Парадоксы материальной импликации
Oct. 9th, 2007 12:30 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicПоследние главы "логики для чайников" вновь подняли вопрос насчет материальной импликации. Чтобы не объяснять каждому одно и то же, я решил написать этот пост.
Так как пост получился длинный, я сразу скажу “квинтэссенцию”, и вы поймете, интересно ли вам узнать, почему именно так.
Вот квинтэссенция:
До сих пор ни математики, ни лингвисты не могут разгадать загадку одного простого слова: “если”.
Под разгадкой я понимаю строгую формализацию хотя бы на том уровне, как сделано для союза “и” через конъюнкцию. Вопрос состоит в следующем:
Дано утверждение
если A, то B.
Вопрос:
- как узнать, истинно оно или ложно? Как эта задача решается в общем случае? Как истинность этого высказывания сводится к истинности и, возможно, другим строгим параметрам высказываний A и B?
Первые попытки разгадать загадку восходят еще к Аристотелю. Он загадку решил, но увы – только для некоторых частных случаев. Эти частные случаи были сведены в единую формальную систему, известную как “силлогистика Аристотеля”. Ее до сих пор применяют некоторые недогуманитарии – философы и юристы.
В 19-м веке математики предложили формализовать таблицей истинности:
X Y если X, то Y.
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Эту операцию обозначили как X => Y. Ее называют материальной импликацией (material implication). Но недолго радовались.
Начиналось все с того, что был обнаружен парадокс "из лжи следует все". Не знаю, когда и кем, но вот так. Между тем в нормальных рассуждениях из лжи мы не можем вывести все, что угодно. Если у нас есть ложное высказывание X, то мы можем взять истинное ~X и вывести из него что-нибудь вполне строго. Что-нибудь, но вовсе не все.
Нетрудно увидеть и второй парадокс, менее раздражающий, что истина следует из всего. X => true. Хоть он и менее раздражающий, но это такая же задница, т.к. стоит применить обращение ~true => ~X и получаем приснопамятный "из лжи следует все".
Есть парадоксы из разряда: если трава зеленая, то вода мокрая - два бессвязных истинных высказывания (или два бессвязных ложных).
Далее, есть такая "бяка", как (X => Y) \/ (Y => Z). Это высказывание истинно вообще всегда. Но вместо X, Y, Z мы можем подставить совершенно произвольные утверждения, которые вообще никак не связаны между собой, то есть абсолютно никак. Подставив, мы получим, что: хотя бы одна из двух импликаций истинна. То есть, что истинно некое совершенно произвольное X => Y либо некое совершенно произвольное Y => Z, либо оба сразу. Согласитесь, но это совершенно против любой интуиции, что одно из двух почти совершенно отфонарных "если" всегда истинно.
Тогда предложили "модальную логику". Вообще говоря, ее первый вариант предлагал еще Аристотель, но в данном случае один из вариантов модальной логики предложили именно как панацею от этих парадоксов.
Модальная логика вводит две операции: "возможно" и "обязательно". Более распространен вариант "возможно" и "необходимо", но мне в лом объяснять непосвященным, что такое "необходимо".
И вот в модальной логике ввели новую импликацию, которую назвали "строгой" (strict) или модальной импликацией. Формула для нее:
X
Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( X => Y )
Утверждалось, что модальная импликация (обозначаемая значком) - это та самая желанная формализация. Дескать, тут парадокса из-лжи-следует-все уже нет.
Чтобы пояснить, как происходит избавление от парадокса, придется сказать о концепции "возможных миров". Пусть мы рассматриваем разные фантастические миры, в некоторых из них вода мокрая, а в других нет, в некоторых трава зеленая, а в других нет. Операция ОБЯЗАТЕЛЬНО означает, что какое-то утверждение верно во всех мирах.
Теперь уже не напишешь, что "если вода мокрая, то трава зеленая". Ведь мы можем вообразить себе мир, где вода мокрая, а трава красная. И все, получаем для этого мира true => false = false.
