![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Парадоксы материальной импликации
Последние главы "логики для чайников" вновь подняли вопрос насчет материальной импликации. Чтобы не объяснять каждому одно и то же, я решил написать этот пост.
Так как пост получился длинный, я сразу скажу “квинтэссенцию”, и вы поймете, интересно ли вам узнать, почему именно так.
Вот квинтэссенция:
До сих пор ни математики, ни лингвисты не могут разгадать загадку одного простого слова: “если”.
Под разгадкой я понимаю строгую формализацию хотя бы на том уровне, как сделано для союза “и” через конъюнкцию. Вопрос состоит в следующем:
Дано утверждение
если A, то B.
Вопрос:
- как узнать, истинно оно или ложно? Как эта задача решается в общем случае? Как истинность этого высказывания сводится к истинности и, возможно, другим строгим параметрам высказываний A и B?
Первые попытки разгадать загадку восходят еще к Аристотелю. Он загадку решил, но увы – только для некоторых частных случаев. Эти частные случаи были сведены в единую формальную систему, известную как “силлогистика Аристотеля”. Ее до сих пор применяют некоторые недогуманитарии – философы и юристы.
В 19-м веке математики предложили формализовать таблицей истинности:
X Y если X, то Y.
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Эту операцию обозначили как X => Y. Ее называют материальной импликацией (material implication). Но недолго радовались.
Начиналось все с того, что был обнаружен парадокс "из лжи следует все". Не знаю, когда и кем, но вот так. Между тем в нормальных рассуждениях из лжи мы не можем вывести все, что угодно. Если у нас есть ложное высказывание X, то мы можем взять истинное ~X и вывести из него что-нибудь вполне строго. Что-нибудь, но вовсе не все.
Нетрудно увидеть и второй парадокс, менее раздражающий, что истина следует из всего. X => true. Хоть он и менее раздражающий, но это такая же задница, т.к. стоит применить обращение ~true => ~X и получаем приснопамятный "из лжи следует все".
Есть парадоксы из разряда: если трава зеленая, то вода мокрая - два бессвязных истинных высказывания (или два бессвязных ложных).
Далее, есть такая "бяка", как (X => Y) \/ (Y => Z). Это высказывание истинно вообще всегда. Но вместо X, Y, Z мы можем подставить совершенно произвольные утверждения, которые вообще никак не связаны между собой, то есть абсолютно никак. Подставив, мы получим, что: хотя бы одна из двух импликаций истинна. То есть, что истинно некое совершенно произвольное X => Y либо некое совершенно произвольное Y => Z, либо оба сразу. Согласитесь, но это совершенно против любой интуиции, что одно из двух почти совершенно отфонарных "если" всегда истинно.
Тогда предложили "модальную логику". Вообще говоря, ее первый вариант предлагал еще Аристотель, но в данном случае один из вариантов модальной логики предложили именно как панацею от этих парадоксов.
Модальная логика вводит две операции: "возможно" и "обязательно". Более распространен вариант "возможно" и "необходимо", но мне в лом объяснять непосвященным, что такое "необходимо".
И вот в модальной логике ввели новую импликацию, которую назвали "строгой" (strict) или модальной импликацией. Формула для нее:
X
Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( X => Y )
Утверждалось, что модальная импликация (обозначаемая значком) - это та самая желанная формализация. Дескать, тут парадокса из-лжи-следует-все уже нет.
Чтобы пояснить, как происходит избавление от парадокса, придется сказать о концепции "возможных миров". Пусть мы рассматриваем разные фантастические миры, в некоторых из них вода мокрая, а в других нет, в некоторых трава зеленая, а в других нет. Операция ОБЯЗАТЕЛЬНО означает, что какое-то утверждение верно во всех мирах.
Теперь уже не напишешь, что "если вода мокрая, то трава зеленая". Ведь мы можем вообразить себе мир, где вода мокрая, а трава красная. И все, получаем для этого мира true => false = false.
