![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicОт Евклида к Гильберту
В геометрии Евклида сначала было пять аксиом. Рассуждая, древний математик использовал не только эти пять аксиом, но также анализировал наглядные изображения (чертежи). Для своего времени это были очень строгие доказательства – да и для наших дней, если только не брать математику.
Рассматривание чертежей – это, конечно, хорошо. Но что, если здесь вкрадываются какие-то ошибки, связанные с нашим зрением, представлениями о пространстве? При взгляде на чертеж кажется очевидным, что между двумя разными точками, лежащими на отрезке, всегда можно поставить еще одну. Однако это становится ясно только при взгляде на чертеж, у Евклида такой аксиомы не было.
Пусть между точками поставлена еще одна. Можно взять эту новую точку и одну из старых. Между ними окажется заключен отрезок меньшего размера, чем исходный. Теперь можно поставить еще одну точку между концами отрезка. Потом можно снова взять новую точку и одну из старых. В результате отрезок снова уменьшится. Можно продолжать дальше, получив примерно вот такую картину:
В какой-то момент окажется, что между точками не удается впихнуть еще одну, поскольку карандаш недостаточно остр. Кажется, что можно заточить карандаш получше и исправить эту проблему. Можно затачивать карандаш, использовать лупу и микроскоп, чтобы ставить все более мелкие точки. Но в какой-то момент технические возможности будут исчерпаны. И что дальше, спрашивается? Можно ли этот процесс продолжать дальше? Мы можем это себе представить, вообразить, но насколько наши фантазии обоснованы? Теории микромира завораживают хитросплетениями формул, но не дают на этот счет особых надежд. Скорее наоборот, они говорят о том, что в микромире все не так, как в обычной жизни, и чем дальше, тем больше различий. Продолжая делить отрезок, мы придем к масштабам молекул, атомов и элементарных частиц. А их не то что выстроить в линию, даже удержать на месте нереально. Что там дальше, за элементарными частицами, современная наука только догадывается. И уж конечно не отвечает на вопрос, возможно ли такое деление продолжать бесконечно.
Получается, что рассматривая чертеж и размышляя о геометрии, мы вынуждены задействовать наше воображение. Надо ли говорить о том, что воображение, случается, подводит?
Не желая полагаться на такую ненадежную опору, математики захотели еще большей строгости. Они возжелали избавиться от чертежей и зрительных образов, превратив евклидову геометрию в более строгую систему, которая опирается исключительно на формальную логику. Великому немецкому математику Давиду Гильберту это удалось. Количество аксиом увеличилось до 20, зато теперь они не требовали ни рисования, ни воображения. Позднее Альфред Тарский с коллегами предложили еще один вариант, тоже чисто формальный (в нем 10 аксиом и 1 схема аксиом).
Новые аксиомы ничего не говорили о том, что такое прямая, точка, отрезок, и как они связаны с рисованием линий на бумаге, да и вообще с формами предметов окружающего нас мира.
Гильберт сказал: "справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины "точка, прямая, плоскость" другими, столь же условными: "стул, стол, пивная кружка"! Эта фраза кажется насмешкой, но в определенном смысле она совершенно справедлива. А именно: если бы нашелся человек, который не знает, что такое стул, стол и пивная кружка, он не смог бы найти противоречий в самой системе аксиом. Если не знать, о чем идет речь, то обнаружить чисто логические противоречия не удается!
Преподавание геометрии в школе (в мое время) представляло что-то среднее между системами Евклида и Гильберта. При этом наглядное представление не устранялось. Как вы понимаете, раз есть аксиоматика Гильберта, наглядное представление уже необязательно. Вероятно, это связано с педагогическими соображениями: у 4-классников хорошо развито наглядно-образное мышление, но развитие формально-абстрактного может быть еще недостаточным.
Итак, аксиомы геометрии оказались отделены от их привычного смысла – что это именно линии, подобные проведенным по линейке, или тонкие натянутые нити, или лучи света и т.п. Из этого получилось много интересных следствий, о которых – дальше...
В геометрии Евклида сначала было пять аксиом. Рассуждая, древний математик использовал не только эти пять аксиом, но также анализировал наглядные изображения (чертежи). Для своего времени это были очень строгие доказательства – да и для наших дней, если только не брать математику.
