![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicДоказанность и истинность
Зачастую эти слова используют как синонимы. Дескать, раз доказано, значит, истинно. Но между этими понятиями есть и серьезные различия.
Выбор аксиом и правил вывода остается на усмотрение того, кто создает дедуктивную систему. В результате аксиомы могут оказаться истинными или нет.
Вспомните пример с завхозом и директором. Завхоз предлагал аксиому “министр любит банкеты”, а директор – аксиому “министр любит чистоту”. Точнее, первый имел в виду, что министру банкеты важнее, чем чистые окна, а второй – наоборот. Только одна из этих аксиом истинна. Какая? Если госпожа министр очень чистоплотна, то прав директор, а если больше любит выпить и закусить, тогда прав завхоз.
Из первой аксиомы получается следствие (теорема), что не надо тратить время на мытье окон, лучше уделить больше внимания банкету. Из второй аксиомы получается противоположная теорема – что стоит потратить больше времени на наведение чистоты и порядка.
Обратите внимание, что оба следствия уже сейчас доказаны в своей системе аксиом, но только одно из них окажется истинным, когда на деле выяснится, какой характер у госпожи министра.
Итак, доказанность и истинность – разные вещи. Доказанное утверждение может быть истинным или ложным в зависимости от того, истинны аксиомы или ложны.
Даже если аксиомы вызывают сомнения, можно попытаться что-то доказать с их помощью. В жизни это выглядит примерно так:
– Я сомневаюсь в этом, но предположим, что это так. Что из этого следует?
– Допустим, что вы правы в том, что... Но ведь тогда получается, что...
– Это было бы верно, если бы я согласился с вашим заявлением, что...
– Конечно, если бы... тогда получилось бы, что...
– Его мнение основано на предположении, что... Если принять такое предположение, тогда действительно...
__________
Наверное, вы слышали о том, что помимо евклидовой геометрии есть и другие. Например, можно последнюю аксиому заменить на противоположное утверждение – и получится неевклидова геометрия. В евклидовой геометрии есть теорема: “сумма углов треугольника равна 180 градусам”. В неевклидовой геометрии эта теорема неверна.
Так что же, истинна эта теорема или нет? Это зависит от того, с какой аксиоматикой мы сейчас работаем. В любом случае будет истинно такое утверждение:
“Если аксиомы Евклида истинны, то сумма углов треугольника равна 180 градусам”.
__________
Кроме аксиом есть еще правила вывода. Они тоже очень важны. Вот пример.
Пусть дана аксиома: “Чтобы напоить корову, хватит 20 литров воды в сутки”. Уже известно, что эта аксиома истинна, поскольку ее когда-то проверили, и своими глазами увидели, что 20 литров корове хватило.
Пусть дано правило вывода: “Если корове хватает X литров, то ей хватит и (X + 1) литров”.
Получилась дедуктивная система с одной аксиомой и одним правилом вывода. Аксиома в ней не только доказана (как и все аксиомы), но и истинна. С помощью правила вывода можно получить утверждения: “Чтобы напоить корову, хватит 21 литра воды в сутки”. Потом то же самое про 22 литра, 23 и так далее. Все эти утверждения тоже истинны.
А теперь возьмем другое правило вывода: “Если корове хватает X литров, то ей хватит и (X – 1) литров”.
С помощью этого правила вывода мы получим утверждение, что корове хватит 19 литров, потом, что 18, и так далее. В конце концов мы придем к выводу, что корове хватит 0 литров, что уже явная ложь.
В чем разница между двумя дедуктивными системами из примера? В них одна и та же аксиома, но разные правила вывода. Во второй системе правило вывода хуже. Чем хуже? Тем, что оно иногда позволяет перейти от истинного утверждения к ложному. В результате ложное утверждение оказывается доказанным. Как видите, это еще один случай, когда доказанное не является истинным.
Необходимо, чтобы правила вывода позволяли переходить от истинных утверждений только к истинным, причем, всегда. Тогда, начиная доказательство от истинных аксиом, мы будем всегда приходить к истинным теоремам.
Следует избегать тех правил вывода, которые могут привести к доказательству ложных теорем. В математике на такие правила вывода не налагается категорического запрета, но надо помнить, чем грозит их применение.
В жизни возражения по этому поводу могут выглядеть примерно так:
– Если рассуждать так, как вы (т.е. применять такие правила вывода), то можно доказать любой абсурд!
– Начали вы хорошо, но ваши рассуждения некорректны, они ведут к ложным выводам.
– Исходные положения у меня не вызывают возражений, но ваши методы доказательства никуда не годятся.
– То, что вы говорили сначала, верно, но так рассуждать нельзя!