Казалось бы, решение, но вот хрен. А какие миры считать "возможными"? Насколько далеко может заходить фантазия? Например, представить себе сухую воду уже довольно трудно. Иногда утверждается, что "возможными" надо считать только миры, где верны те же математические законы, что и в нашем. Но тогда сразу, что называется "приехали":
(X & ~X) Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( (X & ~X) => Y ) = false
То есть, из противоречия следует все. То из лжи следовало все, а теперь из противоречия следует все. Опять же, в логике мы иногда приходим во время рассуждений к противоречиям, но никогда не выводим из этого "все".
Потом появилась релевантная импликация - в рамках релевантной логики. Я как то переводил статью о релевантной логике из стэнфордской энциклопедии. Перевод лежит здесь:
http://psi-logic.shadanakar.org/psi/rele.htm
Что предлагали эти господа?
Приверженцы релевантной логики заявляют, что несоответствие в этих так называемых парадоксах возникает из-за того, что посылка никак не относится к заключению. И они заявляют: модальная импликация - это только необходимое условие "если-то", но не достаточное. Нужна еще некая мистическая "релевантность".
Я говорю "мистическая" потому, что дальше начинаются мрачные философские нагромождения, изрядно разбавленные математикой (да, это только "у нас" философы 2+2 сложить не могут, "у них" философы учат математику). В конце концов ни один из них не дает сколько-нибудь определенного ответа, как все-таки разгадать загадку - вместо этого они погрязают в каких-то сложностях типа того, что начинают рассматривать тройки миров или углубляться в теорию информации. Но извините, оборот "если-то" может корректно употреблять даже полуграмотная старушка, так что решение обязано быть простым!
Кажется, после всех этих перипетий математики (особенно эдакие “пуристы”) стараются вообще отгородиться от проблемы, сделать вид, что ее не существует. Если вы скажете о парадоксах материальной импликации математику-профи, то с большой вероятностью получите ответ, что нет таких парадоксов. Они имеют в виду, что парадокс – это противоречие, а ВНУТРИ математической логики противоречий нет. Есть несоответствие между свойствами материальной импликации и свойствами если-то.
Но проблема то от этого никуда не девается – разгадать то загадку все равно хочется. Хотя бы для того, чтобы можно было в реальной жизни доказывать всякие “если-то”, не полагаясь в некоторой степени (пусть даже очень небольшой) на интуицию.
Так как пост получился длинный, я сразу скажу “квинтэссенцию”, и вы поймете, интересно ли вам узнать, почему именно так.
Вот квинтэссенция:
До сих пор ни математики, ни лингвисты не могут разгадать загадку одного простого слова: “если”.
Под разгадкой я понимаю строгую формализацию хотя бы на том уровне, как сделано для союза “и” через конъюнкцию. Вопрос состоит в следующем:
Дано утверждение
если A, то B.
Вопрос:
- как узнать, истинно оно или ложно? Как эта задача решается в общем случае? Как истинность этого высказывания сводится к истинности и, возможно, другим строгим параметрам высказываний A и B?
Первые попытки разгадать загадку восходят еще к Аристотелю. Он загадку решил, но увы – только для некоторых частных случаев. Эти частные случаи были сведены в единую формальную систему, известную как “силлогистика Аристотеля”. Ее до сих пор применяют некоторые недогуманитарии – философы и юристы.
В 19-м веке математики предложили формализовать таблицей истинности:
X Y если X, то Y.
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Эту операцию обозначили как X => Y. Ее называют материальной импликацией (material implication). Но недолго радовались.
Начиналось все с того, что был обнаружен парадокс "из лжи следует все". Не знаю, когда и кем, но вот так. Между тем в нормальных рассуждениях из лжи мы не можем вывести все, что угодно. Если у нас есть ложное высказывание X, то мы можем взять истинное ~X и вывести из него что-нибудь вполне строго. Что-нибудь, но вовсе не все.
