Математика музыки - лады

[psilogic]

Один уважаемый френд тут заметил, что система музыкальных обозначений кое в чем нелогичная, странная. Он прав по крайней мере в том, что в музыкальных школах эту систему суют по принципу "as is", грубо говоря: ешь, что дают, не объясняя, почему именно так. Кстати, в учебниках для консерваторий тоже не объясняются многие вещи, смущающие юные (и не очень) умы. :) Особенно, если эти умы имеют технический склад.

Попробую-ка я объяснить эту математику музыки для нас, технарей.



Вопрос 1: Почему нот 7, а не 12?
Казалось бы, в каждой октаве пианино 12 клавиш. Так почему нот всего семь?

В музыке есть такие понятия, как звукоряд, лад, тональность. Между ними имеются тонкие различия, которые дополнительно усугубляются путаницей: разные авторы используют эти термины в разных значениях. Если курс обучения идет по определенной системе, то смысл этим терминам тоже будет придаваться разный. Я попробую описать систему, которая по-технарски строга, хотя, может быть, и не учитывает весь "широкий спектр мнений" аффторов, как это любят гуманитарии. :)

Звукоряд

Человеческое ухо слышит звуки в диапазоне примерно от 20 до 20 тысяч герц. Большинство инструментов не могут извлекать звуки любой частоты из этого диапазона. Спектр возможных частот инструмента обычно накрывает только часть этого диапазона и является дискретным. Исключения очень редки, например, скрипка. Она может выдать любую частоту в некотором диапазоне (примерно 80-2000 герц). А вот, скажем, пианино может выдать столько частот, сколько на нем клавиш, и не более того. Частоту, которая лежит в промежутке между соседними клавишами, на пианино не сыграть никак. Например, нельзя сыграть частоту между "ми" и "фа" первой октавы.

В таком случае возникает вопрос: если у нас число возможных частот ограничено, то какие из них выбрать? Надо выбрать какое-то подмножество частот на отрезке от 20 до 20 тысяч герц. Вот этот набор частот как раз и называется "звукорядом".

Звукоряд - набор частот, которые можно извлечь из этого музыкального инструмента.

В случае скрипки набор ограничивается не технически, а только волей скрипача :)

История знала несколько звукорядов, однако в западной музыке со временем сохранился только один. У него зубодробительное название: "12-ступенный равномерно темперированный строй". Я буду писать сокращенно: РТС-12.

С точки зрения физики РТС-12 очень прост. Его допустимые частоты выражаются формулой:

v = v₀Qⁱ

где v₀ - некоторая константа, равная 440 герц. Соответствует частоте ноты "ля" первой октавы. Почему именно 440 Гц? Да просто нужно выбрать какое-то стандартное начало отсчета, чтобы инструменты не играли вразнобой.

i - целое число, отрицательное или положительное. Прибавление единички к нему дает следующую справа клавишу на клавиатуре пианино. Вычитание - следующую слева.

Q - константа, равная 2^1/12. Из-за числа 12 получается, что каждая октава разбита 12 ступенями на 12 частей. Можно взять другое число, тогда получится другой РТС-строй.

Октава - это диапазон частот от v до 2v.

Лад

В музыке однако не все ступени встречаются одинаково часто. Как правило, в течении некоторого заметного промежутка времени играются только 7 нот из 12 в каждой октаве. Остальные являются, так сказать, "запрещенными".

Это значит, что их при игре избегают.

Если их все-таки играют, то музыка в этом месте принимает эдакий "восточный" оттенок как в индийской музыке (пример: первые ноты мелодии "К Элизе" Бетховена). Если их играют, то играют тише, чем другие ноты, и сравнительно недолго.

Таким образом, из каждых 12 нот выбирается только 7, причем, одна из этих 7 назначается "главной". Главная называется "тоникой". В зависимости от выбора 7 нот и тоники получаются разные лады: гармонический, натуральный, мелодический, дорийский и т.п.

То есть, диапазон человеческого слуха - это непрерывное множество частот от 20 до 20 тысяч.
Звукоряд - это дискретное конечное подмножество того множества.
Лад - это подмножество звукоряда.

Лад - несколько нот звукоряда в каждой октаве, которые считаются более "допустимыми", чем остальные, среди которых выбрана главная (тоника).

