![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Проект "логика для чайников". Параграф 35
Modus ponens
Дальше речь пойдет о свойствах условных высказываний.
Краткое отступление для людей, хорошо знакомых с математической логикой. Речь пойдет НЕ о материальной импликации. Свойства операции ЕСЛИ...ТО... в некоторых тонкостях отличаются от свойств материальной импликации. Они отражают общие принципы рассуждений на естественном языке, в том числе и принципы рассуждений в математических учебниках. Конец краткого отступления.
Первое свойство условных высказываний называется по латыни modus ponens.
Начну с примера. Пусть дано условное высказывание:
“ЕСЛИ у вас есть пропуск, ТО вас пропустят в здание”.
Посылка (условие) – “у вас есть пропуск”, может быть истинной или ложной, заключение “вас пропустят в здание” – тоже может быть истинным или ложным. Если пропуска нет, тогда ваши права неопределенные – может, пропустят, а, может, и нет – смотря, какие там порядки.
Допустим, что у вас пропуск есть. Тогда вас пропустят. Что я сказал только что предыдущими двумя предложениями? Первое – что истинна посылка. Второе – что истинно заключение. При какой оговорке? Когда истинно условное высказывание.
Это и есть демонстрация modus ponens. Есть истинное условное высказывание вида ЕСЛИ X ТО Y. Его посылка X тоже истинна. Тогда можно “вычислить”, что и заключение Y тоже истинное. Еще короче: пусть X истинно, пусть ЕСЛИ X ТО Y истинно, тогда истинно Y.
Как это записать формально? Например, так:
ЕСЛИ ( X И ( ЕСЛИ X ТО Y) ) ТО Y
или так:
( X & (X =>> Y) ) =>> Y
Возможно кому-то покажется более удобной и компактной запись с использованием значков операций. Далее я буду смешивать два способа обозначений, чтобы новички в логике привыкали к значкам. Я буду использовать следующие значки: & - для операции “И”, \/ - для операции “ИЛИ”, ~ - для операции “НЕ”, ⊕ - для операции “XOR”, =>> - для операции “ЕСЛИ ... ТО...”.
Разберем формулу. В ней говорится, что:
1. X – то есть, что некое “X” истинно (“у вас есть пропуск”).
2. X =>> Y– то есть, что истинно некое условное высказывание:
ЕСЛИ X ТО Y (“если у вас есть пропуск, то вас пропустят в здание”).
3. Что эти две вещи (1 и 2) истинны обе одновременно (операция И, значок &).
4. Что если 1 и 2 истинны одновременно, то истинно Y (“вас пропустят в здание”).
Обратите внимание на принципиальную разницу с “вычислениями” в таких операциях, как “И”, “ИЛИ”. Там из двух простых вещей получалась одна сложная:
X истинно,
Y истинно,
значит
X И Y истинно.
А здесь из простой и сложной вещи получается простая:
X истинно,
ЕСЛИ X ТО Y истинно,
значит
Y истинно.
И еще одно важное замечание. В предыдущей главе я говорил о том, что замена “если” на “потому, что”, “поэтому” и другие союзы подчеркивает истинность посылки. Этот факт позволяет одной фразой сказать весь modus ponens:
X, поэтому Y
Тут утверждается сразу три вещи: что истинно X =>> Y, что истинно X (замена “если” на “поэтому” подчеркивает истинность X) и то, что истинно Y (по modus ponens).
Таким образом, когда вы слышите или видите в тексте: “потому, что”, “поэтому”, “так как”, “поскольку”,... – это все случаи применения modus ponens в реальной жизни.
Только не перепутайте порядок X и Y, в разных союзах он разный:
Так как X, то Y.
Так как X, Y.
Поскольку X, то Y.
Ввиду того, что X, Y.
Из-за того, что X, Y.
Из-за X, Y.
X, поэтому Y.
X, значит Y.
X, вот почему Y.
Y потому, что X.
Y из-за того, что X.
Y из-за X.
Y благодаря X.
Y поскольку X.
Y так как X.
Y ввиду того, что X.
Y - следствие того, что X.
Y - следствие X.
Y вследствие X.
– все эти варианты исходят из X, и доказывают Y, но не наоборот, хотя в некоторых случая переменные стоят в обратном порядке.
Modus ponens очень прост, его используют все – даже люди, далекие от логики, просто интуитивно. Но некоторые ухитряются ошибаться даже тут. Вот основные ошибки:
1. Не доказано, что X истинно.
Вот забыли доказать, и все. Но просто так “тупо” бывает редко. Обычно есть какая-нибудь маскировка. X не доказано, но очень приятно, настолько приятно, что его хочется считать истиной без доказательств, забыть о том, что доказательств нет. Или не приятно, а привычно. Вдолбили в голову когда-то, что это истина, научили не сомневаться, а вот доказывать не научили.
Характерный признак: ваш оппонент говорит о том, что у вас с ним “разные системы аксиом” или “разные”... какие-нибудь исходные взгляды. Да, да, это оно самое. Это значит, что он хочет оставить за собой право не доказывать некоторые свои X. И от вас пытается “откупиться” предоставив вам такое же право. Вы можете согласиться выслушать его, но все его рассуждения по modus ponens ничего не докажут – все Y останутся такими же недоказанными, как исходные X.
2. Не доказано, что X =>> Y истинно.
То есть, нет такой логической связи между X и Y. В огороде бузина, а в Киеве – дядька. Вернее так: “если в огороде бузина, то в Киеве дядька”. Или так: “В огороде бузина. Потому, что в Киеве дядька”.
И тут тоже нужна маскировка. Самый обычный метод – это написать в X и Y что-нибудь похожее, например, одинаковые слова:
“В огороде бузина. Потому, что я люблю бузину и очень хочу, чтобы она в огороде была”.
Некоторые “гуманитарии” (в худшем смысле слова) именно так и “рассуждают” – нанизывают одну фразу за другой, но последующие фразы не следуют логически из предыдущих, они просто похожи на предыдущие. Такие люди не понимают разницы между логическим рассуждением и произвольным потоком мыслей, когда новые мысли рождаются “по ассоциации” с предыдущими.
3. Доказано, что истинно не X =>> Y, а Y =>> X, доказано X, пытаются утверждать Y.
4. Доказано, что истинно X =>> Y, доказано Y, пытаются утверждать X.
Это два варианта одного и того же. Классика жанра, о которой слышали, наверное, все. Modus ponens в обратном направлении. В примере с пропуском это попытка вывести X из Y. Допустим, кого-то пустили в здание. Из этого делается заключение, что у него есть пропуск. Необязательно. Может, вахтер пропускает еще и по паспорту. Пример рассуждения такого рода:
– У вас есть пропуск?
– Ну я же прошел в здание, значит, есть.
Нет, вовсе не “значит”.
Дальше речь пойдет о свойствах условных высказываний.
Краткое отступление для людей, хорошо знакомых с математической логикой. Речь пойдет НЕ о материальной импликации. Свойства операции ЕСЛИ...ТО... в некоторых тонкостях отличаются от свойств материальной импликации. Они отражают общие принципы рассуждений на естественном языке, в том числе и принципы рассуждений в математических учебниках. Конец краткого отступления.
Первое свойство условных высказываний называется по латыни modus ponens.
Начну с примера. Пусть дано условное высказывание:
“ЕСЛИ у вас есть пропуск, ТО вас пропустят в здание”.
Посылка (условие) – “у вас есть пропуск”, может быть истинной или ложной, заключение “вас пропустят в здание” – тоже может быть истинным или ложным. Если пропуска нет, тогда ваши права неопределенные – может, пропустят, а, может, и нет – смотря, какие там порядки.
Допустим, что у вас пропуск есть. Тогда вас пропустят. Что я сказал только что предыдущими двумя предложениями? Первое – что истинна посылка. Второе – что истинно заключение. При какой оговорке? Когда истинно условное высказывание.
Это и есть демонстрация modus ponens. Есть истинное условное высказывание вида ЕСЛИ X ТО Y. Его посылка X тоже истинна. Тогда можно “вычислить”, что и заключение Y тоже истинное. Еще короче: пусть X истинно, пусть ЕСЛИ X ТО Y истинно, тогда истинно Y.
Как это записать формально? Например, так:
ЕСЛИ ( X И ( ЕСЛИ X ТО Y) ) ТО Y
или так:
( X & (X =>> Y) ) =>> Y
Возможно кому-то покажется более удобной и компактной запись с использованием значков операций. Далее я буду смешивать два способа обозначений, чтобы новички в логике привыкали к значкам. Я буду использовать следующие значки: & - для операции “И”, \/ - для операции “ИЛИ”, ~ - для операции “НЕ”, ⊕ - для операции “XOR”, =>> - для операции “ЕСЛИ ... ТО...”.
Разберем формулу. В ней говорится, что:
1. X – то есть, что некое “X” истинно (“у вас есть пропуск”).
2. X =>> Y– то есть, что истинно некое условное высказывание:
ЕСЛИ X ТО Y (“если у вас есть пропуск, то вас пропустят в здание”).
3. Что эти две вещи (1 и 2) истинны обе одновременно (операция И, значок &).
4. Что если 1 и 2 истинны одновременно, то истинно Y (“вас пропустят в здание”).
Обратите внимание на принципиальную разницу с “вычислениями” в таких операциях, как “И”, “ИЛИ”. Там из двух простых вещей получалась одна сложная:
X истинно,
Y истинно,
значит
X И Y истинно.
А здесь из простой и сложной вещи получается простая:
X истинно,
ЕСЛИ X ТО Y истинно,
значит
Y истинно.
И еще одно важное замечание. В предыдущей главе я говорил о том, что замена “если” на “потому, что”, “поэтому” и другие союзы подчеркивает истинность посылки. Этот факт позволяет одной фразой сказать весь modus ponens:
X, поэтому Y
Тут утверждается сразу три вещи: что истинно X =>> Y, что истинно X (замена “если” на “поэтому” подчеркивает истинность X) и то, что истинно Y (по modus ponens).
Таким образом, когда вы слышите или видите в тексте: “потому, что”, “поэтому”, “так как”, “поскольку”,... – это все случаи применения modus ponens в реальной жизни.
Только не перепутайте порядок X и Y, в разных союзах он разный:
Так как X, то Y.
Так как X, Y.
Поскольку X, то Y.
Ввиду того, что X, Y.
Из-за того, что X, Y.
Из-за X, Y.
X, поэтому Y.
X, значит Y.
X, вот почему Y.
Y потому, что X.
Y из-за того, что X.
Y из-за X.
Y благодаря X.
Y поскольку X.
Y так как X.
Y ввиду того, что X.
Y - следствие того, что X.
Y - следствие X.
Y вследствие X.
– все эти варианты исходят из X, и доказывают Y, но не наоборот, хотя в некоторых случая переменные стоят в обратном порядке.
Modus ponens очень прост, его используют все – даже люди, далекие от логики, просто интуитивно. Но некоторые ухитряются ошибаться даже тут. Вот основные ошибки:
1. Не доказано, что X истинно.
Вот забыли доказать, и все. Но просто так “тупо” бывает редко. Обычно есть какая-нибудь маскировка. X не доказано, но очень приятно, настолько приятно, что его хочется считать истиной без доказательств, забыть о том, что доказательств нет. Или не приятно, а привычно. Вдолбили в голову когда-то, что это истина, научили не сомневаться, а вот доказывать не научили.
Характерный признак: ваш оппонент говорит о том, что у вас с ним “разные системы аксиом” или “разные”... какие-нибудь исходные взгляды. Да, да, это оно самое. Это значит, что он хочет оставить за собой право не доказывать некоторые свои X. И от вас пытается “откупиться” предоставив вам такое же право. Вы можете согласиться выслушать его, но все его рассуждения по modus ponens ничего не докажут – все Y останутся такими же недоказанными, как исходные X.
2. Не доказано, что X =>> Y истинно.
То есть, нет такой логической связи между X и Y. В огороде бузина, а в Киеве – дядька. Вернее так: “если в огороде бузина, то в Киеве дядька”. Или так: “В огороде бузина. Потому, что в Киеве дядька”.
И тут тоже нужна маскировка. Самый обычный метод – это написать в X и Y что-нибудь похожее, например, одинаковые слова:
“В огороде бузина. Потому, что я люблю бузину и очень хочу, чтобы она в огороде была”.
Некоторые “гуманитарии” (в худшем смысле слова) именно так и “рассуждают” – нанизывают одну фразу за другой, но последующие фразы не следуют логически из предыдущих, они просто похожи на предыдущие. Такие люди не понимают разницы между логическим рассуждением и произвольным потоком мыслей, когда новые мысли рождаются “по ассоциации” с предыдущими.
3. Доказано, что истинно не X =>> Y, а Y =>> X, доказано X, пытаются утверждать Y.
4. Доказано, что истинно X =>> Y, доказано Y, пытаются утверждать X.
Это два варианта одного и того же. Классика жанра, о которой слышали, наверное, все. Modus ponens в обратном направлении. В примере с пропуском это попытка вывести X из Y. Допустим, кого-то пустили в здание. Из этого делается заключение, что у него есть пропуск. Необязательно. Может, вахтер пропускает еще и по паспорту. Пример рассуждения такого рода:
– У вас есть пропуск?
– Ну я же прошел в здание, значит, есть.
Нет, вовсе не “значит”.
no subject
Надеюсь, что да. Но пока эта задача не решена для самого общего случая. Остаются неприятные несоответствия, которые обычно называют "парадоксами импликации", хотя это не настоящие парадоксы, а просто случаи несоответствия между обычным языком и формальными.
Но кое-какие свойства операции ЕСЛИ...ТО... все равно известны, некоторые очень давно - как modus ponens и ряд других свойств, о которых я собираюсь написать.