![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Парадоксы материальной импликации
Последние главы "логики для чайников" вновь подняли вопрос насчет материальной импликации. Чтобы не объяснять каждому одно и то же, я решил написать этот пост.
Так как пост получился длинный, я сразу скажу “квинтэссенцию”, и вы поймете, интересно ли вам узнать, почему именно так.
Вот квинтэссенция:
До сих пор ни математики, ни лингвисты не могут разгадать загадку одного простого слова: “если”.
Под разгадкой я понимаю строгую формализацию хотя бы на том уровне, как сделано для союза “и” через конъюнкцию. Вопрос состоит в следующем:
Дано утверждение
если A, то B.
Вопрос:
- как узнать, истинно оно или ложно? Как эта задача решается в общем случае? Как истинность этого высказывания сводится к истинности и, возможно, другим строгим параметрам высказываний A и B?
Первые попытки разгадать загадку восходят еще к Аристотелю. Он загадку решил, но увы – только для некоторых частных случаев. Эти частные случаи были сведены в единую формальную систему, известную как “силлогистика Аристотеля”. Ее до сих пор применяют некоторые недогуманитарии – философы и юристы.
В 19-м веке математики предложили формализовать таблицей истинности:
X Y если X, то Y.
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Эту операцию обозначили как X => Y. Ее называют материальной импликацией (material implication). Но недолго радовались.
Начиналось все с того, что был обнаружен парадокс "из лжи следует все". Не знаю, когда и кем, но вот так. Между тем в нормальных рассуждениях из лжи мы не можем вывести все, что угодно. Если у нас есть ложное высказывание X, то мы можем взять истинное ~X и вывести из него что-нибудь вполне строго. Что-нибудь, но вовсе не все.
Нетрудно увидеть и второй парадокс, менее раздражающий, что истина следует из всего. X => true. Хоть он и менее раздражающий, но это такая же задница, т.к. стоит применить обращение ~true => ~X и получаем приснопамятный "из лжи следует все".
Есть парадоксы из разряда: если трава зеленая, то вода мокрая - два бессвязных истинных высказывания (или два бессвязных ложных).
Далее, есть такая "бяка", как (X => Y) \/ (Y => Z). Это высказывание истинно вообще всегда. Но вместо X, Y, Z мы можем подставить совершенно произвольные утверждения, которые вообще никак не связаны между собой, то есть абсолютно никак. Подставив, мы получим, что: хотя бы одна из двух импликаций истинна. То есть, что истинно некое совершенно произвольное X => Y либо некое совершенно произвольное Y => Z, либо оба сразу. Согласитесь, но это совершенно против любой интуиции, что одно из двух почти совершенно отфонарных "если" всегда истинно.
Тогда предложили "модальную логику". Вообще говоря, ее первый вариант предлагал еще Аристотель, но в данном случае один из вариантов модальной логики предложили именно как панацею от этих парадоксов.
Модальная логика вводит две операции: "возможно" и "обязательно". Более распространен вариант "возможно" и "необходимо", но мне в лом объяснять непосвященным, что такое "необходимо".
И вот в модальной логике ввели новую импликацию, которую назвали "строгой" (strict) или модальной импликацией. Формула для нее:
X
Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( X => Y )
Утверждалось, что модальная импликация (обозначаемая значком) - это та самая желанная формализация. Дескать, тут парадокса из-лжи-следует-все уже нет.
Чтобы пояснить, как происходит избавление от парадокса, придется сказать о концепции "возможных миров". Пусть мы рассматриваем разные фантастические миры, в некоторых из них вода мокрая, а в других нет, в некоторых трава зеленая, а в других нет. Операция ОБЯЗАТЕЛЬНО означает, что какое-то утверждение верно во всех мирах.
Теперь уже не напишешь, что "если вода мокрая, то трава зеленая". Ведь мы можем вообразить себе мир, где вода мокрая, а трава красная. И все, получаем для этого мира true => false = false.
