psilogic | Математика музыки

Entry tags:

математика музыки

Математика музыки - тональности

Вопрос 3: зачем нужно 24 тональности?
Если музыка, сыгранная в разных тональностях, звучит одинаково, то зачем они нужны?

Как я определял раньше, тональность - это 3 или 6 ладов. В процессе игры возможны переходы между этими 6 ладами. Но случаются (хотя и значительно реже) переходы в другие группы ладов, то есть, в другие тональности. Легче всего происходит переход в ту тональность, у которой почти все "разрешенные" ноты - такие же точно. Вот пример:

Здесь даны для сравнения лады двух тональностей: до-мажор/ля-минор и соль-мажор/ми-минор. Разрешенные клавиши те же самые, за исключением того, что вместо фа играется соседняя справа нота. Вы уже знаете, почему такая замена называется фа-диезом (а не соль-бемолем) - так как нота соль никуда не девается, а вот фа становится запрещенной.

В миноре из трех аккордов меняется один, а два других - только перекрашиваются. То же самое в мажоре:

Было:
до-ми-соль (малиновый)
фа-ля-до (синий)
соль-си-ре (голубой)
Стало:
соль-си-ре (малиновый)
до-ми-соль (синий)
ре-фа#-ля (голубой)

Новая тональность получилась простым сдвигом старой на 7 клавиш вправо (или на 5 влево).

Вот это одна причина того, для чего нужны тональности: из-за переходов между ними. Не во всякой песне, не во всякой симфонии есть такие переходы, но это довольно распространенное явление.

Всего есть 12 пар тональностей, они образуют цикл.
Следующая тональность получается сдвигом всех клавиш на 7 вправо (или на 5 влево).
Предыдущая тональность получается сдвигом всех клавиш на 7 влево (или на 5 вправо).

При сдвиге на 2 октавы и больше надо учитывать, что ноты имеют период в 12. Так что двойной сдвиг вправо на 7 нот - это сдвиг на 14 вправо, то есть, всего на 2 ноты (при этом появляются два диеза). 12 таких сдвигов возвращают нас в прежнюю тональность. Вообще сдвиг на X эквивалентен сдвигу на X + 12*N, где N - целое.

При переходе к следующей тональности 4-я справа (от оси симметрии) клавиша становится запрещенной, вместо нее используется 5-я. То есть, добавляется один "диез" (или убирается один "бемоль").
При переходе к предыдущей тональности 4-я слева (от оси симметрии) клавиша становится запрещенной, вместо нее используется 5-я. То есть, добавляется один "бемоль" (или убирается один "диез").
-- обратите внимание, и здесь симметрия сохраняется.

Раньше мы говорили о диезах и бемолях, которые получаются при смене лада в пределах одной тональности, а теперь - о диезах и бемолях, которые получаются при смене лада с переходом в другую тональность. Иногда эти два способа смены лада сочетаются вместе. И вот тогда получаются:

- дубль-диез - двойная замена ноты с левой на соседнюю правую.
- дубль-бемоль - двойная замена ноты с правой на соседнюю левую.
- бекар - двойная замена ноты с левой на соседнюю правую, а потом обратно. Или наоборот: с правой на соседнюю левую, а потом обратно. В результате получается исходная нота.

Вторая причина того, для чего нужны тональности - это существование людей с "абсолютным слухом".

"Абсолютный слух" примерно в том же смысле, в каком координаты бывают абсолютные и относительные. Если человек с абсолютным слухом услышит ноты: до, ми, он скажет: "я слышу до и ми". Человек с обычным (относительным) слухом скажет: "я слышу две ноты, вторая на 4 клавиши правее (выше)". То есть, человек с относительным слухом не сможет сказать точно, какие это ноты, а только указать соотношение частот "интервал" между ними.

Человек с относительным слухом не различает мелодии, исполненные в разных тональностях (со сдвигом всех нот на плюс/минус 6 клавиш или меньше). Для человека с абсолютны слухом одна мелодия, исполненная в разных тональностях,- это две по-разному звучащие мелодии.
Абсолютный слух имеет всего 1 человек из 2000. Нужно ли ради них "корячиться"? :) Вопрос спорный, учитывая, два обстоятельства:
- среди музыкантов и композиторов людей с абс. слухом несколько больше, чем среди остальных людей
- абс. слух можно развить тренировками, особенно в детстве.