Казалось бы, решение, но вот хрен. А какие миры считать "возможными"? Насколько далеко может заходить фантазия? Например, представить себе сухую воду уже довольно трудно. Иногда утверждается, что "возможными" надо считать только миры, где верны те же математические законы, что и в нашем. Но тогда сразу, что называется "приехали":
(X & ~X) Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( (X & ~X) => Y ) = false
То есть, из противоречия следует все. То из лжи следовало все, а теперь из противоречия следует все. Опять же, в логике мы иногда приходим во время рассуждений к противоречиям, но никогда не выводим из этого "все".
Потом появилась релевантная импликация - в рамках релевантной логики. Я как то переводил статью о релевантной логике из стэнфордской энциклопедии. Перевод лежит здесь:
http://psi-logic.shadanakar.org/psi/rele.htm
Что предлагали эти господа?
Приверженцы релевантной логики заявляют, что несоответствие в этих так называемых парадоксах возникает из-за того, что посылка никак не относится к заключению. И они заявляют: модальная импликация - это только необходимое условие "если-то", но не достаточное. Нужна еще некая мистическая "релевантность".
Я говорю "мистическая" потому, что дальше начинаются мрачные философские нагромождения, изрядно разбавленные математикой (да, это только "у нас" философы 2+2 сложить не могут, "у них" философы учат математику). В конце концов ни один из них не дает сколько-нибудь определенного ответа, как все-таки разгадать загадку - вместо этого они погрязают в каких-то сложностях типа того, что начинают рассматривать тройки миров или углубляться в теорию информации. Но извините, оборот "если-то" может корректно употреблять даже полуграмотная старушка, так что решение обязано быть простым!
Кажется, после всех этих перипетий математики (особенно эдакие “пуристы”) стараются вообще отгородиться от проблемы, сделать вид, что ее не существует. Если вы скажете о парадоксах материальной импликации математику-профи, то с большой вероятностью получите ответ, что нет таких парадоксов. Они имеют в виду, что парадокс – это противоречие, а ВНУТРИ математической логики противоречий нет. Есть несоответствие между свойствами материальной импликации и свойствами если-то.
Но проблема то от этого никуда не девается – разгадать то загадку все равно хочется. Хотя бы для того, чтобы можно было в реальной жизни доказывать всякие “если-то”, не полагаясь в некоторой степени (пусть даже очень небольшой) на интуицию.
Так как пост получился длинный, я сразу скажу “квинтэссенцию”, и вы поймете, интересно ли вам узнать, почему именно так.
Вот квинтэссенция:
До сих пор ни математики, ни лингвисты не могут разгадать загадку одного простого слова: “если”.
Под разгадкой я понимаю строгую формализацию хотя бы на том уровне, как сделано для союза “и” через конъюнкцию. Вопрос состоит в следующем:
Дано утверждение
если A, то B.
Вопрос:
- как узнать, истинно оно или ложно? Как эта задача решается в общем случае? Как истинность этого высказывания сводится к истинности и, возможно, другим строгим параметрам высказываний A и B?
Первые попытки разгадать загадку восходят еще к Аристотелю. Он загадку решил, но увы – только для некоторых частных случаев. Эти частные случаи были сведены в единую формальную систему, известную как “силлогистика Аристотеля”. Ее до сих пор применяют некоторые недогуманитарии – философы и юристы.
В 19-м веке математики предложили формализовать таблицей истинности:
X Y если X, то Y.
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Эту операцию обозначили как X => Y. Ее называют материальной импликацией (material implication). Но недолго радовались.
Начиналось все с того, что был обнаружен парадокс "из лжи следует все". Не знаю, когда и кем, но вот так. Между тем в нормальных рассуждениях из лжи мы не можем вывести все, что угодно. Если у нас есть ложное высказывание X, то мы можем взять истинное ~X и вывести из него что-нибудь вполне строго. Что-нибудь, но вовсе не все.
Нетрудно увидеть и второй парадокс, менее раздражающий, что истина следует из всего. X => true. Хоть он и менее раздражающий, но это такая же задница, т.к. стоит применить обращение ~true => ~X и получаем приснопамятный "из лжи следует все".
