смертным.Захотелось мне посмотреть, что за страшная такая теория категорий. То есть, попробовать объяснить хотя бы самому себе. :)
Начинать я люблю с определений: раз и два.
Ну что тут скажешь: видим образчики того, как составить определение так, "чтобы никто не догадался". Как нарочно, чтобы было непонятно. Значков много, разложены значки кривовато. Например, определение в вики содержит такое:
"задано множество морфизмов (или стрелок) HomC(A,B)..."
- ну и к чему относится "Hom" - к понятию "морфизм" или к понятию "множество морфизмов"? Я сначала подумал первое, потом стал читать дальше, оказалось - второе. Вот и получается: вроде как математика, формулы, а все-равно - двусмысленности.
Дальше пошли примеры, и, когда сопоставил примеры с определениями, стало более-менее ясно. Не так страшен черт, как его малюют. И объяснить, вроде бы, не так уж и сложно - по крайней мере себе. Можно даже в стиле фэнтези.
Объект
Во-первых, представьте себе некий "объект". Тут есть первая психологическая ловушка - для примера может прийти в голову что-то простое типа "число 5" или "точка A". Так вот, не берите простое, берите сразу сложное - и тогда (как ни парадоксально) понять будет проще.
В качестве объекта возьмем... робота-трансформера или... мага-полиморфа. Маг-полиморф - это который умеет превращаться в разных животных. Все-таки предпочту второе - когда-то для одной игрушки программировал магов-полиморфов, ностальгия, знаете ли. :)
Вот что такое объект. А в категории таких объектов много. То есть, клан магов-полиморфов например. Замечу: это вовсе НЕ аналогия и не художественная метафора, это - вполне корректный пример, частный случай, поскольку теория категорий почти не ограничивает, что именно считать объектами.
Морфизм = превращение
Во-вторых, понятие "морфизм" или "стрелка". Маг-полиморф говорит: "лупус-задрупус-мордус-впередус-жопус-в-хвостус" и превращается, скажем, в волка. Вот морфизм - это и есть превращение. Опять же, для понятности лучше представлять себе превращение сложного объекта в другой сложный объект. Дальше я буду часто говорить "превращение" - мне кажется, это "качественный" и интуитивно понятный перевод термина "морфизм" на русский язык.
Кстати, еще одна психологическая ловушка, мешающая пониманию: слово морфизм - существительное. Но существительные по-умолчанию ассоциируются с предметами. А морфизм удобнее представлять себе как действие с началом и завершением.
Композиция = последовательное превращение
Есть один тонкий момент: может быть много заклинаний превращения мага в волка. Например, заклинание "лупус-задрупус..." заставляет хвост постепенно вырастать из задницы, а заклинание "хомо-дисперсус-конденсус-канис" запускает сложный процесс: сначала превращает мага в облако протоплазмы (первая часть - "хомо-дисперсус"), а потом из облака формируется матерый волчара (вторая часть - "конденсус-канис").
Последний пример называется "композиция". Композиция - это два превращения, идущих друг за другом: маг -> облако протоплазмы -> волк.
Еще одно извращение, мешающее пониманию: вместо того, чтобы писать превращения в порядке применения, их пишут наоборот:
("конденсус-канис" o "хомо-дисперсус")
- значок "o" - обозначает операцию композиции. Почему пишут наоборот - не знаю, может, изобретатель теории категорий был евреем, и ему так привычнее :)
Тождественный морфизм = превращение в себя
А теперь представим себе студента школы магии. Перепутал он "у" и "о" в астральных формулах. Начал балаболить: "лОпус-задрОпОс..." - и дело не пошло. Хвост начал отрастать, но отвалился и испарился. И вроде бы все на месте - лишних деталей не осталось. То есть, была некая попытка превращения, но объект вернулся в прежнее состояние. Вот вам тождественный морфизм.
Категория
Категория - это когда есть совокупность объектов (пример: клан магов-полиморфов), совокупность морфизмов (пример: заклинания превращения, которые используют те маги) и выполняется еще парочка условий.
Что за условия? Да ничего особенного - пара аксиом: ассоциативность и закон тождества.
- Ассоциативность. Пусть маг-полиморф может принимать 4 формы: человек, волк, собака, кот. И пусть есть 4 заклинания:
1. человек->волк
2. волк->собака->кот
3. человек->волк->собака
4. собака->кот
Так вот, закон ассоциативности утверждает, что в кота можно превратиться обоими возможными путями:
(заклинание 1) человек->волк, (заклинание 2) волк->собака->кот
все равно, что:
(заклинание 3) человек->волк->собака, (заклинание 4) собака->кот
- Закон тождества. Пусть есть заклинание превращения в самого себя (как "лОпус-задрОпОс"). Тогда неважно, когда его применять - до другого превращения или после:
человек->волк
все равно, что:
человек->человек, человек->волк
или:
волк->человек
все равно, что:
волк->человек, человек->человек
Всякие-разные морфизмы
Еще один студент с факультета полиморфизма обнаружил в Книге Заклинаний формулу превращения в дракона. Пробормотал: "драгонаутус-фойер-гросс-райзер!" - и превратился в огромное жЫвотное. Попробовал изрыгнуть пламя - вах! Получается! "Ладно", - подумал он, - "а теперь обратно". Обернулся к подставке, на которой лежала книга, а там - только пепел. Упс! Кажется, перестарался огнеметчик.