Пример теоремы из Евклидовой геометрии можно теперь еще уточнить:
“Если аксиомы Евклида истинны, и применяемые правила вывода допускают получение только истинных теорем, то сумма углов треугольника равна 180 градусам”.
Чего то по-тихоньку начинается логика уже не для чайников, а для сравнительно продвинутых :)
Зачастую эти слова используют как синонимы. Дескать, раз доказано, значит, истинно. Но между этими понятиями есть и серьезные различия.
Выбор аксиом и правил вывода остается на усмотрение того, кто создает дедуктивную систему. В результате аксиомы могут оказаться истинными или нет.
Вспомните пример с завхозом и директором. Завхоз предлагал аксиому “министр любит банкеты”, а директор – аксиому “министр любит чистоту”. Точнее, первый имел в виду, что министру банкеты важнее, чем чистые окна, а второй – наоборот. Только одна из этих аксиом истинна. Какая? Если госпожа министр очень чистоплотна, то прав директор, а если больше любит выпить и закусить, тогда прав завхоз.
Из первой аксиомы получается следствие (теорема), что не надо тратить время на мытье окон, лучше уделить больше внимания банкету. Из второй аксиомы получается противоположная теорема – что стоит потратить больше времени на наведение чистоты и порядка.
Обратите внимание, что оба следствия уже сейчас доказаны в своей системе аксиом, но только одно из них окажется истинным, когда на деле выяснится, какой характер у госпожи министра.
Итак, доказанность и истинность – разные вещи. Доказанное утверждение может быть истинным или ложным в зависимости от того, истинны аксиомы или ложны.
Даже если аксиомы вызывают сомнения, можно попытаться что-то доказать с их помощью. В жизни это выглядит примерно так:
– Я сомневаюсь в этом, но предположим, что это так. Что из этого следует?
– Допустим, что вы правы в том, что... Но ведь тогда получается, что...
– Это было бы верно, если бы я согласился с вашим заявлением, что...
– Конечно, если бы... тогда получилось бы, что...
– Его мнение основано на предположении, что... Если принять такое предположение, тогда действительно...
__________
Наверное, вы слышали о том, что помимо евклидовой геометрии есть и другие. Например, можно последнюю аксиому заменить на противоположное утверждение – и получится неевклидова геометрия. В евклидовой геометрии есть теорема: “сумма углов треугольника равна 180 градусам”. В неевклидовой геометрии эта теорема неверна.
Так что же, истинна эта теорема или нет? Это зависит от того, с какой аксиоматикой мы сейчас работаем. В любом случае будет истинно такое утверждение:
“Если аксиомы Евклида истинны, то сумма углов треугольника равна 180 градусам”.
__________
Кроме аксиом есть еще правила вывода. Они тоже очень важны. Вот пример.
Пусть дана аксиома: “Чтобы напоить корову, хватит 20 литров воды в сутки”. Уже известно, что эта аксиома истинна, поскольку ее когда-то проверили, и своими глазами увидели, что 20 литров корове хватило.
Пусть дано правило вывода: “Если корове хватает X литров, то ей хватит и (X + 1) литров”.
Получилась дедуктивная система с одной аксиомой и одним правилом вывода. Аксиома в ней не только доказана (как и все аксиомы), но и истинна. С помощью правила вывода можно получить утверждения: “Чтобы напоить корову, хватит 21 литра воды в сутки”. Потом то же самое про 22 литра, 23 и так далее. Все эти утверждения тоже истинны.
А теперь возьмем другое правило вывода: “Если корове хватает X литров, то ей хватит и (X – 1) литров”.
С помощью этого правила вывода мы получим утверждение, что корове хватит 19 литров, потом, что 18, и так далее. В конце концов мы придем к выводу, что корове хватит 0 литров, что уже явная ложь.
В чем разница между двумя дедуктивными системами из примера? В них одна и та же аксиома, но разные правила вывода. Во второй системе правило вывода хуже. Чем хуже? Тем, что оно иногда позволяет перейти от истинного утверждения к ложному. В результате ложное утверждение оказывается доказанным. Как видите, это еще один случай, когда доказанное не является истинным.
Необходимо, чтобы правила вывода позволяли переходить от истинных утверждений только к истинным, причем, всегда. Тогда, начиная доказательство от истинных аксиом, мы будем всегда приходить к истинным теоремам.
Следует избегать тех правил вывода, которые могут привести к доказательству ложных теорем. В математике на такие правила вывода не налагается категорического запрета, но надо помнить, чем грозит их применение.
В жизни возражения по этому поводу могут выглядеть примерно так:
– Если рассуждать так, как вы (т.е. применять такие правила вывода), то можно доказать любой абсурд!