Есть парадоксы из разряда: если трава зеленая, то вода мокрая - два бессвязных истинных высказывания (или два бессвязных ложных).
Далее, есть такая "бяка", как (X => Y) \/ (Y => Z). Это высказывание истинно вообще всегда. Но вместо X, Y, Z мы можем подставить совершенно произвольные утверждения, которые вообще никак не связаны между собой, то есть абсолютно никак. Подставив, мы получим, что: хотя бы одна из двух импликаций истинна. То есть, что истинно некое совершенно произвольное X => Y либо некое совершенно произвольное Y => Z, либо оба сразу. Согласитесь, но это совершенно против любой интуиции, что одно из двух почти совершенно отфонарных "если" всегда истинно.
Тогда предложили "модальную логику". Вообще говоря, ее первый вариант предлагал еще Аристотель, но в данном случае один из вариантов модальной логики предложили именно как панацею от этих парадоксов.
Модальная логика вводит две операции: "возможно" и "обязательно". Более распространен вариант "возможно" и "необходимо", но мне в лом объяснять непосвященным, что такое "необходимо".
И вот в модальной логике ввели новую импликацию, которую назвали "строгой" (strict) или модальной импликацией. Формула для нее:
X
Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( X => Y )Утверждалось, что модальная импликация (обозначаемая значком
) - это та самая желанная формализация. Дескать, тут парадокса из-лжи-следует-все уже нет.Чтобы пояснить, как происходит избавление от парадокса, придется сказать о концепции "возможных миров". Пусть мы рассматриваем разные фантастические миры, в некоторых из них вода мокрая, а в других нет, в некоторых трава зеленая, а в других нет. Операция ОБЯЗАТЕЛЬНО означает, что какое-то утверждение верно во всех мирах.
Теперь уже не напишешь, что "если вода мокрая, то трава зеленая". Ведь мы можем вообразить себе мир, где вода мокрая, а трава красная. И все, получаем для этого мира true => false = false.
Казалось бы, решение, но вот хрен. А какие миры считать "возможными"? Насколько далеко может заходить фантазия? Например, представить себе сухую воду уже довольно трудно. Иногда утверждается, что "возможными" надо считать только миры, где верны те же математические законы, что и в нашем. Но тогда сразу, что называется "приехали":
(X & ~X)
Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( (X & ~X) => Y ) = falseТо есть, из противоречия следует все. То из лжи следовало все, а теперь из противоречия следует все. Опять же, в логике мы иногда приходим во время рассуждений к противоречиям, но никогда не выводим из этого "все".
Потом появилась релевантная импликация - в рамках релевантной логики. Я как то переводил статью о релевантной логике из стэнфордской энциклопедии. Перевод лежит здесь:
http://psi-logic.shadanakar.org/psi/rele.htm
Что предлагали эти господа?
Приверженцы релевантной логики заявляют, что несоответствие в этих так называемых парадоксах возникает из-за того, что посылка никак не относится к заключению. И они заявляют: модальная импликация - это только необходимое условие "если-то", но не достаточное. Нужна еще некая мистическая "релевантность".
Я говорю "мистическая" потому, что дальше начинаются мрачные философские нагромождения, изрядно разбавленные математикой (да, это только "у нас" философы 2+2 сложить не могут, "у них" философы учат математику). В конце концов ни один из них не дает сколько-нибудь определенного ответа, как все-таки разгадать загадку - вместо этого они погрязают в каких-то сложностях типа того, что начинают рассматривать тройки миров или углубляться в теорию информации. Но извините, оборот "если-то" может корректно употреблять даже полуграмотная старушка, так что решение обязано быть простым!
Кажется, после всех этих перипетий математики (особенно эдакие “пуристы”) стараются вообще отгородиться от проблемы, сделать вид, что ее не существует. Если вы скажете о парадоксах материальной импликации математику-профи, то с большой вероятностью получите ответ, что нет таких парадоксов. Они имеют в виду, что парадокс – это противоречие, а ВНУТРИ математической логики противоречий нет. Есть несоответствие между свойствами материальной импликации и свойствами если-то.
