![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Математика музыки - лады
Один уважаемый френд тут заметил, что система музыкальных обозначений кое в чем нелогичная, странная. Он прав по крайней мере в том, что в музыкальных школах эту систему суют по принципу "as is", грубо говоря: ешь, что дают, не объясняя, почему именно так. Кстати, в учебниках для консерваторий тоже не объясняются многие вещи, смущающие юные (и не очень) умы. :) Особенно, если эти умы имеют технический склад.
Попробую-ка я объяснить эту математику музыки для нас, технарей.
Вопрос 1: Почему нот 7, а не 12?
Казалось бы, в каждой октаве пианино 12 клавиш. Так почему нот всего семь?
В музыке есть такие понятия, как звукоряд, лад, тональность. Между ними имеются тонкие различия, которые дополнительно усугубляются путаницей: разные авторы используют эти термины в разных значениях. Если курс обучения идет по определенной системе, то смысл этим терминам тоже будет придаваться разный. Я попробую описать систему, которая по-технарски строга, хотя, может быть, и не учитывает весь "широкий спектр мнений" аффторов, как это любят гуманитарии. :)
Звукоряд
Человеческое ухо слышит звуки в диапазоне примерно от 20 до 20 тысяч герц. Большинство инструментов не могут извлекать звуки любой частоты из этого диапазона. Спектр возможных частот инструмента обычно накрывает только часть этого диапазона и является дискретным. Исключения очень редки, например, скрипка. Она может выдать любую частоту в некотором диапазоне (примерно 80-2000 герц). А вот, скажем, пианино может выдать столько частот, сколько на нем клавиш, и не более того. Частоту, которая лежит в промежутке между соседними клавишами, на пианино не сыграть никак. Например, нельзя сыграть частоту между "ми" и "фа" первой октавы.
В таком случае возникает вопрос: если у нас число возможных частот ограничено, то какие из них выбрать? Надо выбрать какое-то подмножество частот на отрезке от 20 до 20 тысяч герц. Вот этот набор частот как раз и называется "звукорядом".
Звукоряд - набор частот, которые можно извлечь из этого музыкального инструмента.
В случае скрипки набор ограничивается не технически, а только волей скрипача :)
История знала несколько звукорядов, однако в западной музыке со временем сохранился только один. У него зубодробительное название: "12-ступенный равномерно темперированный строй". Я буду писать сокращенно: РТС-12.
С точки зрения физики РТС-12 очень прост. Его допустимые частоты выражаются формулой:
v = v0Qi
где v0 - некоторая константа, равная 440 герц. Соответствует частоте ноты "ля" первой октавы. Почему именно 440 Гц? Да просто нужно выбрать какое-то стандартное начало отсчета, чтобы инструменты не играли вразнобой.
i - целое число, отрицательное или положительное. Прибавление единички к нему дает следующую справа клавишу на клавиатуре пианино. Вычитание - следующую слева.
Q - константа, равная 21/12. Из-за числа 12 получается, что каждая октава разбита 12 ступенями на 12 частей. Можно взять другое число, тогда получится другой РТС-строй.
Октава - это диапазон частот от v до 2v.
Лад
В музыке однако не все ступени встречаются одинаково часто. Как правило, в течении некоторого заметного промежутка времени играются только 7 нот из 12 в каждой октаве. Остальные являются, так сказать, "запрещенными".
Это значит, что их при игре избегают.
Если их все-таки играют, то музыка в этом месте принимает эдакий "восточный" оттенок как в индийской музыке (пример: первые ноты мелодии "К Элизе" Бетховена). Если их играют, то играют тише, чем другие ноты, и сравнительно недолго.
Таким образом, из каждых 12 нот выбирается только 7, причем, одна из этих 7 назначается "главной". Главная называется "тоникой". В зависимости от выбора 7 нот и тоники получаются разные лады: гармонический, натуральный, мелодический, дорийский и т.п.
То есть, диапазон человеческого слуха - это непрерывное множество частот от 20 до 20 тысяч.
Звукоряд - это дискретное конечное подмножество того множества.
Лад - это подмножество звукоряда.
Лад - несколько нот звукоряда в каждой октаве, которые считаются более "допустимыми", чем остальные, среди которых выбрана главная (тоника).
В общем случае можно взять лад, который совпадает со звукорядом. В нем выбираются все 12 нот из 12 в каждой октаве. Такой лад называется "додекафоникой". Музыка, играемая в таком ладу, звучит... выберем такой мягкий эпитет... весьма экспериментально :)
Тональность
Как вы понимаете, выбрать 7 нот из 12 можно по-разному. Соответственно, получается куча разных ладов. В процессе игры бывает, что из одного лада переходят в другой. То есть, несколько секунд у нас были одни 7 разрешенных нот, а потом на несколько секунд разрешенными стали другие 7 нот.
Так вот, некоторые переходы между ладами звучат более естественно, и их сделать легче. Легче и естественнее в том смысле, что есть больше способов перейти от одного лада к другому, и это чаще делается в музыке, и слушатели к таким переходам более привычны.