В общем случае можно взять лад, который совпадает со звукорядом. В нем выбираются все 12 нот из 12 в каждой октаве. Такой лад называется "додекафоникой". Музыка, играемая в таком ладу, звучит... выберем такой мягкий эпитет... весьма экспериментально :)

Тональность

Как вы понимаете, выбрать 7 нот из 12 можно по-разному. Соответственно, получается куча разных ладов. В процессе игры бывает, что из одного лада переходят в другой. То есть, несколько секунд у нас были одни 7 разрешенных нот, а потом на несколько секунд разрешенными стали другие 7 нот.

Так вот, некоторые переходы между ладами звучат более естественно, и их сделать легче. Легче и естественнее в том смысле, что есть больше способов перейти от одного лада к другому, и это чаще делается в музыке, и слушатели к таким переходам более привычны.

Группа ладов, между которыми особенно легко делать переходы, называется тональностью. Например, это лады ля-минор натуральный, ля-минор гармонический, ля-минор мелодический. У каждой группы из 3 минорных ладов есть соседняя группа, в которую перейти чуть сложнее, но тоже довольно просто: это параллельная тональность, состоящая из 3 мажорных ладов. В данном случае до-мажор натуральный, до-мажор гармонический, до-мажор мелодический. "Простота" перехода - понятие в какой-то мере субъективное. Например, некоторым авторам кажется, что в параллельную тональность перейти не труднее, чем от натурального минора к гармоническому. Тогда они объединяют обе группы ладов в одну группу из 6 ладов, называя ее "мажороминором".

Всего тональностей 24 штуки по 3 лада или 12 по 6.

Сухой остаток

1. Ухо слышит частоты от 20 до 20 тыс. герц.
2. Большинство инструментов не умеет играть все частоты, а только некоторые. Эти некоторые называют нотами, а множество всех нот - звукорядом.
3. Самый распространенный в западной культуре звукоряд РТС-12 допускает частоты v = 440*2^i/12.
4. Октава - диапазон частот [v, 2v). В РТС-12 на каждую октаву приходится 12 нот.
5. Из 12 нот выбирается 7 самых "предпочтительных", а из этих 7 одна "самая-самая" (тоника). Получается подмножество нот, которое называется ладом.
6. При игре иногда происходит смена лада. Группа ладов, между которыми переходы особенно привычны для слушателя, называется тональностью. Всего таких групп 24 штуки по 3 или 12 по 6.

Анонс
P.S. В следующих постингах - про то, зачем нужны 12 тональностей и нафига сдались диезы с бемолями :)

Comments

[ex-kosilova.livejournal.com]

я тоже об этом писала (http://elenakosilova.narod.ru/tmp/msph.htm) :)
Мне кажется, тут не все так просто, ибо все время маячит вопрос "почему это так"?

Замечание. На Вашем месте я бы вначале не сосредотачивалась на феноменах гармонического/мелодического минора (тем более, что их мажорных аналогов практически нет), рассмотрела это отдельно в конце. Мелодический минор практически вытеснен из современной музыки (к тому же он изначально был странным ладом, только вверх, например). А гармонический, видимо, можно рассматривать как следствие отдельного феномена, так сказать, "притяжения тоники", который имеет психологическую природу.

[psilogic.livejournal.com]

Хоть мелодические и гармонические ряды (кроме гарм. минора) и редки, но упомянуть их надо было хотя бы для полноты изложения. Традиционно они всегда упоминаются, так что надо было объяснить, зачем и почему :)

Что касается "притяжения тоники", то тут у меня большие сомнения по поводу наличия такого "феномена" вообще. Утверждение насчет того, что есть такой феномен, нефальсифицируемо и выглядит как отмазка по принципу "как то надо объяснить". Почему к тонике не притягивается вторая ступень или притягивается значительно слабее? Почему в разных обстоятельствах возникает притяжение не только к тонике, но и к доминанте, субдоминанте и остальным ступеням (кроме седьмой)?