Но проблема то от этого никуда не девается – разгадать то загадку все равно хочется. Хотя бы для того, чтобы можно было в реальной жизни доказывать всякие “если-то”, не полагаясь в некоторой степени (пусть даже очень небольшой) на интуицию.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-10-08 09:59 pm (UTC)no subject
Date: 2007-10-08 10:20 pm (UTC)no subject
Date: 2007-10-09 06:19 am (UTC)А вообще нет "общей теории соотнесения". И тогда у меня к тебе просьба: у меня есть перевод на эту тему, его нужно дочистить, а потом ты бы его не посмотрел?
no subject
Date: 2007-10-09 09:11 am (UTC)no subject
Date: 2007-10-09 01:48 pm (UTC)no subject
Date: 2007-10-09 01:53 pm (UTC)no subject
Date: 2007-10-09 01:55 pm (UTC)no subject
Date: 2007-10-09 02:03 pm (UTC)no subject
Date: 2007-10-09 02:06 pm (UTC)вместе
Date: 2007-10-11 03:58 am (UTC)> ложное высказывание X, то мы можем взять истинное ~X и вывести из него что-нибудь
> вполне строго. Что-нибудь, но вовсе не все.
Я вот это не вполне понимаю. Из истинного ~X мы можем вывести не всё, но ведь нам и X дано! А из этих двух взятых вместе можно вывести всё. То есть надо всё-таки чётче обосновать, в чём именно видится здесь парадоксальность.
Re: вместе
Date: 2007-10-11 09:47 am (UTC)[ но ведь нам и X дано! ]
Вообще-то нет. Нам дано, что X = false, то есть, что доказано ~X. X нам не дано.
[ А из этих двух взятых вместе можно вывести всё. ]
Не всегда можно вывести - зависит от системы вывода. Да, можно вывести в классическом исчислении высказываний. Это из-за аксиомы A => (B => A), которая потом упрятывается в метатеорему дедукции. Сама аксиома A => (B => A) и метатеорема дедукции не всегда верны для "бытовой" импликации.
Кстати, у меня есть вопрос на тему вашего варианта изложения КИВ. У меня на сайте есть учебник, где излангаются самые основы http://psi-logic.shadanakar.org/kiv/kiv.htm . так нельзя ли мне там написать, дескать, а вот такой-то тигр придумал еще вот такой вариант? Если можно, то скажите, как на вас сослаться - просто как на жж-юзера falcao или еще как-нибудь :)
"дана" ли "ложь"?
Date: 2007-10-11 02:23 pm (UTC)Это правильно. Но для меня нет проблемы в том, чтобы сформулировать понятую мной вещь. Если Вы всё же донесёте до меня на интуитивном уровне суть проблемы вокруг принципа "из лжи следует всё", то я дам, скорее всего, формулировку.
Сам принцип интуитивно очень хорошо обоснован. Он понятен как раз даже детскому сознанию и состоит в том, что "в сказках бывает всё". Мы наплели "с три короба", и понятно, что можно к уже сочинённым "небывальщинам" добавлять новые и новые. "Мели, Емеля -- твоя неделя" -- это В ТОЧНОСТИ и есть принцип "из лжи следует всё"!
> Вообще-то нет. Нам дано, что X = false, то есть, что доказано ~X. X нам не дано
Вот это главный момент. Пока что мне кажется, что Вы ошибаетесь здесь на очень грубом уровне. Имеет смысл разобраться. Нам известно много ложных утверждений. Например, я знаю, что утверждение "2x2=5" ложно. Если мне будет не "дано", что "2x2=5", то я, конечно же, ничего отсюда не докажу. Если будет дано, то я выведу отсюда равенство 1=2 и смогу отождествлять любые объекты, получив известную ситуацию с "римским папой". И тогда, конечно, я легко получу "всё". Возьму два утверждения: одно истинное, а другое -- наперёд заданное. Их два, но это одно и то же в силу "принципа", что 1=2. Вот и всё.