– Начали вы хорошо, но ваши рассуждения некорректны, они ведут к ложным выводам.
– Исходные положения у меня не вызывают возражений, но ваши методы доказательства никуда не годятся.
– То, что вы говорили сначала, верно, но так рассуждать нельзя!
Пример теоремы из Евклидовой геометрии можно теперь еще уточнить:
“Если аксиомы Евклида истинны, и применяемые правила вывода допускают получение только истинных теорем, то сумма углов треугольника равна 180 градусам”.
Чего то по-тихоньку начинается логика уже не для чайников, а для сравнительно продвинутых :)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-01-12 06:26 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-12 06:56 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-12 07:05 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-12 06:52 pm (UTC)А можно где-нибудь в одном месте все это собрать?
no subject
Date: 2007-01-12 07:00 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-12 07:18 pm (UTC)no subject
Date: 2007-04-13 02:03 pm (UTC)"Истина - это называние вещей своими именами". Ну-ка приведите мне пример неистинной аксиомы тогда!
Или так. Аксиома "Через 2 точки можно провести 1 и только 1 прямую" - истинна или нет? Где здесь, кстати, называние чего бы то ни было каким бы то ни было именем?
Наверное, вы слышали о том, что помимо евклидовой геометрии есть и другие. Например, можно последнюю аксиому заменить на противоположное утверждение – и получится неевклидова геометрия.
Отлично. И какая из трёх формулировок этой аксиомы истинна? Через точку вне данной прямой можно провести СКОЛЬКО прямых, параллельных данной - 1 и только 1, по крайней мере 2 или ни одной?
Они ведь не могут быть истинными одновременно, правда? Или всё-таки могут? Если могут - то грош цена вашей логике :).
Как вообще можно с позиций "своих имён для вещей" подходить к истинности *аксиом*?
но только одно из них окажется истинным, когда на деле выяснится, какой характер у госпожи министра.
Вот именно. НА ДЕЛЕ выяснится. Выяснится, как всё обстоит на самом деле. Выяснится соответствие с реальностью. Не сигналов с системой имён, а представлений с реальностью. Никаким иным способом нельзя проверить, что истинно, что нет.
И с аксиомами - только так же. Только на опыте можно установить, евклидово наше пространство или нет.
no subject
Date: 2007-04-13 02:23 pm (UTC)Да так же, как и другие высказывания. При попытке сопоставить эту аксиому ("имя") с конкретными явлениями ("вещь") она окажется истинной или нет.
[ Ну-ка приведите мне пример неистинной аксиомы тогда! ]
"у всех бап по три сиськи" :)
[ И какая из трёх формулировок этой аксиомы истинна? ]
Помните - истина - это когда вещи называют своими именами. Аксиома - это "имя". Как только вы подберете какую-нибудь "вещь", тогда и будет ясно. В 22 параграфе конкретные примеры.
no subject
Date: 2007-04-15 12:17 pm (UTC)Аксиома "Через 2 точки можно провести 1 и только 1 прямую" - истинна или нет? Где здесь, кстати, называние чего бы то ни было каким бы то ни было именем?
no subject
Date: 2007-04-15 04:12 pm (UTC)не говорите мне, что делать, и не узнаете, куда вам пойти :o)
no subject
Date: 2007-04-15 12:35 pm (UTC)Помните - истина - это когда вещи называют своими именами. Аксиома - это "имя". Как только вы подберете какую-нибудь "вещь", тогда и будет ясно.
Вот Вы и начали юлить. Если аксиома - это только имя, то она принципиально не может быть истинной или ложной. Потому что для истинности нужна пара имя-вещь, а у Вас присутствует только имя. И для того, чтобы сказать, своё это имя или нет, нужна ещё и соответствующая вещь. А об истинности одних имён говорить - как-то странно. Нельзя про имя сказать, истинно оно или нет. Можно только выделить класс объектов ("вещей"), для которых это имя своё.
И ещё.
А "точка" и "прямая" - это не имена? А что?
Иными словами, Вы сами пришли к тому, что логика должна опираться и на реальность тоже, что применяемые аксиомы должны соответствовать тому миру, с которым мы работаем. Эти самые ваши вещи - они ведь и есть якобы ненужная реальность. И без них ни о какой истинности говорить не получится. Максимум - о логической непротиворечивости системы аксиом.
Не в первый раз встречаю ситуацию, когда слабая философская подготовка невозможно затрудняет изложение. Ведь явно не получается у Вас к реальности не обращаться - постоянно нужны внешние для человека "вещи". Нет, тем не менее будем делать вид, что реальный мир нам вовсе даже и не нужен, от этого у нас философия будет прогрессивнее...
Напоследок.
Вы утверждаете, что следующее высказывание истинно:
“Если аксиомы Евклида истинны, и применяемые правила вывода допускают получение только истинных теорем, то сумма углов треугольника равна 180 градусам”.
Пожалуйста, выделите в нём пару "имя-вещь". Какая именно вещь названа своим именем в этом рассуждении? Доказательство того, что это имя в самом деле своё, можете опустить. Пока только пара имя-вещь.
no subject
Date: 2007-04-15 04:24 pm (UTC)Ну что, заканчиваем серьезный разговор, переходим к мелким подъёбкам? :)
[ Если аксиома - это только имя, то она принципиально не может быть истинной или ложной. ]
Так истинность или ложность относят как раз именно к имени - к высказыванию какому-нибудь. Если высказывание-имя соответствует вещам-сигналам, оно истинное, иначе - ложное. Да, конечно аксиома может быть истинной или ложной, а что в этом удивительного?
[ Потому что для истинности нужна пара имя-вещь, а у Вас присутствует только имя. ]
Ну вот как только вещь появляется, так мы получаем возможность узнать истинность аксиомы. А до тех пор эта истинность - неизвестная переменная. В рамках конкретной аксиоматики мы принимаем ее значение за истину, и смотрим, что из этого допущения получается.
[ И ещё.
А "точка" и "прямая" - это не имена? А что? ]
Имена. Ну и?
[ Иными словами, Вы сами пришли к тому, что логика должна опираться и на реальность ]
Где это я туда пришел? :)
[ Не в первый раз встречаю ситуацию, когда слабая философская подготовка невозможно затрудняет изложение. ]
Обычно наоборот: профессиональные философы изъясняются так, что их почти никто не понимает. Причем, на поверку оказывается, что речь шла об очень простых вещах, для которых и не надо было таких заумных слов.
[ Ведь явно не получается у Вас к реальности не обращаться - постоянно нужны внешние для человека "вещи". ]
Этими "вещами" может быть что угодно, в том числе и что-то внутреннее, например, мысль, воспоминание, эмоция.
[ Нет, тем не менее будем делать вид, что реальный мир нам вовсе даже и не нужен, от этого у нас философия будет прогрессивнее... ]
Да философия тут вообще не нужна, я про логику пишу :)
[ Какая именно вещь названа своим именем в этом рассуждении? ]
Сам логический вывод здесь есть "вещь". Вообще если вас сбивает с толку слово "вещь", попробуйте математическое определение. Я же предупредил, что "литературное определение" неточное.
no subject
Date: 2007-04-16 12:05 pm (UTC)Вы утверждаете, что следующее высказывание истинно: “Если аксиомы Евклида истинны, и применяемые правила вывода допускают получение только истинных теорем, то сумма углов треугольника равна 180 градусам”. Пожалуйста, выделите в нём пару "имя-вещь". Какая именно вещь названа своим именем в этом рассуждении? Доказательство того, что это имя в самом деле своё, можете опустить. Пока только пара имя-вещь.
Вы отвечаете:
[ Какая именно вещь названа своим именем в этом рассуждении? ]
Сам логический вывод здесь есть "вещь".
1. Что значит "сам логический вывод"? Вещь у Вас - это какой-то сигнал. Логический вывод не является сигналом. Не является он ни ощущением, ни впечатлением, ни воспоминанием, ни эмоцией, ни даже мыслью (если Вам таки кажется, что это мысль - уточните, пожалуйста, чья именно и откуда она у этого субъекта берётся).
2. Я просил выделить пару имя-вещь. Именем Вы склонны называть само высказывание. Похоже, здесь Вы склонны считать высказывание и именем, и вещью - недаром, указав вещь, Вы проигнорировали просьбу указать пару имя-вещь. Нет уж, так не пойдёт. Укажите именно пару. Что есть тут имя, что есть тут вещь.
no subject
Date: 2007-04-16 12:13 pm (UTC)Почему это? Логический вывод надо предъявить кому-то. В этот момент он представлен какими-нибудь сигналами. Любое доказательство предъявляется и воспринимается через органы чувств как сигнал.
no subject
Date: 2007-04-13 02:25 pm (UTC)Да ничего подобного. Как отреагирует госпожа министр - это чем будет фиксироваться? глазами, ушами того директора или захоза...
no subject
Date: 2007-04-15 12:50 pm (UTC)И как-то молчаливо предполагается, что глаза директора и глаза завхоза отфиксируют одно и то же.
Ну не работает истина без объективности. Не ра-бо-та-ет. Только для субъективного представления давно придумано имя "мнение" - а "истина" требует объективности, опоры на реальность.
no subject
Date: 2007-04-15 04:26 pm (UTC)возможно, что и нет