Вот когда для заданного превращения все-таки есть возможность превратиться обратно - тогда это превращение называется "изоморфизм".
Студент стал искать выход из своего затруднительного положения. Оказалось, что подходящего заклинания - чтобы превратиться из дракона прямиком в человека - никак не обнаруживается. Но нашлось нечто другое: куча заклинаний превращения из дракона в разных животных. Студент решил посмотреть, нельзя ли скомбинировать все эти заклинания так, чтобы найти путь к человеческому облику. Обнаружилось, что есть заклинание лемур->человек и длинная, сложная цепочка заклинаний, ведущих от дракона к лемуру. Причем, единственная цепочка.
Вот такая ситуёвина, когда для первой части превращения есть только один подходящий метод, называется "мономорфизмом".
А "эпиморфизм" – это когда есть только один подходящий вариант для заданной второй части. Скажем, обнаружилось, что из дракона можно превратиться в виверну, тогда студент стал искать путь превращения из виверны в человека, и нашел только один вариант.
"Биморфизм" – когда и для первой, и для второй части есть по одному подходящему варианту.
"Эндоморфизм" – когда одно превращение или серия превращений возвращает к исходной точке, например человек->волк->человек.
"Автоморфизм" – изоморфизм И эндоморфизм.
Тонкость, которую я НЕ понял: чем отличаются тождественный морфизм, эндоморфизм и автоморфизм? На первый взгляд – это одно и то же, в смысле определения эквивалентны. Может ли быть эндоморфизм, который НЕ является единичным? Может ли быть эндоморфизм, который НЕ является изоморфизмом?
процедуры (1)
Представьте себе, что я делаю какие-то изделия "ручной работы". При этом я вкладываю в этот процесс много усилий, продумываю каждую деталь и всё прочее. То есть речи нет ни о какой "небрежности". Наоборот, присутствует необычайно бережное отношение, то есть нечто прямо противоположное. И вот Вы смотрите со стороны, оценивая мои "изделия" на предмет того, в какой степени они соответствуют ГОСТу. Видите, что не соответствуют, но иногда по каким-то показателям бывают близки к тем или иным требованиям. В этот момент возникает "искушение" приписать мне "небрежность": что я-де недостаточно постарался, и отклонился от требований. Но штука-то вся в том, что я вообще не следую ГОСТу вполне сознательно! Мне на него глубоко наплевать, потому что эти стандарты для меня совершенно искусственны. То есть когда психологи, например, употребляют слово "совесть" в каком-то своём значении, следуя традиционному стандарту, то у них наличествует само желание ему следовать. А у меня "свой" путь "кустаря-одиночки", и я делаю что-то, чего "промышленность" в принципе не выпускает, и результатами вполне при этом доволен.
Когда я Вам сообщаю некий "стандарт", который наличествует в современной математике, то я думаю, что Ваши собственные представления вряд ли кажутся Вам более "совершенными". Вполне может быть так, что Вы и не собираетесь следовать предлагаемому "стандарту", но такое поведение именно для Вас менее всего характерно. Поэтому ситуация как бы получается "несимметричная" у меня и у Вас.
По поводу равенства: давайте на "примитивном" уровне ощутим разницу между понятием "операции" (бинарной) и "отношения" (тоже бинарного). Имеется некоторое множество M. Говорят, что на нём задана операция *, если каждой упорядоченной паре (x,y) элементов из M она сопоставляет некоторый элемент из M. То есть это не что иное как отображение из MxM в M, или всюду определённая (на M) функция от двух переменных со значениями в M. Например, сложение, умножение -- это примеры операций, которые могут быть заданы на Z, на R или на чём-то ещё.
Теперь как определяется отношение на M? Концепция тут принята такая. Вот есть отношение равенства, или отношение параллельности (на множестве прямых), или отношение "больше" на множестве чисел. Допустим, я знаю "содержательно", когда элементы находятся в этом отношении, а когда нет. Точнее, когда произвольно заданный элемент x находится в отношении с каким-то элементом y. Мне показывают две прямые, а я для себя определяю, параллельны они или нет. Я при этом могу ответить как бы на "все" вопросы и составить "шпаргалку", то есть полный список таких упорядоченных пар видв (x,y), где x находится в рассматриваемом отношении с y. Ясно, что такой список несёт как бы полную информации о самом отношении, про которое пока непонятно, что это такое? Я знаю, что 5 больше 3, и потому пара (5,3) входит в мой список для отношения "больше", а пара (2,7) иил (4,4) в него уже не входит.
Но что такое "больше" само по себе, без "атрибутов" в виде x и y? Принимается такое "мужественное" решение: считать чисто "директивно", что "больше" -- это и есть составленный список пар. Что ведёт к такому формальному определению: отношением на M называется произвольное подмножество в MxM.
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ; ПРОСЬБА ПИСАТЬ НИЖЕ!