Насчет "принципиально иной теории психики и сознания" я думаю, вы слегка загнули. Многие вещи становятся понятными при вполне традиционном изучении физиологии слуха в стиле биологии и физики в разделе психологии, который называется "психоакустикой". Или психоакустику стоит считать такой принципиально иной теорией? ;)

[ex-kosilova.livejournal.com]

притяжение к доминанте возникает, а к другим ступеням все же редко. и, по сути, только к устойчивым: никогда не встречала притяжения ко второй и шестой ступеням. к субдоминанте тоже слишком редко.
Многие вещи становятся понятными при вполне традиционном изучении физиологии слуха в стиле биологии и физики в разделе психологии, который называется "психоакустикой".
Ну, и как психоакустика объясняет феномен мажора/минора?

[orhi.livejournal.com]

"(тем более, что их мажорных аналогов практически нет)"

(упала в обморок) Где их нет?..

Не скажите ли, где музыкально образовывались? Каким образом можно стать обладателем подобной каши в голове?

[psilogic.livejournal.com]

Ну она, видимо, просто не совсем точно выразилась. Гармонический и мелодический мажор встречаются относительно редко, можно сказать, в музыке из "практически нет".

[ex-kosilova.livejournal.com]

глубокоуважаемая госпожа Orhi!
Спешу Вас успокоить. У меня нет никакого музыкального образования. Я научилась и играть, и сочинять, и теоретизировать сама :)
(Вот моя песенка (http://kosilova.textdriven.com/HomePage/files?get=34.mp3), для справки о каши в голове; запись, к сожалению, очень плохая.
Однако я хотела бы спросить по существу. По всей видимости, Вы не обратили внимания, что я написала в виду не "нет аналогов мажорного анашога мелодического минора", а "практически" нет - это, конечно, неудачная фраза, написанная в спешке; я имела в виду, что встречается мелодический мажор весьма редко. Не будете ли добры привести примеры мелодического мажора? Мне было бы это действительно очень интересно.
Заранее признательна :)

про МУЗЫКУ СФЕР

[bntr.livejournal.com]

Елена, на большинство Ваших вопросов о гармонии есть ответы в этой книге
http://www.ruslania.com/language-2/entity-6/context-161/entity-6/details-153266.html
например про лад, мажор/минор, пентатонику,..

кажется главным что не следовало бы опускать:
(кроме как последовательность интервалов) звуки лада имеют гармоническую структуру..
важны отношения звуков, а не только количество между ними полутонов

[tikser.livejournal.com]

Ну, в общем, примерно то же отложилось и у меня после упомянутой дискуссии. Только некоторые вещи были изложены менее математически ;))
Кстати, что из себя представляет мажорный лад, почему их три и чем гармонический, скажем, отличается от натурального - я так и не понял. ;))
Ну, само собой, то же и про минорные. ;)

[psilogic.livejournal.com]

Насчет того, что представляет - об этом в "следующей серии" про бемоли и диезы :) Думаю, завтра напишу.

Что касается "почему их три" тут вероятно основную роль играет традиция и привыкание слушателей к определенной музыке. Так как история музыкальной гармонии показывает: их не всегда было два по три. А Елена Косилова выше справедливо напоминает о том, что в наше время из этих шести три штуки постепенно выходят из обихода.

Музыкальный "вкус" со временем "плывет", смещается, иногда в сторону усложнения, иногда в сторону упрощения. Так например в средние века нот было не семь, а всего шесть. Нота "си" вошла в обиход много позднее и до сих пор является не совсем полноценной нотой лада. Например, от нее не строятся устойчивые аккорды. Еще раньше нот было всего пять (пентатоника). То же самое с аккордами: меняется представление об их благозвучии. Этот процесс занимает века и даже тысячелетия, но он объективно существует.

[goh-dan.livejournal.com]

Понятно объяснено, респект.

[begemotiha.livejournal.com]

с нетерпением жду продолжения!

[ex-neo-is-fl156.livejournal.com]

Очень хорошая статья, но, к сожалению, неполная. Вы ведь изначально поставили задачу, объяснить, почему так. В результате Вы лишь изложили известное as-is, правда в более ясном и конспективном варианте.

Больше всего интересно было бы почитать обоснование п.3 и п.5.

3. Почему RTC-12 лучше, мелодичнее, красивее, чем, скажем, звукоряд с такими частотами: v = 440*2^i/10?