Рассматривание чертежей – это, конечно, хорошо. Но что, если здесь вкрадываются какие-то ошибки, связанные с нашим зрением, представлениями о пространстве? При взгляде на чертеж кажется очевидным, что между двумя разными точками, лежащими на отрезке, всегда можно поставить еще одну. Однако это становится ясно только при взгляде на чертеж, у Евклида такой аксиомы не было.
Пусть между точками поставлена еще одна. Можно взять эту новую точку и одну из старых. Между ними окажется заключен отрезок меньшего размера, чем исходный. Теперь можно поставить еще одну точку между концами отрезка. Потом можно снова взять новую точку и одну из старых. В результате отрезок снова уменьшится. Можно продолжать дальше, получив примерно вот такую картину:
В какой-то момент окажется, что между точками не удается впихнуть еще одну, поскольку карандаш недостаточно остр. Кажется, что можно заточить карандаш получше и исправить эту проблему. Можно затачивать карандаш, использовать лупу и микроскоп, чтобы ставить все более мелкие точки. Но в какой-то момент технические возможности будут исчерпаны. И что дальше, спрашивается? Можно ли этот процесс продолжать дальше? Мы можем это себе представить, вообразить, но насколько наши фантазии обоснованы? Теории микромира завораживают хитросплетениями формул, но не дают на этот счет особых надежд. Скорее наоборот, они говорят о том, что в микромире все не так, как в обычной жизни, и чем дальше, тем больше различий. Продолжая делить отрезок, мы придем к масштабам молекул, атомов и элементарных частиц. А их не то что выстроить в линию, даже удержать на месте нереально. Что там дальше, за элементарными частицами, современная наука только догадывается. И уж конечно не отвечает на вопрос, возможно ли такое деление продолжать бесконечно.
Получается, что рассматривая чертеж и размышляя о геометрии, мы вынуждены задействовать наше воображение. Надо ли говорить о том, что воображение, случается, подводит?
Не желая полагаться на такую ненадежную опору, математики захотели еще большей строгости. Они возжелали избавиться от чертежей и зрительных образов, превратив евклидову геометрию в более строгую систему, которая опирается исключительно на формальную логику. Великому немецкому математику Давиду Гильберту это удалось. Количество аксиом увеличилось до 20, зато теперь они не требовали ни рисования, ни воображения. Позднее Альфред Тарский с коллегами предложили еще один вариант, тоже чисто формальный (в нем 10 аксиом и 1 схема аксиом).
Новые аксиомы ничего не говорили о том, что такое прямая, точка, отрезок, и как они связаны с рисованием линий на бумаге, да и вообще с формами предметов окружающего нас мира.
Гильберт сказал: "справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины "точка, прямая, плоскость" другими, столь же условными: "стул, стол, пивная кружка"! Эта фраза кажется насмешкой, но в определенном смысле она совершенно справедлива. А именно: если бы нашелся человек, который не знает, что такое стул, стол и пивная кружка, он не смог бы найти противоречий в самой системе аксиом. Если не знать, о чем идет речь, то обнаружить чисто логические противоречия не удается!
Преподавание геометрии в школе (в мое время) представляло что-то среднее между системами Евклида и Гильберта. При этом наглядное представление не устранялось. Как вы понимаете, раз есть аксиоматика Гильберта, наглядное представление уже необязательно. Вероятно, это связано с педагогическими соображениями: у 4-классников хорошо развито наглядно-образное мышление, но развитие формально-абстрактного может быть еще недостаточным.
Итак, аксиомы геометрии оказались отделены от их привычного смысла – что это именно линии, подобные проведенным по линейке, или тонкие натянутые нити, или лучи света и т.п. Из этого получилось много интересных следствий, о которых – дальше...
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-01-15 12:32 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-15 01:38 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-15 12:56 pm (UTC)В любом доказательстве всегда упрёшься в некий смысловой минимум, за которым уже банальное, неформализуемое "понял/не понял". Математика строится не только на формальной аксиоматике, регулирующих отношения каких-то форм, но и на интуитивном приятии этих самых форм. Не говоря уже о том, что сами по себе методы доказательства не поддаются формализации, а принимаются в известной степени "на веру". Вся математика растёт из одной точки - "очевидно". Ну это я о своём, ладно.
