Проект "логика для чайников". Параграф 35
Oct. 5th, 2007 01:34 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicModus ponens
Дальше речь пойдет о свойствах условных высказываний.
Краткое отступление для людей, хорошо знакомых с математической логикой. Речь пойдет НЕ о материальной импликации. Свойства операции ЕСЛИ...ТО... в некоторых тонкостях отличаются от свойств материальной импликации. Они отражают общие принципы рассуждений на естественном языке, в том числе и принципы рассуждений в математических учебниках. Конец краткого отступления.
Первое свойство условных высказываний называется по латыни modus ponens.
Начну с примера. Пусть дано условное высказывание:
“ЕСЛИ у вас есть пропуск, ТО вас пропустят в здание”.
Посылка (условие) – “у вас есть пропуск”, может быть истинной или ложной, заключение “вас пропустят в здание” – тоже может быть истинным или ложным. Если пропуска нет, тогда ваши права неопределенные – может, пропустят, а, может, и нет – смотря, какие там порядки.
Допустим, что у вас пропуск есть. Тогда вас пропустят. Что я сказал только что предыдущими двумя предложениями? Первое – что истинна посылка. Второе – что истинно заключение. При какой оговорке? Когда истинно условное высказывание.
Это и есть демонстрация modus ponens. Есть истинное условное высказывание вида ЕСЛИ X ТО Y. Его посылка X тоже истинна. Тогда можно “вычислить”, что и заключение Y тоже истинное. Еще короче: пусть X истинно, пусть ЕСЛИ X ТО Y истинно, тогда истинно Y.
Как это записать формально? Например, так:
ЕСЛИ ( X И ( ЕСЛИ X ТО Y) ) ТО Y
или так:
( X & (X =>> Y) ) =>> Y
Возможно кому-то покажется более удобной и компактной запись с использованием значков операций. Далее я буду смешивать два способа обозначений, чтобы новички в логике привыкали к значкам. Я буду использовать следующие значки: & - для операции “И”, \/ - для операции “ИЛИ”, ~ - для операции “НЕ”, ⊕ - для операции “XOR”, =>> - для операции “ЕСЛИ ... ТО...”.
Разберем формулу. В ней говорится, что:
1. X – то есть, что некое “X” истинно (“у вас есть пропуск”).
2. X =>> Y– то есть, что истинно некое условное высказывание:
ЕСЛИ X ТО Y (“если у вас есть пропуск, то вас пропустят в здание”).
3. Что эти две вещи (1 и 2) истинны обе одновременно (операция И, значок &).
4. Что если 1 и 2 истинны одновременно, то истинно Y (“вас пропустят в здание”).
Обратите внимание на принципиальную разницу с “вычислениями” в таких операциях, как “И”, “ИЛИ”. Там из двух простых вещей получалась одна сложная:
X истинно,
Y истинно,
значит
X И Y истинно.
А здесь из простой и сложной вещи получается простая:
X истинно,
ЕСЛИ X ТО Y истинно,
значит
Y истинно.
И еще одно важное замечание. В предыдущей главе я говорил о том, что замена “если” на “потому, что”, “поэтому” и другие союзы подчеркивает истинность посылки. Этот факт позволяет одной фразой сказать весь modus ponens:
X, поэтому Y
Тут утверждается сразу три вещи: что истинно X =>> Y, что истинно X (замена “если” на “поэтому” подчеркивает истинность X) и то, что истинно Y (по modus ponens).
Таким образом, когда вы слышите или видите в тексте: “потому, что”, “поэтому”, “так как”, “поскольку”,... – это все случаи применения modus ponens в реальной жизни.
Только не перепутайте порядок X и Y, в разных союзах он разный:
Так как X, то Y.
Так как X, Y.
Поскольку X, то Y.
Ввиду того, что X, Y.
Из-за того, что X, Y.
Из-за X, Y.
X, поэтому Y.
X, значит Y.
X, вот почему Y.
Y потому, что X.
Y из-за того, что X.
Y из-за X.
Y благодаря X.
Y поскольку X.
Y так как X.
Y ввиду того, что X.
Y - следствие того, что X.
Y - следствие X.
Y вследствие X.
– все эти варианты исходят из X, и доказывают Y, но не наоборот, хотя в некоторых случая переменные стоят в обратном порядке.
Modus ponens очень прост, его используют все – даже люди, далекие от логики, просто интуитивно. Но некоторые ухитряются ошибаться даже тут. Вот основные ошибки:
1. Не доказано, что X истинно.
Вот забыли доказать, и все. Но просто так “тупо” бывает редко. Обычно есть какая-нибудь маскировка. X не доказано, но очень приятно, настолько приятно, что его хочется считать истиной без доказательств, забыть о том, что доказательств нет. Или не приятно, а привычно. Вдолбили в голову когда-то, что это истина, научили не сомневаться, а вот доказывать не научили.
