![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Проект "логика для чайников" - параграф 20
Доказанность и истинность
Зачастую эти слова используют как синонимы. Дескать, раз доказано, значит, истинно. Но между этими понятиями есть и серьезные различия.
Выбор аксиом и правил вывода остается на усмотрение того, кто создает дедуктивную систему. В результате аксиомы могут оказаться истинными или нет.
Вспомните пример с завхозом и директором. Завхоз предлагал аксиому “министр любит банкеты”, а директор – аксиому “министр любит чистоту”. Точнее, первый имел в виду, что министру банкеты важнее, чем чистые окна, а второй – наоборот. Только одна из этих аксиом истинна. Какая? Если госпожа министр очень чистоплотна, то прав директор, а если больше любит выпить и закусить, тогда прав завхоз.
Из первой аксиомы получается следствие (теорема), что не надо тратить время на мытье окон, лучше уделить больше внимания банкету. Из второй аксиомы получается противоположная теорема – что стоит потратить больше времени на наведение чистоты и порядка.
Обратите внимание, что оба следствия уже сейчас доказаны в своей системе аксиом, но только одно из них окажется истинным, когда на деле выяснится, какой характер у госпожи министра.
Итак, доказанность и истинность – разные вещи. Доказанное утверждение может быть истинным или ложным в зависимости от того, истинны аксиомы или ложны.
Даже если аксиомы вызывают сомнения, можно попытаться что-то доказать с их помощью. В жизни это выглядит примерно так:
– Я сомневаюсь в этом, но предположим, что это так. Что из этого следует?
– Допустим, что вы правы в том, что... Но ведь тогда получается, что...
– Это было бы верно, если бы я согласился с вашим заявлением, что...
– Конечно, если бы... тогда получилось бы, что...
– Его мнение основано на предположении, что... Если принять такое предположение, тогда действительно...
__________
Наверное, вы слышали о том, что помимо евклидовой геометрии есть и другие. Например, можно последнюю аксиому заменить на противоположное утверждение – и получится неевклидова геометрия. В евклидовой геометрии есть теорема: “сумма углов треугольника равна 180 градусам”. В неевклидовой геометрии эта теорема неверна.
Так что же, истинна эта теорема или нет? Это зависит от того, с какой аксиоматикой мы сейчас работаем. В любом случае будет истинно такое утверждение:
“Если аксиомы Евклида истинны, то сумма углов треугольника равна 180 градусам”.
__________
Кроме аксиом есть еще правила вывода. Они тоже очень важны. Вот пример.
Пусть дана аксиома: “Чтобы напоить корову, хватит 20 литров воды в сутки”. Уже известно, что эта аксиома истинна, поскольку ее когда-то проверили, и своими глазами увидели, что 20 литров корове хватило.
Пусть дано правило вывода: “Если корове хватает X литров, то ей хватит и (X + 1) литров”.
Получилась дедуктивная система с одной аксиомой и одним правилом вывода. Аксиома в ней не только доказана (как и все аксиомы), но и истинна. С помощью правила вывода можно получить утверждения: “Чтобы напоить корову, хватит 21 литра воды в сутки”. Потом то же самое про 22 литра, 23 и так далее. Все эти утверждения тоже истинны.
А теперь возьмем другое правило вывода: “Если корове хватает X литров, то ей хватит и (X – 1) литров”.
С помощью этого правила вывода мы получим утверждение, что корове хватит 19 литров, потом, что 18, и так далее. В конце концов мы придем к выводу, что корове хватит 0 литров, что уже явная ложь.
В чем разница между двумя дедуктивными системами из примера? В них одна и та же аксиома, но разные правила вывода. Во второй системе правило вывода хуже. Чем хуже? Тем, что оно иногда позволяет перейти от истинного утверждения к ложному. В результате ложное утверждение оказывается доказанным. Как видите, это еще один случай, когда доказанное не является истинным.
Необходимо, чтобы правила вывода позволяли переходить от истинных утверждений только к истинным, причем, всегда. Тогда, начиная доказательство от истинных аксиом, мы будем всегда приходить к истинным теоремам.
Следует избегать тех правил вывода, которые могут привести к доказательству ложных теорем. В математике на такие правила вывода не налагается категорического запрета, но надо помнить, чем грозит их применение.
В жизни возражения по этому поводу могут выглядеть примерно так:
– Если рассуждать так, как вы (т.е. применять такие правила вывода), то можно доказать любой абсурд!
– Начали вы хорошо, но ваши рассуждения некорректны, они ведут к ложным выводам.
– Исходные положения у меня не вызывают возражений, но ваши методы доказательства никуда не годятся.
– То, что вы говорили сначала, верно, но так рассуждать нельзя!
Пример теоремы из Евклидовой геометрии можно теперь еще уточнить:
“Если аксиомы Евклида истинны, и применяемые правила вывода допускают получение только истинных теорем, то сумма углов треугольника равна 180 градусам”.
Чего то по-тихоньку начинается логика уже не для чайников, а для сравнительно продвинутых :)
Зачастую эти слова используют как синонимы. Дескать, раз доказано, значит, истинно. Но между этими понятиями есть и серьезные различия.
Выбор аксиом и правил вывода остается на усмотрение того, кто создает дедуктивную систему. В результате аксиомы могут оказаться истинными или нет.
Вспомните пример с завхозом и директором. Завхоз предлагал аксиому “министр любит банкеты”, а директор – аксиому “министр любит чистоту”. Точнее, первый имел в виду, что министру банкеты важнее, чем чистые окна, а второй – наоборот. Только одна из этих аксиом истинна. Какая? Если госпожа министр очень чистоплотна, то прав директор, а если больше любит выпить и закусить, тогда прав завхоз.