Группа ладов, между которыми особенно легко делать переходы, называется тональностью. Например, это лады ля-минор натуральный, ля-минор гармонический, ля-минор мелодический. У каждой группы из 3 минорных ладов есть соседняя группа, в которую перейти чуть сложнее, но тоже довольно просто: это параллельная тональность, состоящая из 3 мажорных ладов. В данном случае до-мажор натуральный, до-мажор гармонический, до-мажор мелодический. "Простота" перехода - понятие в какой-то мере субъективное. Например, некоторым авторам кажется, что в параллельную тональность перейти не труднее, чем от натурального минора к гармоническому. Тогда они объединяют обе группы ладов в одну группу из 6 ладов, называя ее "мажороминором".
Всего тональностей 24 штуки по 3 лада или 12 по 6.
Сухой остаток
1. Ухо слышит частоты от 20 до 20 тыс. герц.
2. Большинство инструментов не умеет играть все частоты, а только некоторые. Эти некоторые называют нотами, а множество всех нот - звукорядом.
3. Самый распространенный в западной культуре звукоряд РТС-12 допускает частоты v = 440*2i/12.
4. Октава - диапазон частот [v, 2v). В РТС-12 на каждую октаву приходится 12 нот.
5. Из 12 нот выбирается 7 самых "предпочтительных", а из этих 7 одна "самая-самая" (тоника). Получается подмножество нот, которое называется ладом.
6. При игре иногда происходит смена лада. Группа ладов, между которыми переходы особенно привычны для слушателя, называется тональностью. Всего таких групп 24 штуки по 3 или 12 по 6.
Анонс
P.S. В следующих постингах - про то, зачем нужны 12 тональностей и нафига сдались диезы с бемолями :)
Попробую-ка я объяснить эту математику музыки для нас, технарей.
Вопрос 1: Почему нот 7, а не 12?
Казалось бы, в каждой октаве пианино 12 клавиш. Так почему нот всего семь?
В музыке есть такие понятия, как звукоряд, лад, тональность. Между ними имеются тонкие различия, которые дополнительно усугубляются путаницей: разные авторы используют эти термины в разных значениях. Если курс обучения идет по определенной системе, то смысл этим терминам тоже будет придаваться разный. Я попробую описать систему, которая по-технарски строга, хотя, может быть, и не учитывает весь "широкий спектр мнений" аффторов, как это любят гуманитарии. :)
Звукоряд
Человеческое ухо слышит звуки в диапазоне примерно от 20 до 20 тысяч герц. Большинство инструментов не могут извлекать звуки любой частоты из этого диапазона. Спектр возможных частот инструмента обычно накрывает только часть этого диапазона и является дискретным. Исключения очень редки, например, скрипка. Она может выдать любую частоту в некотором диапазоне (примерно 80-2000 герц). А вот, скажем, пианино может выдать столько частот, сколько на нем клавиш, и не более того. Частоту, которая лежит в промежутке между соседними клавишами, на пианино не сыграть никак. Например, нельзя сыграть частоту между "ми" и "фа" первой октавы.
В таком случае возникает вопрос: если у нас число возможных частот ограничено, то какие из них выбрать? Надо выбрать какое-то подмножество частот на отрезке от 20 до 20 тысяч герц. Вот этот набор частот как раз и называется "звукорядом".
Звукоряд - набор частот, которые можно извлечь из этого музыкального инструмента.
В случае скрипки набор ограничивается не технически, а только волей скрипача :)
История знала несколько звукорядов, однако в западной музыке со временем сохранился только один. У него зубодробительное название: "12-ступенный равномерно темперированный строй". Я буду писать сокращенно: РТС-12.
С точки зрения физики РТС-12 очень прост. Его допустимые частоты выражаются формулой:
v = v0Qi
где v0 - некоторая константа, равная 440 герц. Соответствует частоте ноты "ля" первой октавы. Почему именно 440 Гц? Да просто нужно выбрать какое-то стандартное начало отсчета, чтобы инструменты не играли вразнобой.
i - целое число, отрицательное или положительное. Прибавление единички к нему дает следующую справа клавишу на клавиатуре пианино. Вычитание - следующую слева.
Q - константа, равная 21/12. Из-за числа 12 получается, что каждая октава разбита 12 ступенями на 12 частей. Можно взять другое число, тогда получится другой РТС-строй.
Октава - это диапазон частот от v до 2v.
Лад
В музыке однако не все ступени встречаются одинаково часто. Как правило, в течении некоторого заметного промежутка времени играются только 7 нот из 12 в каждой октаве. Остальные являются, так сказать, "запрещенными".
Это значит, что их при игре избегают.
Если их все-таки играют, то музыка в этом месте принимает эдакий "восточный" оттенок как в индийской музыке (пример: первые ноты мелодии "К Элизе" Бетховена). Если их играют, то играют тише, чем другие ноты, и сравнительно недолго.
