Аксиома экстенсиональности (из котрой следует равенство всех пустых множеств) нужна, а не то мы потеряем суть, что такое множество. Определять множество по другому - воля Ваша, но это уже будет другая концепция. Отождествлять множества с предикатами - путь к парадоксам, как нас учил старик Рассел...