Из первой аксиомы получается следствие (теорема), что не надо тратить время на мытье окон, лучше уделить больше внимания банкету. Из второй аксиомы получается противоположная теорема – что стоит потратить больше времени на наведение чистоты и порядка.
Обратите внимание, что оба следствия уже сейчас доказаны в своей системе аксиом, но только одно из них окажется истинным, когда на деле выяснится, какой характер у госпожи министра.
Итак, доказанность и истинность – разные вещи. Доказанное утверждение может быть истинным или ложным в зависимости от того, истинны аксиомы или ложны.
Даже если аксиомы вызывают сомнения, можно попытаться что-то доказать с их помощью. В жизни это выглядит примерно так:
– Я сомневаюсь в этом, но предположим, что это так. Что из этого следует?
– Допустим, что вы правы в том, что... Но ведь тогда получается, что...
– Это было бы верно, если бы я согласился с вашим заявлением, что...
– Конечно, если бы... тогда получилось бы, что...
– Его мнение основано на предположении, что... Если принять такое предположение, тогда действительно...
__________
Наверное, вы слышали о том, что помимо евклидовой геометрии есть и другие. Например, можно последнюю аксиому заменить на противоположное утверждение – и получится неевклидова геометрия. В евклидовой геометрии есть теорема: “сумма углов треугольника равна 180 градусам”. В неевклидовой геометрии эта теорема неверна.
Так что же, истинна эта теорема или нет? Это зависит от того, с какой аксиоматикой мы сейчас работаем. В любом случае будет истинно такое утверждение:
“Если аксиомы Евклида истинны, то сумма углов треугольника равна 180 градусам”.
__________
Кроме аксиом есть еще правила вывода. Они тоже очень важны. Вот пример.
Пусть дана аксиома: “Чтобы напоить корову, хватит 20 литров воды в сутки”. Уже известно, что эта аксиома истинна, поскольку ее когда-то проверили, и своими глазами увидели, что 20 литров корове хватило.
Пусть дано правило вывода: “Если корове хватает X литров, то ей хватит и (X + 1) литров”.
Получилась дедуктивная система с одной аксиомой и одним правилом вывода. Аксиома в ней не только доказана (как и все аксиомы), но и истинна. С помощью правила вывода можно получить утверждения: “Чтобы напоить корову, хватит 21 литра воды в сутки”. Потом то же самое про 22 литра, 23 и так далее. Все эти утверждения тоже истинны.
А теперь возьмем другое правило вывода: “Если корове хватает X литров, то ей хватит и (X – 1) литров”.
С помощью этого правила вывода мы получим утверждение, что корове хватит 19 литров, потом, что 18, и так далее. В конце концов мы придем к выводу, что корове хватит 0 литров, что уже явная ложь.
В чем разница между двумя дедуктивными системами из примера? В них одна и та же аксиома, но разные правила вывода. Во второй системе правило вывода хуже. Чем хуже? Тем, что оно иногда позволяет перейти от истинного утверждения к ложному. В результате ложное утверждение оказывается доказанным. Как видите, это еще один случай, когда доказанное не является истинным.
Необходимо, чтобы правила вывода позволяли переходить от истинных утверждений только к истинным, причем, всегда. Тогда, начиная доказательство от истинных аксиом, мы будем всегда приходить к истинным теоремам.
Следует избегать тех правил вывода, которые могут привести к доказательству ложных теорем. В математике на такие правила вывода не налагается категорического запрета, но надо помнить, чем грозит их применение.
В жизни возражения по этому поводу могут выглядеть примерно так:
– Если рассуждать так, как вы (т.е. применять такие правила вывода), то можно доказать любой абсурд!
– Начали вы хорошо, но ваши рассуждения некорректны, они ведут к ложным выводам.
– Исходные положения у меня не вызывают возражений, но ваши методы доказательства никуда не годятся.
– То, что вы говорили сначала, верно, но так рассуждать нельзя!
Пример теоремы из Евклидовой геометрии можно теперь еще уточнить:
“Если аксиомы Евклида истинны, и применяемые правила вывода допускают получение только истинных теорем, то сумма углов треугольника равна 180 градусам”.
Чего то по-тихоньку начинается логика уже не для чайников, а для сравнительно продвинутых :)
no subject
(no subject)
(no subject)
no subject
А можно где-нибудь в одном месте все это собрать?
(no subject)
(no subject)
no subject
"Истина - это называние вещей своими именами". Ну-ка приведите мне пример неистинной аксиомы тогда!
Или так. Аксиома "Через 2 точки можно провести 1 и только 1 прямую" - истинна или нет? Где здесь, кстати, называние чего бы то ни было каким бы то ни было именем?
Наверное, вы слышали о том, что помимо евклидовой геометрии есть и другие. Например, можно последнюю аксиому заменить на противоположное утверждение – и получится неевклидова геометрия.
Отлично. И какая из трёх формулировок этой аксиомы истинна? Через точку вне данной прямой можно провести СКОЛЬКО прямых, параллельных данной - 1 и только 1, по крайней мере 2 или ни одной?
Они ведь не могут быть истинными одновременно, правда? Или всё-таки могут? Если могут - то грош цена вашей логике :).
Как вообще можно с позиций "своих имён для вещей" подходить к истинности *аксиом*?
но только одно из них окажется истинным, когда на деле выяснится, какой характер у госпожи министра.
Вот именно. НА ДЕЛЕ выяснится. Выяснится, как всё обстоит на самом деле. Выяснится соответствие с реальностью. Не сигналов с системой имён, а представлений с реальностью. Никаким иным способом нельзя проверить, что истинно, что нет.
И с аксиомами - только так же. Только на опыте можно установить, евклидово наше пространство или нет.
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)