Третья причина того, для чего нужны тональности - это разные инструменты. Не всякий инструмент может исполнять любую ноту из РТС-12. Особенно это относится к такому "инструменту", как человеческий голос. Сдвинь исполнение на 5 нот налево - и, глядишь, певец уже будет меньше уставать.

Четвертая причина того, для чего нужны тональности - это "так исторически сложилось". Музыкальная система весьма консервативна. До средних веков вместо РТС-12 использовался пифагоров строй. А там фа-диез и соль-бемоль - две разные частоты. На слух различие между ними почти незаметно, если только не сыграть их одновременно (тогда возникнет характерное "биение").

Так что в какой-то мере диезы и бемоли - отголосок еще тех времен.

А теперь я все "переиграю"

Я долго рассказывал о том, зачем нужны бемоли и диезы. Но! Кому они нужны? А нужны они композиторам и людям, которые для той или иной цели анализируют музыку. Им надо понимать, какие смены лада происходят, чтобы понять ход мысли композитора, следить за внутренним строением мелодии.

Для исполнителей, для дирижеров, для компьютера, играющего мелодию, глубоко по барабану разница между фа-диезом и соль-бемолем, между ре и ре-бекаром, между до-дубль-диез и ре.

Я думаю, что дирижеры и исполнители были бы "щастливы" :) если бы нот было 12 без всяких там диезов и бемолей.
Я думаю, что программисты были бы "щастливы", если бы ноты вообще обозначали номерами от 0 до 11.

Threaded | Top-Level Comments Only

"Музыка, сыгранная в разных тональностях, звучит одинаково"

Хе!
А вы вообще слышали когда-нибудь музыку, переложенную из одной тональности в другую? ;)
Звучит она одинаково, как же...

Для кого как. Зависит от наличия абсолютного слуха.

у меня наличия абсолютного слуха не наблюдается.
Проверено музыкальной школой (тм) - нет его, абсолютного, вовсе
Но звучит по разному, реально

значит таки что-то есть :)

Поддерживаю:
имеется - муз. школа по классу фортепиано, родители - профессиональные музыканты; абсолютного слуха - нет. И все-таки оно разное.

Я несколько семестров посещала семинары факультета фонетики в Мюнхенском универе, и вот свободно изложенные выкладки из лекций профессора Тилльмана:
Одно и то же произведение в разных тональностях звучит от части по-разному из-за физиологического устройства человеческого органа слуха. Звуки и их сочетания (а тем более такие нетривиальные сочетания звуков как муз. произведения) в разном звуковом диапазоне (звук в основе своей есть ни что иное как восприятие человеческим органом слуха колебаний молекул воздуха/жидкости) по-разному влияют на человеческое восприятие/психику.

Вот так. Абсолютный слух - не условие абсолютного восприятия музыки.

Ага!
Я совершенно согласна с тем,что музыка, сыгранная в разных тональностях, звучит по-разному!
Хотя про слух свой сказать ничего не могу (про него знает мой учитель по фортепиано=) )
А насчет бемолей и диезов: Мне легче (привычнее) играть с бемолями))) Как-то уютнее,что ли......

В смысле, согласна с пред-предыдущим оратором: "что-то есть" - это не приближение к абсолютному слуху, это "общО" статистически для всех.

Дело привычки. Кратчайший путь - тот, который знаешь. Потому люди зачастую выбирают неоптимальный с точки зрения непредвзятого наблюдателя маршрут, не лучший, а более привычный способ выполнения работы, не наиболее эффективную, а наиболее привычную стратегию поведения ("Знаю, что нехорошо, но ничего не могу с собой поделать!" - король из "Обыкновенного чуда")...
На самом деле ничего фатального в смене привычек нет, просто это сопряжено с лишними, с точки зрения привыкшего, трудозатратами. И если эти затраты недостаточно обоснованы - человек не захочет менять привычки. Но когда преимущества новой системы и недостатки привычной более-менее уравновесятся - человеку станет гораздо легче сменить старое на новое...

Профессор, скоре всего, гонит отсебятину :) Воздействие разное только на первых сенсорных нейронах. Что там дальше, и не сводится ли оно в конечном счете к одному и тому же результату млм у кого-то сводится, а у кого-то нет?

Кто вам сказал, что разное восприятие связано именно со сменой тональности, а не с тем, что произведение исполнялось иначе? Даже два исполнения в одной тональности по одним и тем же нотам - и то отличаются друг от друга.