> X нам не дано
Как же не дано? Ведь говорится, что "всё" следует ИЗ ЛЖИ. Не из воздуха ведь? А "ложью" тут является именно X. То есть она принимается, на дана. Тут у нас настолько сильное несоответствие возникает, что я даже несколько удивлён.
Просто судите сами: что значит "из лжи"? Ведь не то, что если где-то кто-то сказал чушь, то возникло противоречие в бытии? Сказать можно что угодно, и принимать сказанное за "истину" вряд ли стоит. А вот если принять чушь за истину, то "платой" будет противоречие. Принимая, Вы сами погружаете себя в ту самую "сказочную" ситуацию, где "всё возможно".
> как на вас сослаться
В Сети --просто на мой ЖЖ. Я пока "не дозрел" до раскрытия своего ника перед всеми. Вам, кстати, я давно готов сообщить свои данные. Если дадите мне электронный адрес (удалённым комментом хотя бы), то я для удобства перед Вами раскроюсь и расскажу кратко о себе.
Re: "дана" ли "ложь"?
Date: 2007-10-11 02:57 pm (UTC)Попробую пояснить на примере 2x2=5. Ввожу 5 обозначений:
S1 = 2x2=5
S2 = ~(2x2=5)
S3 = если 1x2=2,5, то 2x2=5
S4 = (1x2=2,5)
S5 = ~(1x2=2,5)
S1 ... S5 - высказывания. Они пока _не_даны_, это просто обозначения.
Пусть дано S2 как доказанное и истинное.
Пусть дано S3 как доказанное и истинное.
По modus tollens можно заключить, что
S5 доказанное и истинное.
Здесь мы получили из истины (S2) истину (S5).
Но! Пусть теперь дано, что S1 ложно, пусть доказано, что оно ложно (внимание: доказано не то, что S1, а то, что S1 ложно, т.е. доказано S2, а S1 "опровергнуто").
Пусть дано S3 как доказанное и истинное.
По modus tollens можно заключить, что
S5 доказанное и истинное.
Здесь мы получили из лжи (S1) истину (S5). Т.е. из лжи мы на практике можем выводить кое-что определенное, а вовсе не все, что угодно. Последнее предложение - то, что меня интуитивно беспокоит более всего.
ложность лжи :)
Date: 2007-10-12 12:19 am (UTC)> мы получили из лжи (S1) истину (S5)
Не из "лжи", а из "ложности"!
На самом деле речь должна идти о принципе, что из противоречия следует всё. То есть из A & ~A следует B. Математически тут всё понятно. На "бытовом" уровне -- так. Ситуация, когда одновременно A и ~A, в жизни возникнуть не может. Однако в сказочной реальности такое вполне можно себе представить. Но природа сказочной реальности такова, что в ней возможно всё. (Тут можно немного "подшлифовать", но мысль, думаю, ясна.)
Re: ложность лжи :)
From:сказочный свет
From:Re: сказочный свет
From:еще один вариант объяснения
From:детский вопрос
Date: 2007-10-11 07:56 am (UTC)А разве трава зеленая? Вроде, не слишком.
Re: детский вопрос
Date: 2007-10-11 09:47 am (UTC)no subject
Date: 2007-10-11 08:17 am (UTC)Так что тут как раз никаких противоречий с нашим здравыс смыслом.
ЗЫ Вы зря так про наших философов и математику, кое-кто вполне даже пристойно выглядит (математика на философском преподавалась).. Чем Вам, например, Пиама Гайденко не угодила?
no subject
Date: 2007-10-11 09:59 am (UTC)Мне кажется, что высказывания этого типа лучше понимать так: "мои слова так же абсурдны (лживы), как ваши". Или "если верить тому бреду, что утверждаете вы, тогда можно поверить и тому бреду, который привожу я". То есть, там либо витиеватое утверждение о лживости, либо смысловой пропуск.
[ кое-кто вполне даже пристойно выглядит ]
:) Какая такая Пиама? :)))
no subject
Date: 2007-10-11 01:24 pm (UTC)А Гайденко - философ, мне понравилась ее работа про Аристотеля.
no subject
Date: 2007-10-11 01:30 pm (UTC)Что за работа?