Характерный признак: ваш оппонент говорит о том, что у вас с ним “разные системы аксиом” или “разные”... какие-нибудь исходные взгляды. Да, да, это оно самое. Это значит, что он хочет оставить за собой право не доказывать некоторые свои X. И от вас пытается “откупиться” предоставив вам такое же право. Вы можете согласиться выслушать его, но все его рассуждения по modus ponens ничего не докажут – все Y останутся такими же недоказанными, как исходные X.
2. Не доказано, что X =>> Y истинно.
То есть, нет такой логической связи между X и Y. В огороде бузина, а в Киеве – дядька. Вернее так: “если в огороде бузина, то в Киеве дядька”. Или так: “В огороде бузина. Потому, что в Киеве дядька”.
И тут тоже нужна маскировка. Самый обычный метод – это написать в X и Y что-нибудь похожее, например, одинаковые слова:
“В огороде бузина. Потому, что я люблю бузину и очень хочу, чтобы она в огороде была”.
Некоторые “гуманитарии” (в худшем смысле слова) именно так и “рассуждают” – нанизывают одну фразу за другой, но последующие фразы не следуют логически из предыдущих, они просто похожи на предыдущие. Такие люди не понимают разницы между логическим рассуждением и произвольным потоком мыслей, когда новые мысли рождаются “по ассоциации” с предыдущими.
3. Доказано, что истинно не X =>> Y, а Y =>> X, доказано X, пытаются утверждать Y.
4. Доказано, что истинно X =>> Y, доказано Y, пытаются утверждать X.
Это два варианта одного и того же. Классика жанра, о которой слышали, наверное, все. Modus ponens в обратном направлении. В примере с пропуском это попытка вывести X из Y. Допустим, кого-то пустили в здание. Из этого делается заключение, что у него есть пропуск. Необязательно. Может, вахтер пропускает еще и по паспорту. Пример рассуждения такого рода:
– У вас есть пропуск?
– Ну я же прошел в здание, значит, есть.
Нет, вовсе не “значит”.
Дальше речь пойдет о свойствах условных высказываний.
Краткое отступление для людей, хорошо знакомых с математической логикой. Речь пойдет НЕ о материальной импликации. Свойства операции ЕСЛИ...ТО... в некоторых тонкостях отличаются от свойств материальной импликации. Они отражают общие принципы рассуждений на естественном языке, в том числе и принципы рассуждений в математических учебниках. Конец краткого отступления.
Первое свойство условных высказываний называется по латыни modus ponens.
Начну с примера. Пусть дано условное высказывание:
“ЕСЛИ у вас есть пропуск, ТО вас пропустят в здание”.
Посылка (условие) – “у вас есть пропуск”, может быть истинной или ложной, заключение “вас пропустят в здание” – тоже может быть истинным или ложным. Если пропуска нет, тогда ваши права неопределенные – может, пропустят, а, может, и нет – смотря, какие там порядки.
Допустим, что у вас пропуск есть. Тогда вас пропустят. Что я сказал только что предыдущими двумя предложениями? Первое – что истинна посылка. Второе – что истинно заключение. При какой оговорке? Когда истинно условное высказывание.
Это и есть демонстрация modus ponens. Есть истинное условное высказывание вида ЕСЛИ X ТО Y. Его посылка X тоже истинна. Тогда можно “вычислить”, что и заключение Y тоже истинное. Еще короче: пусть X истинно, пусть ЕСЛИ X ТО Y истинно, тогда истинно Y.
Как это записать формально? Например, так:
ЕСЛИ ( X И ( ЕСЛИ X ТО Y) ) ТО Y
или так:
( X & (X =>> Y) ) =>> Y
Возможно кому-то покажется более удобной и компактной запись с использованием значков операций. Далее я буду смешивать два способа обозначений, чтобы новички в логике привыкали к значкам. Я буду использовать следующие значки: & - для операции “И”, \/ - для операции “ИЛИ”, ~ - для операции “НЕ”, ⊕ - для операции “XOR”, =>> - для операции “ЕСЛИ ... ТО...”.
Разберем формулу. В ней говорится, что:
1. X – то есть, что некое “X” истинно (“у вас есть пропуск”).
2. X =>> Y– то есть, что истинно некое условное высказывание:
ЕСЛИ X ТО Y (“если у вас есть пропуск, то вас пропустят в здание”).
3. Что эти две вещи (1 и 2) истинны обе одновременно (операция И, значок &).
4. Что если 1 и 2 истинны одновременно, то истинно Y (“вас пропустят в здание”).
Обратите внимание на принципиальную разницу с “вычислениями” в таких операциях, как “И”, “ИЛИ”. Там из двух простых вещей получалась одна сложная:
X истинно,
Y истинно,
значит
X И Y истинно.
А здесь из простой и сложной вещи получается простая:
X истинно,
ЕСЛИ X ТО Y истинно,
значит
Y истинно.
И еще одно важное замечание. В предыдущей главе я говорил о том, что замена “если” на “потому, что”, “поэтому” и другие союзы подчеркивает истинность посылки. Этот факт позволяет одной фразой сказать весь modus ponens:
X, поэтому Y
Тут утверждается сразу три вещи: что истинно X =>> Y, что истинно X (замена “если” на “поэтому” подчеркивает истинность X) и то, что истинно Y (по modus ponens).
Таким образом, когда вы слышите или видите в тексте: “потому, что”, “поэтому”, “так как”, “поскольку”,... – это все случаи применения modus ponens в реальной жизни.
Только не перепутайте порядок X и Y, в разных союзах он разный:
Так как X, то Y.
Так как X, Y.
Поскольку X, то Y.
Ввиду того, что X, Y.
Из-за того, что X, Y.
Из-за X, Y.
X, поэтому Y.
X, значит Y.
X, вот почему Y.
Y потому, что X.
Y из-за того, что X.
Y из-за X.
Y благодаря X.
Y поскольку X.
Y так как X.
Y ввиду того, что X.
Y - следствие того, что X.
Y - следствие X.
Y вследствие X.
– все эти варианты исходят из X, и доказывают Y, но не наоборот, хотя в некоторых случая переменные стоят в обратном порядке.
Modus ponens очень прост, его используют все – даже люди, далекие от логики, просто интуитивно. Но некоторые ухитряются ошибаться даже тут. Вот основные ошибки:
1. Не доказано, что X истинно.
Вот забыли доказать, и все. Но просто так “тупо” бывает редко. Обычно есть какая-нибудь маскировка. X не доказано, но очень приятно, настолько приятно, что его хочется считать истиной без доказательств, забыть о том, что доказательств нет. Или не приятно, а привычно. Вдолбили в голову когда-то, что это истина, научили не сомневаться, а вот доказывать не научили.
Характерный признак: ваш оппонент говорит о том, что у вас с ним “разные системы аксиом” или “разные”... какие-нибудь исходные взгляды. Да, да, это оно самое. Это значит, что он хочет оставить за собой право не доказывать некоторые свои X. И от вас пытается “откупиться” предоставив вам такое же право. Вы можете согласиться выслушать его, но все его рассуждения по modus ponens ничего не докажут – все Y останутся такими же недоказанными, как исходные X.
2. Не доказано, что X =>> Y истинно.
То есть, нет такой логической связи между X и Y. В огороде бузина, а в Киеве – дядька. Вернее так: “если в огороде бузина, то в Киеве дядька”. Или так: “В огороде бузина. Потому, что в Киеве дядька”.
И тут тоже нужна маскировка. Самый обычный метод – это написать в X и Y что-нибудь похожее, например, одинаковые слова:
“В огороде бузина. Потому, что я люблю бузину и очень хочу, чтобы она в огороде была”.
Некоторые “гуманитарии” (в худшем смысле слова) именно так и “рассуждают” – нанизывают одну фразу за другой, но последующие фразы не следуют логически из предыдущих, они просто похожи на предыдущие. Такие люди не понимают разницы между логическим рассуждением и произвольным потоком мыслей, когда новые мысли рождаются “по ассоциации” с предыдущими.
3. Доказано, что истинно не X =>> Y, а Y =>> X, доказано X, пытаются утверждать Y.
4. Доказано, что истинно X =>> Y, доказано Y, пытаются утверждать X.
Это два варианта одного и того же. Классика жанра, о которой слышали, наверное, все. Modus ponens в обратном направлении. В примере с пропуском это попытка вывести X из Y. Допустим, кого-то пустили в здание. Из этого делается заключение, что у него есть пропуск. Необязательно. Может, вахтер пропускает еще и по паспорту. Пример рассуждения такого рода:
– У вас есть пропуск?
– Ну я же прошел в здание, значит, есть.
Нет, вовсе не “значит”.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-10-05 01:52 pm (UTC)no subject
Date: 2007-10-05 02:22 pm (UTC)no subject
Date: 2007-10-05 02:41 pm (UTC)Но из предыдущего поста по теме: "Часто между X и Y имеется “причинно-следственная связь”, но это не обязательно" что опровергает моё предположение.
Можно ли как-то формализовать критерий?
no subject
Date: 2007-10-05 02:55 pm (UTC)Надеюсь, что да. Но пока эта задача не решена для самого общего случая. Остаются неприятные несоответствия, которые обычно называют "парадоксами импликации", хотя это не настоящие парадоксы, а просто случаи несоответствия между обычным языком и формальными.
Но кое-какие свойства операции ЕСЛИ...ТО... все равно известны, некоторые очень давно - как modus ponens и ряд других свойств, о которых я собираюсь написать.
no subject
Date: 2007-10-20 11:02 am (UTC)что такое материальная импликация а что такое ЕСЛИ ТО ?
обычная логическая операция "=>" применимая даже к не связаным по смыслу высказываниям - к какому варианту относится?
no subject
Date: 2007-10-20 11:14 am (UTC)no subject
Date: 2007-10-20 11:28 am (UTC)Перечитаю всё - может напишу что-то в коменты по поводу т.н. "парадоксов", если сумею сформулировать.