Различное восприятие надо доказывать четким экспериментом, который в обычных условиях никто ставить не станет - с компьютерным синтезом мелодии, с прослушиванием через большой промежуток времени. В живой музыке по крайней мере музыканты знают, что играют в другой тональности, и уже это начинает влиять. Влияет даже настройка инструментов. Например, у меня на пианино часть клавиш была изрядно задолбана, так что исполнение на полутон выше делало звук сразу сочнее :)

Отмена предыдущего знака альтерации часто связана именно с переходом в другой лад (гармонический или мелодический). Такой переход занимает обычно ровно один такт, отсюда и правило. Если мелодия идет "из-за такта", то может понадобиться отмена в конце такта, что тоже связано со сменой лада и возвращением в прежний лад.

то же, что сказать, что на клавиатуре удобней клавиши располагать по алфавиту.

Так и есть. Знаете, откуда взялась раскладка "qwerty"? Во времена, когда пишущие машинки были еще механическими, их железки не успевали за шустрыми пальчиками машинисток. Чтобы как-то с этим бороться, расположение клавиш сделали намеренно как можно более неудобным.

Согласен с tikster, что это вопрос привычки. Если человек уже привук к определенному способу чтения нот, то всегда найдутся оправдания в его пользу и минусы для другого способа. Лично мне тоже было бы неудобно играть на 7-8 линейках. Но я не ищу себе оправданий, т.к. понимаю, что это всего лишь привычка.

Такие вещи узнаются только при объективном эксперименте. Например, если две группы детей с самого начала обучать по двум разным системам, а потом сравнить результаты. И то - при этом надо будет еще придумать, как избежать того, чтобы одной группе детей случайно не попался более талантливый педагог, чем другой.

т.е. буквы "a" и "s" менее используемые? :)))

У вас была пишущая машинка производства начала 1900 года? :)

http://www.thg.ru/business/200310241/

Вы еще раз мой постинг перечитайте.
Я пишу о том, что при смене тональности меняется частота колебаний среды + (это я уже сейчас добавлю)обертоны, без которых музыка музыкой быть перестает.
Все это вкупе не может не влиять на восприятие. Другой вопрос - осознает ли воспринимающий человек эту разницу. Не-музыкантам это мягко говоря, все равно. Музыканты для себя уже все решили и ответы вы в комментах на ваш постинг видите.
Я вполне допускаю, что описанный вами эксперимент таки был поставлен. Не может быть, чтобы данный вопрос никого не интересовал, не исследовался и не обсуждался. Просто результаты нам с вами - неизвестны.

Линки на институт фонетики моего университета я могу дать, если это нужно.

Я думаю, что программисты были бы "щастливы", если бы ноты вообще обозначали номерами от 0 до 11.

Уточнение: для программиста по-моему лучше использовать то самое i (из 440*2^i/12). А уж взять i/12 (для определения октавы) или i%12 для определения ноты - не проблема!

Тональность среды меняется, а дальше что? Дальше барабанная перепонка. Дальше - улитка. В улитке - волоски, каждый из которых реагирует на определенную частоту. Замечу, частоту абсолютную. К каждому волоску идут аксоны сенсорных нейронов первого уровня. Разные по абсолютной высоте звуки будут вызывать возбуждение физически разных нейронов. А дальше что? А дальше, вполне возможно, идет дифференциал, т.е. вычитание частот, то есть, относительные величины и, как следствие, относительное, а не абсолютное восприятие в более глубинных отделах мозга, которые отвечают за сознание и эмоции. Почему я говорю "вполне возможно" - да потому, что так происходит со зрением. Есть аккомодация зрения по освещенности. Если самую малость, чуть-чуть понизить яркость экрана, вы заметите изменения в своем аватаре. Форма головы, черты не изменятся. Но если вам показать ваш аватар через сутки и спросить: а сейчас яркость экрана изменена на пару делений или нет? Тогда вы, скорее всего, не сможете ответить правильно.

Ну отмена то знаков при ключе - по случаю чего происходит? :)

ХреНатизмы :) это, конечно, хорошо, я про них упоминал вскользь (просто не говорил, как это называется), когда говорил о возможности изредка играть запрещенные ноты. В хроматизмах, кстати, действует примерно тот же принцип: хроматизм ре-бемоль часто означает, что ре временно запрещена.