Я не согласен с приведённым примером деления отрезка, ибо он несколько не о том. Отрыв от материального носителя образа - это самый первый шаг, который осуществили ещё в Древней Греции. Отрезок можно рассматривать в отрыве от его изображения (в том самом идеальном пространстве). И тогда возможность деления его становится самоочевидной. :)
От изображения никуда не ушли, просто относительно него сделали ряд оговорок.
Например, есть аксиоматика действительных чисел (забыл имени кого, давно это было), которая есть полностью идеальное представление о числе, и есть модели действительных чисел (в том числе и модель числовой прямой), которые реализуют эти аксиомы в форме, которую можно "пощупать".
Всему своё место.
P.S. Оговорюсь, что я ни разу не математик, а вовсе даже инженер-физик, так что мои слова, если они где-то неверны, не стоит принимать слишком близко к сердцу. )
no subject
Date: 2007-01-15 01:50 pm (UTC)Примерно так же, как плотиновская субстанция оральных сущностей :)
[ В любом доказательстве всегда упрёшься в некий смысловой минимум, за которым уже банальное, неформализуемое "понял/не понял". ]
Можно остановиться на уровне макаки ;)
Если обычный писюк с пентиумом может проверить правильность доказательства, анализируя его как текстовый файл, то этого достаточно.
[ Математика строится не только на формальной аксиоматике, регулирующих отношения каких-то форм, но и на интуитивном приятии этих самых форм. ]
Когда-то так и было. А щаз все больше превращается в игру со значками :)
[ Не говоря уже о том, что сами по себе методы доказательства не поддаются формализации, а принимаются в известной степени "на веру". ]
Мдэ-э-э??? И потом... как-то у вас получилось... из разряда "не мужик, а брюнет". Формализация и принятие на веру - вещи не взаимоисключающие.
[ Я не согласен с приведённым примером деления отрезка, ибо он несколько не о том. ]
Мне, наверное, виднее, о чем я хотел этим примером сказать :)))
[ Отрыв от материального носителя образа - это самый первый шаг, который осуществили ещё в Древней Греции. ]
За шо и огребли...
[ Отрезок можно рассматривать в отрыве от его изображения (в том самом идеальном пространстве). И тогда возможность деления его становится самоочевидной. :) ]
Ну ежели вы физик, то должны рюхать, до чего доводит опора на самоочевидность :)
[ От изображения никуда не ушли, просто относительно него сделали ряд оговорок. ]
Ушли. Поищите на en.wikipedia.org по ключевым словам Hilbert axioms - и наслаждайтесь :)
[ Например, есть аксиоматика действительных чисел (забыл имени кого, давно это было), которая есть полностью идеальное представление о числе, и есть модели действительных чисел (в том числе и модель числовой прямой), которые реализуют эти аксиомы в форме, которую можно "пощупать". ]
Ваще то числовая прямая - тоже абсракция, че там щупать...
no subject
Date: 2007-01-16 04:24 pm (UTC)no subject
Date: 2007-01-16 05:20 pm (UTC)Кому, для чего и на что опираться?
И как с этим связано разделение физики?
no subject
Date: 2007-01-17 08:10 am (UTC)а собственно для описания окружающего мира и стали изучать математику.а окружающий мир это в то время была только физика
no subject
Date: 2007-01-17 08:23 am (UTC)no subject
Date: 2007-04-13 01:00 pm (UTC)Нет. Они были выбраны именно с таким расчётом, чтобы наши геометрические представления им удовлетворяли.
Любая система аксиом неявно определяет используемые первичные термины - через описания их свойств. Система Гильберта - не исключение.
Как вы понимаете, раз есть аксиоматика Гильберта, наглядное представление уже необязательно.
Для доказательства. А вот отыскание новых фактов требует геометрической интуиции.
no subject
Date: 2007-04-13 01:10 pm (UTC)Ну а почему "нет"? Я об одном говорил, а вы отрицаете другое.
[ Для доказательства. А вот отыскание новых фактов требует геометрической интуиции. ]
Это верно.
no subject
Date: 2007-04-15 11:32 am (UTC)no subject
Date: 2007-04-15 04:06 pm (UTC)это правда - в аксиомах об этом ничего не сказано