5. Почему выбираютчся 7 более предпочтительных? Почему не 6? Почему не 8? Почему именно таких?

[mp-gratchev.livejournal.com]

5. "Почему выбираются 7 более предпочтительных? Почему не 6? Почему не 8?"

Тут в действие вступает известное правило: 7 (+/-)2. Со временем выпестовалась именно такая система. На вопрос "почему?" - ответ: "так сложилось исторически", - пожалуй, самый исчерпывающий. А статья, действительно замечательная.

[ex-neo-is-fl156.livejournal.com]

Интуиция мне подсказывает, что существует более исчерпывающий ответ, чем "исторически сложилось". Иначе - при такой доступности софтварных синтезаторов - что мешает экспериментировать с нестандартным звукорядом? Экспериментируют, только вот музыка выходит неблагозвучная. Почему?...

[psilogic.livejournal.com]

Хорошо, попробую ответить. Вопрос звучал так: почему говорят, что нот 7, когда их 12? Ответ: потому, что обычно используют не все 12, а выбирают только 7 нот из 12, и играют только их (или в основном только их).

Звукоряд РТС-12 вовсе не лучше, не мелодичнее и не красивее звукоряда РТС-10, который вы упомянули. Просто люди сейчас привыкли к такому звукоряду. Во времена Пифагора было 24 ноты, но всего одна октава.

Опять же, бывали лады и в 6 нот, и в 8, и сейчас они фактически встречаются, хотя и редко. А вот ответ на вопрос, почему именно такие 7 нот из 12, у меня есть. К сожалению, ответ занимает файло с расчетами и программами на пару десятков страниц, половина из которых пылится где-то на бумажечках. Когда-нибудь я удосужусь оформить это дело как следует и опубликую.

[ex-neo-is-fl156.livejournal.com]

Спасибо за ответ.
Буду ждать, когда Вы опубликуете файл с расчётами и программами. Тема музыки & математики мне очень интересна.

[andy1618.livejournal.com]

Звукоряд РТС-12 вовсе не лучше, не мелодичнее и не красивее звукоряда РТС-10, который вы упомянули.
Что-то я сомневаюсь, что можно будет привыкнуть к РТС-10 :) Вот к РТС-100 - легко (просто запретить там 80% нот) :)

[jagg.livejournal.com]

3. Возможно, потому что у 12 больше делителей. Не сильно удивлюсь, если здесь проявляется логарифмичность человеческого восприятия.

Очевидно, но не прозвучало явно

[jagg.livejournal.com]

Почему октава получается удвоением частоты?
Почему не утроением?

Re: Очевидно, но не прозвучало явно

[psilogic.livejournal.com]

Ну если очевидно, прозвучите, пожалуйста? :)

[evko.livejournal.com]

В общем случае можно взять лад, который совпадает со звукорядом. В нем выбираются все 12 нот из 12 в каждой октаве. Такой лад называется "додекафоникой". Музыка, играемая в таком ладу, звучит... выберем такой мягкий эпитет... весьма экспериментально :)

Ну-ну, джаз уже давным-давно не считается экспериментальным направлением :)

[strannikofrock.livejournal.com]

Собственно, из поста так и не смог понять почему нот считается 7, а не 12 :) Зашел спор с друзьями, так и не пришли к общему выводу. Ну есть тональность, пускай до-мажор. 7 нот в ней, понятно. А что с диезами? Это счаитется нотами, или просто как полутона какие-то? Корректно говорить нота до-диез, или нот всего 7, а остальное просто как повышение (понижение)основного тона и формально нотой не считается?..

[psilogic.livejournal.com]

у этого поста есть продолжение - там все детально объясняется насчет диезов.

Что касается почему 7 нот, а не 12 - потому, что 5 оставшихся нот не играют. Берете песенку попроще, смотрите, какие там клавиши пианино. Обычно там их только 7 разных, а не 12. Скажем, встречаются до, ре, ми, фа#, соль, ля, си. А до#, ре#, фа, соль#, ля# - не встречаются.

[ А что с диезами? Это счаитется нотами, или просто как полутона какие-то? ]

Вкратце диез - это нота, смещенная на полутон вверх от другой ноты. Детально - см. по ссылке.