Нетрудно увидеть и второй парадокс, менее раздражающий, что истина следует из всего. X => true. Хоть он и менее раздражающий, но это такая же задница, т.к. стоит применить обращение ~true => ~X и получаем приснопамятный "из лжи следует все".
Есть парадоксы из разряда: если трава зеленая, то вода мокрая - два бессвязных истинных высказывания (или два бессвязных ложных).
Далее, есть такая "бяка", как (X => Y) \/ (Y => Z). Это высказывание истинно вообще всегда. Но вместо X, Y, Z мы можем подставить совершенно произвольные утверждения, которые вообще никак не связаны между собой, то есть абсолютно никак. Подставив, мы получим, что: хотя бы одна из двух импликаций истинна. То есть, что истинно некое совершенно произвольное X => Y либо некое совершенно произвольное Y => Z, либо оба сразу. Согласитесь, но это совершенно против любой интуиции, что одно из двух почти совершенно отфонарных "если" всегда истинно.
Тогда предложили "модальную логику". Вообще говоря, ее первый вариант предлагал еще Аристотель, но в данном случае один из вариантов модальной логики предложили именно как панацею от этих парадоксов.
Модальная логика вводит две операции: "возможно" и "обязательно". Более распространен вариант "возможно" и "необходимо", но мне в лом объяснять непосвященным, что такое "необходимо".
И вот в модальной логике ввели новую импликацию, которую назвали "строгой" (strict) или модальной импликацией. Формула для нее:
X
Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( X => Y )Утверждалось, что модальная импликация (обозначаемая значком
) - это та самая желанная формализация. Дескать, тут парадокса из-лжи-следует-все уже нет.Чтобы пояснить, как происходит избавление от парадокса, придется сказать о концепции "возможных миров". Пусть мы рассматриваем разные фантастические миры, в некоторых из них вода мокрая, а в других нет, в некоторых трава зеленая, а в других нет. Операция ОБЯЗАТЕЛЬНО означает, что какое-то утверждение верно во всех мирах.
Теперь уже не напишешь, что "если вода мокрая, то трава зеленая". Ведь мы можем вообразить себе мир, где вода мокрая, а трава красная. И все, получаем для этого мира true => false = false.
Казалось бы, решение, но вот хрен. А какие миры считать "возможными"? Насколько далеко может заходить фантазия? Например, представить себе сухую воду уже довольно трудно. Иногда утверждается, что "возможными" надо считать только миры, где верны те же математические законы, что и в нашем. Но тогда сразу, что называется "приехали":
(X & ~X)
Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( (X & ~X) => Y ) = falseТо есть, из противоречия следует все. То из лжи следовало все, а теперь из противоречия следует все. Опять же, в логике мы иногда приходим во время рассуждений к противоречиям, но никогда не выводим из этого "все".
Потом появилась релевантная импликация - в рамках релевантной логики. Я как то переводил статью о релевантной логике из стэнфордской энциклопедии. Перевод лежит здесь:
http://psi-logic.shadanakar.org/psi/rele.htm
Что предлагали эти господа?
Приверженцы релевантной логики заявляют, что несоответствие в этих так называемых парадоксах возникает из-за того, что посылка никак не относится к заключению. И они заявляют: модальная импликация - это только необходимое условие "если-то", но не достаточное. Нужна еще некая мистическая "релевантность".
Я говорю "мистическая" потому, что дальше начинаются мрачные философские нагромождения, изрядно разбавленные математикой (да, это только "у нас" философы 2+2 сложить не могут, "у них" философы учат математику). В конце концов ни один из них не дает сколько-нибудь определенного ответа, как все-таки разгадать загадку - вместо этого они погрязают в каких-то сложностях типа того, что начинают рассматривать тройки миров или углубляться в теорию информации. Но извините, оборот "если-то" может корректно употреблять даже полуграмотная старушка, так что решение обязано быть простым!