Почти оффтопик))
Date: 2009-08-13 05:38 pm (UTC)Проблема Молиньё
Пирроновский регресс в познании
Не поможете?))
no subject
Date: 2009-08-13 09:06 pm (UTC)no subject
Date: 2009-08-14 03:15 am (UTC)5.2. Проблема универсалий
5.3. Психофизическая проблема
5.4. Парадокс Мура
5.5. Проблема Геттиэра
5.6. Проблема Молиньё
5.7. Пирроновский регресс в познании
5.8. Восприятие цвета
5.9. Контрафактические суждения
5.10. Материальная импликация
5.11. Счастливая случайность
5.12. Проблема зла
5.13. Дилемма Евтифрона
5.14. Проблема демаркации
5.15. Эссенциализм в эстетике
5.16. Средство есть сообщение
5.17. Что является произведением искусства?
5.18. Искусственный интеллект
5.19. Сущность и статус математических объектов
Все я нашел, но про это ничего неизвестно, если поди только не прочитать какой-нибудь узкий трактат:
Проблема Молиньё
Пирроновский регресс в познании
Предположу, что тут давно нет уже никаких проблем.
Материальная импликация (вариант решения)
Date: 2009-08-14 08:16 am (UTC)Мир один, целостен, непротиворечив по всем вложенным друг в друга своим объектам. Вне Мира – тот же Мир. §3.19.
Материя Мира есть поток математических моделей или любая изоморфная ему сущность. §3.4.
Движение материи есть движение информации §3.5.
Любая теорема в математике верна в строго заданной области определения, в некотором объекте Мира.
На любое утверждение можно смотреть как на теорему.
Таким образом, если мы получаем противоречие, то это просто означает, что неверна посылка для вывода и мы взводим флажок «Ложь», хотя могли бы взвести флажок «Истина», если не боимся ничего перепутать.
Из Лжи следует не что угодно, а вполне определенный список возможностей, существующих в рассматриваемой области определения.
Если мы посмотрим на логику работы любой компьютерной программы, то мы легко увидим, что у программистов нет никаких проблем ни с Ложью, ни с Истиной. Вычисляется значение логического выражения и в зависимости от результата управление передается на ту или иную ветку кода программы.
Таким образом, в компьютерной программе из Лжи следует выполнение одной единственной и вполне конкретной ветки программы, а из Лжи следует выполнение другой одной единственной и так же вполне конкретной ветки программы.
Этот пример необходимо распространить на любой целостный объект Мира – любой объект Мира развивается по вполне определенным законам. И если мы написали, что из А следует Б, то это просто означает, что во вполне конкретно определенном классе однотипных объектов при определенных условиях объект переходит из одного определенного состояния в другое определенное состояние. И если первое состояние объекта содержит структуру А, то второе состояние объекта будет содержать структуру Б. Вот и все.
txt: http://zhurnal.lib.ru/editors/l/lotow_a_a/paradigma.shtml (http://zhurnal.lib.ru/editors/l/lotow_a_a/paradigma.shtml)
word: http://www.scribd.com/doc/14619237/ (http://www.scribd.com/doc/14619237/)-
referat: http://5ballov.ru/referats/preview/94896/ (http://5ballov.ru/referats/preview/94896/)
(no subject)
From:ничего похожего на операцию => там не применяется
From:no subject
Date: 2009-08-14 08:17 am (UTC)форму от другой"
В общем, хуйня :)
(no subject)
From:(no subject)
From:Правда, есть другой вариант проблемы Молине
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:Все верно))
From:(no subject)
From:+1 кардинальные числа
From:Re: +1 кардинальные числа
From:- акт божественного саморазвития ;)))
From:(no subject)
From:не будет никакой технологической сингулярности
From:(no subject)
From:это - только гипотеза
From:спектр возможностей
From:Re: спектр возможностей
From:если меня там еще не забанили :)
From:(no subject)
From: