![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Проект "логика для чайников". Параграф 21.
От Евклида к Гильберту
В геометрии Евклида сначала было пять аксиом. Рассуждая, древний математик использовал не только эти пять аксиом, но также анализировал наглядные изображения (чертежи). Для своего времени это были очень строгие доказательства – да и для наших дней, если только не брать математику.
Рассматривание чертежей – это, конечно, хорошо. Но что, если здесь вкрадываются какие-то ошибки, связанные с нашим зрением, представлениями о пространстве? При взгляде на чертеж кажется очевидным, что между двумя разными точками, лежащими на отрезке, всегда можно поставить еще одну. Однако это становится ясно только при взгляде на чертеж, у Евклида такой аксиомы не было.
Пусть между точками поставлена еще одна. Можно взять эту новую точку и одну из старых. Между ними окажется заключен отрезок меньшего размера, чем исходный. Теперь можно поставить еще одну точку между концами отрезка. Потом можно снова взять новую точку и одну из старых. В результате отрезок снова уменьшится. Можно продолжать дальше, получив примерно вот такую картину:
В какой-то момент окажется, что между точками не удается впихнуть еще одну, поскольку карандаш недостаточно остр. Кажется, что можно заточить карандаш получше и исправить эту проблему. Можно затачивать карандаш, использовать лупу и микроскоп, чтобы ставить все более мелкие точки. Но в какой-то момент технические возможности будут исчерпаны. И что дальше, спрашивается? Можно ли этот процесс продолжать дальше? Мы можем это себе представить, вообразить, но насколько наши фантазии обоснованы? Теории микромира завораживают хитросплетениями формул, но не дают на этот счет особых надежд. Скорее наоборот, они говорят о том, что в микромире все не так, как в обычной жизни, и чем дальше, тем больше различий. Продолжая делить отрезок, мы придем к масштабам молекул, атомов и элементарных частиц. А их не то что выстроить в линию, даже удержать на месте нереально. Что там дальше, за элементарными частицами, современная наука только догадывается. И уж конечно не отвечает на вопрос, возможно ли такое деление продолжать бесконечно.
Получается, что рассматривая чертеж и размышляя о геометрии, мы вынуждены задействовать наше воображение. Надо ли говорить о том, что воображение, случается, подводит?
Не желая полагаться на такую ненадежную опору, математики захотели еще большей строгости. Они возжелали избавиться от чертежей и зрительных образов, превратив евклидову геометрию в более строгую систему, которая опирается исключительно на формальную логику. Великому немецкому математику Давиду Гильберту это удалось. Количество аксиом увеличилось до 20, зато теперь они не требовали ни рисования, ни воображения. Позднее Альфред Тарский с коллегами предложили еще один вариант, тоже чисто формальный (в нем 10 аксиом и 1 схема аксиом).
Новые аксиомы ничего не говорили о том, что такое прямая, точка, отрезок, и как они связаны с рисованием линий на бумаге, да и вообще с формами предметов окружающего нас мира.
Гильберт сказал: "справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины "точка, прямая, плоскость" другими, столь же условными: "стул, стол, пивная кружка"! Эта фраза кажется насмешкой, но в определенном смысле она совершенно справедлива. А именно: если бы нашелся человек, который не знает, что такое стул, стол и пивная кружка, он не смог бы найти противоречий в самой системе аксиом. Если не знать, о чем идет речь, то обнаружить чисто логические противоречия не удается!
Преподавание геометрии в школе (в мое время) представляло что-то среднее между системами Евклида и Гильберта. При этом наглядное представление не устранялось. Как вы понимаете, раз есть аксиоматика Гильберта, наглядное представление уже необязательно. Вероятно, это связано с педагогическими соображениями: у 4-классников хорошо развито наглядно-образное мышление, но развитие формально-абстрактного может быть еще недостаточным.
Итак, аксиомы геометрии оказались отделены от их привычного смысла – что это именно линии, подобные проведенным по линейке, или тонкие натянутые нити, или лучи света и т.п. Из этого получилось много интересных следствий, о которых – дальше...
В геометрии Евклида сначала было пять аксиом. Рассуждая, древний математик использовал не только эти пять аксиом, но также анализировал наглядные изображения (чертежи). Для своего времени это были очень строгие доказательства – да и для наших дней, если только не брать математику.
Рассматривание чертежей – это, конечно, хорошо. Но что, если здесь вкрадываются какие-то ошибки, связанные с нашим зрением, представлениями о пространстве? При взгляде на чертеж кажется очевидным, что между двумя разными точками, лежащими на отрезке, всегда можно поставить еще одну. Однако это становится ясно только при взгляде на чертеж, у Евклида такой аксиомы не было.
Пусть между точками поставлена еще одна. Можно взять эту новую точку и одну из старых. Между ними окажется заключен отрезок меньшего размера, чем исходный. Теперь можно поставить еще одну точку между концами отрезка. Потом можно снова взять новую точку и одну из старых. В результате отрезок снова уменьшится. Можно продолжать дальше, получив примерно вот такую картину:
В какой-то момент окажется, что между точками не удается впихнуть еще одну, поскольку карандаш недостаточно остр. Кажется, что можно заточить карандаш получше и исправить эту проблему. Можно затачивать карандаш, использовать лупу и микроскоп, чтобы ставить все более мелкие точки. Но в какой-то момент технические возможности будут исчерпаны. И что дальше, спрашивается? Можно ли этот процесс продолжать дальше? Мы можем это себе представить, вообразить, но насколько наши фантазии обоснованы? Теории микромира завораживают хитросплетениями формул, но не дают на этот счет особых надежд. Скорее наоборот, они говорят о том, что в микромире все не так, как в обычной жизни, и чем дальше, тем больше различий. Продолжая делить отрезок, мы придем к масштабам молекул, атомов и элементарных частиц. А их не то что выстроить в линию, даже удержать на месте нереально. Что там дальше, за элементарными частицами, современная наука только догадывается. И уж конечно не отвечает на вопрос, возможно ли такое деление продолжать бесконечно.
Получается, что рассматривая чертеж и размышляя о геометрии, мы вынуждены задействовать наше воображение. Надо ли говорить о том, что воображение, случается, подводит?
Не желая полагаться на такую ненадежную опору, математики захотели еще большей строгости. Они возжелали избавиться от чертежей и зрительных образов, превратив евклидову геометрию в более строгую систему, которая опирается исключительно на формальную логику. Великому немецкому математику Давиду Гильберту это удалось. Количество аксиом увеличилось до 20, зато теперь они не требовали ни рисования, ни воображения. Позднее Альфред Тарский с коллегами предложили еще один вариант, тоже чисто формальный (в нем 10 аксиом и 1 схема аксиом).
Новые аксиомы ничего не говорили о том, что такое прямая, точка, отрезок, и как они связаны с рисованием линий на бумаге, да и вообще с формами предметов окружающего нас мира.
Гильберт сказал: "справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины "точка, прямая, плоскость" другими, столь же условными: "стул, стол, пивная кружка"! Эта фраза кажется насмешкой, но в определенном смысле она совершенно справедлива. А именно: если бы нашелся человек, который не знает, что такое стул, стол и пивная кружка, он не смог бы найти противоречий в самой системе аксиом. Если не знать, о чем идет речь, то обнаружить чисто логические противоречия не удается!
Преподавание геометрии в школе (в мое время) представляло что-то среднее между системами Евклида и Гильберта. При этом наглядное представление не устранялось. Как вы понимаете, раз есть аксиоматика Гильберта, наглядное представление уже необязательно. Вероятно, это связано с педагогическими соображениями: у 4-классников хорошо развито наглядно-образное мышление, но развитие формально-абстрактного может быть еще недостаточным.
Итак, аксиомы геометрии оказались отделены от их привычного смысла – что это именно линии, подобные проведенным по линейке, или тонкие натянутые нити, или лучи света и т.п. Из этого получилось много интересных следствий, о которых – дальше...
no subject
no subject
это правда - в аксиомах об этом ничего не сказано