Таким образом, из каждых 12 нот выбирается только 7, причем, одна из этих 7 назначается "главной". Главная называется "тоникой". В зависимости от выбора 7 нот и тоники получаются разные лады: гармонический, натуральный, мелодический, дорийский и т.п.
То есть, диапазон человеческого слуха - это непрерывное множество частот от 20 до 20 тысяч.
Звукоряд - это дискретное конечное подмножество того множества.
Лад - это подмножество звукоряда.
Лад - несколько нот звукоряда в каждой октаве, которые считаются более "допустимыми", чем остальные, среди которых выбрана главная (тоника).
В общем случае можно взять лад, который совпадает со звукорядом. В нем выбираются все 12 нот из 12 в каждой октаве. Такой лад называется "додекафоникой". Музыка, играемая в таком ладу, звучит... выберем такой мягкий эпитет... весьма экспериментально :)
Тональность
Как вы понимаете, выбрать 7 нот из 12 можно по-разному. Соответственно, получается куча разных ладов. В процессе игры бывает, что из одного лада переходят в другой. То есть, несколько секунд у нас были одни 7 разрешенных нот, а потом на несколько секунд разрешенными стали другие 7 нот.
Так вот, некоторые переходы между ладами звучат более естественно, и их сделать легче. Легче и естественнее в том смысле, что есть больше способов перейти от одного лада к другому, и это чаще делается в музыке, и слушатели к таким переходам более привычны.
Группа ладов, между которыми особенно легко делать переходы, называется тональностью. Например, это лады ля-минор натуральный, ля-минор гармонический, ля-минор мелодический. У каждой группы из 3 минорных ладов есть соседняя группа, в которую перейти чуть сложнее, но тоже довольно просто: это параллельная тональность, состоящая из 3 мажорных ладов. В данном случае до-мажор натуральный, до-мажор гармонический, до-мажор мелодический. "Простота" перехода - понятие в какой-то мере субъективное. Например, некоторым авторам кажется, что в параллельную тональность перейти не труднее, чем от натурального минора к гармоническому. Тогда они объединяют обе группы ладов в одну группу из 6 ладов, называя ее "мажороминором".
Всего тональностей 24 штуки по 3 лада или 12 по 6.
Сухой остаток
1. Ухо слышит частоты от 20 до 20 тыс. герц.
2. Большинство инструментов не умеет играть все частоты, а только некоторые. Эти некоторые называют нотами, а множество всех нот - звукорядом.
3. Самый распространенный в западной культуре звукоряд РТС-12 допускает частоты v = 440*2i/12.
4. Октава - диапазон частот [v, 2v). В РТС-12 на каждую октаву приходится 12 нот.
5. Из 12 нот выбирается 7 самых "предпочтительных", а из этих 7 одна "самая-самая" (тоника). Получается подмножество нот, которое называется ладом.
6. При игре иногда происходит смена лада. Группа ладов, между которыми переходы особенно привычны для слушателя, называется тональностью. Всего таких групп 24 штуки по 3 или 12 по 6.
Анонс
P.S. В следующих постингах - про то, зачем нужны 12 тональностей и нафига сдались диезы с бемолями :)
no subject
no subject
Видите ли, попса тоже бывает разная. Есть "зайка, я твоя гайка", или бесчисленные "Маша! (Саша, Глаша, Параша) Я так люблю тебя!" а есть "Вставай, страна огромная", "Под небом голубым есть город золотой". И простой человек без всякого "учения понимать" вполне готов слушать не только песни первого типа, но и второго.
То есть они послушали Шнитке, ничего не поняли и решили, что можно просто ноты ставить в случайном порядке.
И ведь не докажешь, что не поняли. А эксперт не докажет, что понял. С критериями, тут, мягко говоря, тяжеловато.
no subject
А кто понимает? Как отличить того, кто слушает и говорит: "о да, это круто!" заслуженно от того, кто слушает и говорит: "о да, это круто!" - незаслуженно? Вы упоминали о студентах... ваш знакомый решил, что их музыка маразматична, а почему вы поверили его мнению? ;)
no subject
Дв от х.з. потому и спрашиваю :)
С обычной музыкой для широкого слушателя, кажется, все проще. Я не буду называть ее "попсой", поскольку музыка там самая разная. Оценка тут может быть примерно такой.
1. Берем статистически большое количество народу.
2. Исключаем из списка тех, кто не имеет музыкального слуха (наличие слуха легко проверить тестами).
3. Исключаем из списка тех, кто занимается музыкой профессионально, так как у них серьезные профессиональные деформации слухового восприятия.
4. Убираем из музыкального произведения визуальный ряд. Т.е. если это клип, танцующая голая дива испытуемому не показывается.
5. Убираем из музыкального произведения вербальный ряд. Т.е., если это песня, опера, слова не должны вносить погрешность, иначе может оказаться, что оценка связана не с красотой музыки, а с красотой слов.
6. Просим испытуемого выставить комфортную громкость.
7. Просим испытуемого поставить оценку.
Вот как-то так. А что делать с музыкой "не для всех", я не знаю.