Кажется, после всех этих перипетий математики (особенно эдакие “пуристы”) стараются вообще отгородиться от проблемы, сделать вид, что ее не существует. Если вы скажете о парадоксах материальной импликации математику-профи, то с большой вероятностью получите ответ, что нет таких парадоксов. Они имеют в виду, что парадокс – это противоречие, а ВНУТРИ математической логики противоречий нет. Есть несоответствие между свойствами материальной импликации и свойствами если-то.
Но проблема то от этого никуда не девается – разгадать то загадку все равно хочется. Хотя бы для того, чтобы можно было в реальной жизни доказывать всякие “если-то”, не полагаясь в некоторой степени (пусть даже очень небольшой) на интуицию.
вместе
> ложное высказывание X, то мы можем взять истинное ~X и вывести из него что-нибудь
> вполне строго. Что-нибудь, но вовсе не все.
Я вот это не вполне понимаю. Из истинного ~X мы можем вывести не всё, но ведь нам и X дано! А из этих двух взятых вместе можно вывести всё. То есть надо всё-таки чётче обосновать, в чём именно видится здесь парадоксальность.
Re: вместе
[ но ведь нам и X дано! ]
Вообще-то нет. Нам дано, что X = false, то есть, что доказано ~X. X нам не дано.
[ А из этих двух взятых вместе можно вывести всё. ]
Не всегда можно вывести - зависит от системы вывода. Да, можно вывести в классическом исчислении высказываний. Это из-за аксиомы A => (B => A), которая потом упрятывается в метатеорему дедукции. Сама аксиома A => (B => A) и метатеорема дедукции не всегда верны для "бытовой" импликации.
Кстати, у меня есть вопрос на тему вашего варианта изложения КИВ. У меня на сайте есть учебник, где излангаются самые основы http://psi-logic.shadanakar.org/kiv/kiv.htm . так нельзя ли мне там написать, дескать, а вот такой-то тигр придумал еще вот такой вариант? Если можно, то скажите, как на вас сослаться - просто как на жж-юзера falcao или еще как-нибудь :)
"дана" ли "ложь"?
Это правильно. Но для меня нет проблемы в том, чтобы сформулировать понятую мной вещь. Если Вы всё же донесёте до меня на интуитивном уровне суть проблемы вокруг принципа "из лжи следует всё", то я дам, скорее всего, формулировку.
Сам принцип интуитивно очень хорошо обоснован. Он понятен как раз даже детскому сознанию и состоит в том, что "в сказках бывает всё". Мы наплели "с три короба", и понятно, что можно к уже сочинённым "небывальщинам" добавлять новые и новые. "Мели, Емеля -- твоя неделя" -- это В ТОЧНОСТИ и есть принцип "из лжи следует всё"!
> Вообще-то нет. Нам дано, что X = false, то есть, что доказано ~X. X нам не дано
Вот это главный момент. Пока что мне кажется, что Вы ошибаетесь здесь на очень грубом уровне. Имеет смысл разобраться. Нам известно много ложных утверждений. Например, я знаю, что утверждение "2x2=5" ложно. Если мне будет не "дано", что "2x2=5", то я, конечно же, ничего отсюда не докажу. Если будет дано, то я выведу отсюда равенство 1=2 и смогу отождествлять любые объекты, получив известную ситуацию с "римским папой". И тогда, конечно, я легко получу "всё". Возьму два утверждения: одно истинное, а другое -- наперёд заданное. Их два, но это одно и то же в силу "принципа", что 1=2. Вот и всё.
> X нам не дано
Как же не дано? Ведь говорится, что "всё" следует ИЗ ЛЖИ. Не из воздуха ведь? А "ложью" тут является именно X. То есть она принимается, на дана. Тут у нас настолько сильное несоответствие возникает, что я даже несколько удивлён.
Просто судите сами: что значит "из лжи"? Ведь не то, что если где-то кто-то сказал чушь, то возникло противоречие в бытии? Сказать можно что угодно, и принимать сказанное за "истину" вряд ли стоит. А вот если принять чушь за истину, то "платой" будет противоречие. Принимая, Вы сами погружаете себя в ту самую "сказочную" ситуацию, где "всё возможно".