Согласен. Вот только для отрицательных i брать i%12 не очень привычно :)

все-таки, по-моему, неправильная постановка вопроса. Что это значит - зачем нужны тональности? Они не "зачем", они "почему". Есть 11 нот. Вместе с ними появляются 11 тональностей, потому что "объективно" можно любую мелодию сыграть от любой ноты.
Ну, как с натуральным рядом: можно начать считать с 1, а можно с 10 или с 60. Откуда начнешь, оттуда и начнешь, но уж считать будь добр по порядку..

а Вы напишите что такое "пентатоника" и как она выглядит (звучит) и пифагоров лад?
очень интересно!

Ну, вы правы, конечно. Разве что не 11, а 12 :)

ууу... про другие звукоряды и лады - это длинная история. Но я постараюсь найти время. :)

В смысле, за время от Баха до наших дней? Может, расскажете? Или лениво? ;)

В крайнем случае на одну ноту, но бывает, что и дольше. К тому же даже "на одну ноту" означает, что эта нота запрещена в басах, в других голосах и в других нотах аккорда, что запрещенная нота была пропущена при последовательном голосоведении или не достигнута при опевании. То есть, информация от значка альтерации все же не нулевая.

Я так понимаю, что мы говорим одно и то же и несоглашаемся только в формулировках. Так что пусть уж будет как угодно.

:o)

почему 12?

ну пересчитайте :)

а, ну да, 12

Понял.
v2: брать i+60.
20Hz вряд ли можно исполнить на каком-нибудь инструменте, но, даже если можно, это будет редкое исключение.

Напомню историю расположения алфавитов на клавиатуре. Если русские буквы расположены так, чтобы наиболее часто употребляемые буквы были наиболее доступны (расположение букв именно связано со скоропечатанием, и ни с чем иным), то латиница как раз наоборот - чтобы СНИЗИТЬ скорость набора. И это сложилось действительно исторически.

Для исполнителя удобство нотной записи связано, в первую очередь, с инструментом, на котором он играет. Гитаристу табы гораздо удобнее, чем нотная запись. Между прочим, табы прижились замечательно как раз потому, что они удобнее.

7 нот действительно удобнее, чем 12 в общении. Как ни верти, большинство мелодий лежат в 7-ми ступенных тональностях.

Я думаю, что программисты были бы "щастливы", если бы ноты вообще обозначали номерами от 0 до 11.

А вот ни скажи. Когда мы занимались автоматическим сочинением мелодий, ряд 0-11 оказался очень неудобным (хотя он первым пришел на ум :))). Проще всего оказалось работать с гаммами, а точнее, с номерами ступеней в гамме. Если взять ля-минор или до-мажор, номера ступеней имеют традиционные названия. Однозначно, программисту проще работать с цифрами, чем с именами нот. И все же... не 12, а столько, сколько есть в выбранном ладе.
Как раз таки для "запрещенных" нот проще придумать специальные обозначения, чем ставить их в один ряд с "разрешенными".

Забавно, написали об одном и том же практически в один момент времени :)

С клавиатурными раскладками не всё так просто. Практически для каждого языка есть по несколько несовпадающих раскладок. С частотой использования букв та же история.
Вот данные свеженького эксперимента (текст 85 кб):
Десятка самых частых букв выглядит так:

о: 4929 
а: 4022 
е: 3827 
и: 3065 
т: 3025 
н: 2804 
с: 2230 
л: 2165 
в: 1981 
р: 1923

Обратите внимание, что ни М, ни П, ни К, расположенных близко к центру привычной русской раскладки "ЙЦУКЕН", в этом списке нет. Кстати, буква Д, встреченная в тексте около 1600 раз, находится дальше от центра, чем Г, встреченная около 800 раз.
Кроме того, для увеличения скорости печати имело бы смысл как-то максимально сгруппировать наиболее частые сочетания клавиш. Эту статистику собрать сложнее, но даже без неё видно, что сочетания ЕН, ГШ, ЫВ, ЧС - не самые частые в русской речи. ;)
Так что гипотеза о скоропечати, видимо, неверна. Настоящая история русской клавиатурной раскладки как-то давно попадалась мне в сети, но пересказать её хотя бы близко к тексту я не готов. ;)
Единственное, что очевидно - родовая связь компьютерной раскладки с пишмашиновской. Первые программы-русификаторы делались в строгом соответствии с ней. Но было страшно неудобно нажимать точку и запятую с шифтом. Виндовая раскладка наполовину снизила остроту этой проблемы, но породила новую: в русской и английской раскладках точка и запятая находятся на трёх разных кнопках!
Очевидным решением было бы не запутываться в двойных-тройных значениях клавиш, а принять как стандартную раскладку, где вне зависимости от языка знаки препинания и прочие символы (например, знак параграфа) находились на отдельных, более ничем не нагруженных клавишах. И это не фантастика - первая клавиатура была, по-моему, 82-клавишной, потом появился стандарт на 101-клавишную, 104- и 105-клавишную.
Теперь производители не останавливаются даже перед 120-ю с лишним клавишами, и это покупается, то есть потребитель привыкает К ЛЮБОЙ раскладке.
Так что не было и нет никаких препятствий для создания персональной клавиши, например, для точки, и это действительно повысило бы скорость работы с текстами.

Из второго абзаца я делаю полушутливый вывод, что нотная запись таки неудобна даже самим музыкантам. ;)

Большинство, скажем так, ЕВРОПЕЙСКИХ мелодий. Китайцы, выросшие на национальной музыке, не ограниченной, как я понимаю, жёсткими рамками допустимых тональностей, прекрасно играют и европейские мелодии в том числе. Очевидный пример - Ванесса Мей.

Отсюда второй полушутливый вывод: музыканты, цепляющиеся за освящённые столетиями догматы европейской музыки, - жуткие КОНСЕРВАТОРы, боящиеся менять неудобное, но привычное прокрустово ложе на громадный, но неизведанный простор 12-ти спального сексодрома! ;))

Анекдот в тему.
Люди делятся на три категории: на тех, кто умеет считать, и тех, кто не умеет. ;))

ЗЫ. Не обижайтесь, пожалуйста, из песни, как говорится, слова не выкинешь. ;))

*восхищенно* читая про сексодром:
Вот ведь загнул так загнул! Умеют же люди! :)

я щястлив, шо не знаю нотной грамоты. глободаря этому я могу без суеверного страха экспериментировать с 24-, 36- и 72-тоновыми шкалами :))

какие нах линейки?! играть нада ушами и руками/ногами/губами/etc. а по поводу записи пусть секвенсеры паряццо. фсё равно самое удобное, что сушчествует на сегодня – piano roll :)))

ну и как оно? :)

мне нравиццо :)))
на 24 и 36 масса интересных и приятственных для уха созвучий получаеццо.
на 72 я соседние тона не различаю, канешно :)) юзаю её, чтобы лёгкую расстройку делать, но при этом сохранять гармонический спектр. хотя в последнее время думаю перейти на 360 для всего сразу – букав кода получиццо существенно меньше :))

соотвецтвенно, меньше нагрузка на компилятор

<<То есть, человек с относительным слухом не сможет сказать точно, какие это ноты, а только указать соотношение частот "интервал" между ними.

Прикольно. А я все время считал, что у меня абсолютный слух, потому что могу опредлить интервал.
То есть отличить полутон от тона. И привык очень гордиться этим))
Но ведь правда есть великое множество людей, которые даже этого не могут.

Подскажите, пожалуйста, можно ли при игре частушек из До-мажора переходить в Ля-минор? Будет ли это грамотно с точки зрения восприимчивости мелодии?

Думаю, что минор для заведомо увеселительной мызыки будет в любом случае звучать странновато.

:) Отнюдь... Классические три аккорда на гитаре для новичков Dm, Am, E, Am - это же вариант частушек в миноре. Я их транспонировал и на балалайке брянкаю вот так: вот так: 1. Мажор: С, G, D(m)7, G, затем 2. Минор: Am, Em, H, Am, потом снова в Мажор. Ну, или вместо 2. играть мотив а-ля цыганочки Am, Em, H7, Em. D(m)7 - это малый септаккорд без второй ступени (так как струны всего три :) ) Но, мне важен именно ответ на мой вопрос. Звучит вроде ничего... На новой балалайке ещё надо попробовать, когда пришлют.

[ три аккорда на гитаре для новичков Dm, Am, E, Am - это же вариант частушек в миноре ]

Ну и звучат они эдак "печально" - хотя мажорное трезвучие E смягчает. Самое оно для частушек с черным юмором :) Другое дело, что мелодия в сплошном 100%-ном мажоре - редкость, и пример - как раз мелодия частушек - та которая самая "стандартная". Если вы смешаете мажор и гармонический минор в соотношении 1 к 1, - ну значит получите нечто среднее, кисло-сладкое. Но это же только один фактор...

Threaded | Top-Level Comments Only

Математика музыки - тональности

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject

no subject