> как на вас сослаться
В Сети --просто на мой ЖЖ. Я пока "не дозрел" до раскрытия своего ника перед всеми. Вам, кстати, я давно готов сообщить свои данные. Если дадите мне электронный адрес (удалённым комментом хотя бы), то я для удобства перед Вами раскроюсь и расскажу кратко о себе.
Re: "дана" ли "ложь"?
Попробую пояснить на примере 2x2=5. Ввожу 5 обозначений:
S1 = 2x2=5
S2 = ~(2x2=5)
S3 = если 1x2=2,5, то 2x2=5
S4 = (1x2=2,5)
S5 = ~(1x2=2,5)
S1 ... S5 - высказывания. Они пока _не_даны_, это просто обозначения.
Пусть дано S2 как доказанное и истинное.
Пусть дано S3 как доказанное и истинное.
По modus tollens можно заключить, что
S5 доказанное и истинное.
Здесь мы получили из истины (S2) истину (S5).
Но! Пусть теперь дано, что S1 ложно, пусть доказано, что оно ложно (внимание: доказано не то, что S1, а то, что S1 ложно, т.е. доказано S2, а S1 "опровергнуто").
Пусть дано S3 как доказанное и истинное.
По modus tollens можно заключить, что
S5 доказанное и истинное.
Здесь мы получили из лжи (S1) истину (S5). Т.е. из лжи мы на практике можем выводить кое-что определенное, а вовсе не все, что угодно. Последнее предложение - то, что меня интуитивно беспокоит более всего.
ложность лжи :)
> мы получили из лжи (S1) истину (S5)
Не из "лжи", а из "ложности"!
На самом деле речь должна идти о принципе, что из противоречия следует всё. То есть из A & ~A следует B. Математически тут всё понятно. На "бытовом" уровне -- так. Ситуация, когда одновременно A и ~A, в жизни возникнуть не может. Однако в сказочной реальности такое вполне можно себе представить. Но природа сказочной реальности такова, что в ней возможно всё. (Тут можно немного "подшлифовать", но мысль, думаю, ясна.)
Re: ложность лжи :)
Вообще есть ли смысл пытаться "оправдать" мат. импликацию вместо того, чтобы искать что-то лучше нее? Это как если бы мы получили результаты опыта Майкельсона Морли (который опровергал ньютонову механику для света) и сказали бы, что свет - это шутка или сказка, а вообще с ньютоновой механикой все в порядке.
сказочный свет
В том, что свет -- это своего рода "сказка", кстати, есть некая доля правды :)
Но к тому, что я говорю, это не имеет отношения. В бытии противоречий нет -- это основополагающий тезис. Следовательно, ситуация, в которой A & ~A, невозможна в бытийственном смысле. Что тут особенного?
И Вы никак не прореагировали на мои замечания Выше. Я сделал различие между "ложью" и "ложностью".
Кстати, Вам свойственно очень ясно вскрывать суть дела. Но в данном случае вопрос всё затемняется. Вы сами-то уверены до конца, что тут на самом деле кроется какая-то проблема, и надо что-то приспосабливать?
Re: сказочный свет
Да тем же, чем и всех прочих, кто говорил о парадоксах материальной импликации - тем, что такое представление не соответсвует свойствам бытовой импликации. А это влечет за собой практические трудности, когда работаем именно с бытовой импликацией.
Приведу еще один пример. Пускай математик пытается доказать какую-то теорему. Только не в области матлогики, а, скажем, в матане. В какой-то момент он говорит: допустим, что A, B, C - т.е. вводит гипотезы. Потом рассуждает дальше - бла бла бла... - строго математически. И вдруг - бац, приходит к противоречию X & ~X. Противоречие - это и ложь тоже.
И что он делает дальше? Радостно рассуждает дальше, дескать, о! из лжи следует все (или из противоречия следует все), а значит и теорема моя доказана, и зарплату мне надо прибавить, и сам я - Наполеон. Нет, математик так НЕ делает, он не пытается выводить из лжи (или из противоречия) все. Вместо этого он из противоречия выодит нечто гораздо более скромное - тот факт, что исходные посылки неверны, а значит ~(A & B & C).
А в жизни - так же. Придя к противоречию или к пониманию, что некое высказывание ложно, люди не пытаются выводить из этого все, но вполне могут вывести что-то конкретное.
Так понятно?
Могу еще так сказать. Мне нужна математическая модель для языковой практики использования слова "если", модель человеческого поведения, психологическая естественнонаучная модель. Материальная импликация меня как мат.модель этого явления не устраивает, так как она ведет себя иначе, не "сходится с экспериментом". Не всегда, но иногда, а надо, чтобы всегда. Ну не знаю, как ЕЩЕ объяснить :)
[ И Вы никак не прореагировали на мои замечания Выше. Я сделал различие между "ложью" и "ложностью". ]
Я вообще не знаю такого слова "ложность" - по крайней мере в логике. Истинность знаю, ложь знаю, ложности не знаю. В том примере было опровергнуто некое утверждение, доказано, что оно - ложь или что у него истинность равна "лжи".
еще один вариант объяснения
1. Мы составляем список из 100 фраз вида “если A, то B”. Все A и B должны быть простыми фразами, утверждающими что-нибудь и предположительно понятными среднему русскому. В том числе туда суем фразы типа “если трава зеленая, то вода мокрая”, “если коровы летают, то Пушкин – поэт” и т.п.
2. Производим отбор испытуемых по трем параметрам:
2.1. Это не должны быть математики-профи, т.к. математики слышали о материальной импликации и эксперимент будет нечист. К бытовому пониманию “если” может примешаться математическое понимание, а на надо как раз этого избежать.
2.2. Это должны быть люди с развитым логическим мышлением. Понятно, что если взять “тонко чувствующие художественные натуры”, то эти товарищи будут давать ответы, близкие к случайным :) Так что прогоняем через какой-нибудь тест на логическое мышление.
2.3. Это должны быть люди, хорошо понимающие русский язык, смысловые нюансы. Надо отсеять иностранцев и т.п. Значит, еще один тестик на русский язык.
Пусть мы отобрали таким путем 100 добровольцев – не математиков, но на интуитивном уровне логичных и с нормальным русским языком.
3. Собственно тест. Просим испытуемых охарактеризовать каждую из 100 фраз – как “верную” или “неверную”. По результатам ответов каждой фразе приписываем очки +1 за каждый ответ “верная”, –1 за каждый ответ “неверная”. Если все 100 человек посчитают какую-то фразу верной, она получит характеристику +100, а если все 100 человек посчитают ее неверной, то –100. Но это предел, а реальные величины, наверное не будут выходить за рамки
–90...+90, так как полное согласие между испытуемыми маловероятно. Фразы, получившие –70...–100 будем считать интуитивно ложными, с точки зрения нормального восприятия. Фразы, получившие +70...+100 будем считать интуитивно истинными. А все прочие будем считать неопределенными, не имеющими “нормального” понимания.
4. Вычисляем истинность фраз по формуле материальной импликации. Сравниваем с ответами.
По моему мнению в примерах типа “если трава зеленая, то вода мокрая” вряд ли удастся добиться характеристики +50, а скорее всего в большинстве случаев параметр уйдет далеко “в минус”.
В то же время, я думаю, что для конструкций вида “A и B” мы будем стабильно получать совпадение между ответами людей и расчетом по формуле конъюнкции.
5. Цель состоит в том, чтобы найти матлгическую методику, позволяющую заранее рассчитать и расчетом предугадать хотя бы для 90 фраз из 100, какие фразы получат оценку больше +70. Такие стабильные методы существуют, например, в моем тесте на логическое мышление люди с техническим складом ума стабильно получают 27-30 баллов из 30.