Казалось бы, решение, но вот хрен. А какие миры считать "возможными"? Насколько далеко может заходить фантазия? Например, представить себе сухую воду уже довольно трудно. Иногда утверждается, что "возможными" надо считать только миры, где верны те же математические законы, что и в нашем. Но тогда сразу, что называется "приехали":
(X & ~X) Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( (X & ~X) => Y ) = false
То есть, из противоречия следует все. То из лжи следовало все, а теперь из противоречия следует все. Опять же, в логике мы иногда приходим во время рассуждений к противоречиям, но никогда не выводим из этого "все".
Потом появилась релевантная импликация - в рамках релевантной логики. Я как то переводил статью о релевантной логике из стэнфордской энциклопедии. Перевод лежит здесь:
http://psi-logic.shadanakar.org/psi/rele.htm
Что предлагали эти господа?
Приверженцы релевантной логики заявляют, что несоответствие в этих так называемых парадоксах возникает из-за того, что посылка никак не относится к заключению. И они заявляют: модальная импликация - это только необходимое условие "если-то", но не достаточное. Нужна еще некая мистическая "релевантность".
Я говорю "мистическая" потому, что дальше начинаются мрачные философские нагромождения, изрядно разбавленные математикой (да, это только "у нас" философы 2+2 сложить не могут, "у них" философы учат математику). В конце концов ни один из них не дает сколько-нибудь определенного ответа, как все-таки разгадать загадку - вместо этого они погрязают в каких-то сложностях типа того, что начинают рассматривать тройки миров или углубляться в теорию информации. Но извините, оборот "если-то" может корректно употреблять даже полуграмотная старушка, так что решение обязано быть простым!
Кажется, после всех этих перипетий математики (особенно эдакие “пуристы”) стараются вообще отгородиться от проблемы, сделать вид, что ее не существует. Если вы скажете о парадоксах материальной импликации математику-профи, то с большой вероятностью получите ответ, что нет таких парадоксов. Они имеют в виду, что парадокс – это противоречие, а ВНУТРИ математической логики противоречий нет. Есть несоответствие между свойствами материальной импликации и свойствами если-то.
Но проблема то от этого никуда не девается – разгадать то загадку все равно хочется. Хотя бы для того, чтобы можно было в реальной жизни доказывать всякие “если-то”, не полагаясь в некоторой степени (пусть даже очень небольшой) на интуицию.
Так как пост получился длинный, я сразу скажу “квинтэссенцию”, и вы поймете, интересно ли вам узнать, почему именно так.
Вот квинтэссенция:
До сих пор ни математики, ни лингвисты не могут разгадать загадку одного простого слова: “если”.
Под разгадкой я понимаю строгую формализацию хотя бы на том уровне, как сделано для союза “и” через конъюнкцию. Вопрос состоит в следующем:
Дано утверждение
если A, то B.
Вопрос:
- как узнать, истинно оно или ложно? Как эта задача решается в общем случае? Как истинность этого высказывания сводится к истинности и, возможно, другим строгим параметрам высказываний A и B?
Первые попытки разгадать загадку восходят еще к Аристотелю. Он загадку решил, но увы – только для некоторых частных случаев. Эти частные случаи были сведены в единую формальную систему, известную как “силлогистика Аристотеля”. Ее до сих пор применяют некоторые недогуманитарии – философы и юристы.
В 19-м веке математики предложили формализовать таблицей истинности:
X Y если X, то Y.
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Эту операцию обозначили как X => Y. Ее называют материальной импликацией (material implication). Но недолго радовались.
Начиналось все с того, что был обнаружен парадокс "из лжи следует все". Не знаю, когда и кем, но вот так. Между тем в нормальных рассуждениях из лжи мы не можем вывести все, что угодно. Если у нас есть ложное высказывание X, то мы можем взять истинное ~X и вывести из него что-нибудь вполне строго. Что-нибудь, но вовсе не все.
Нетрудно увидеть и второй парадокс, менее раздражающий, что истина следует из всего. X => true. Хоть он и менее раздражающий, но это такая же задница, т.к. стоит применить обращение ~true => ~X и получаем приснопамятный "из лжи следует все".
Есть парадоксы из разряда: если трава зеленая, то вода мокрая - два бессвязных истинных высказывания (или два бессвязных ложных).
Далее, есть такая "бяка", как (X => Y) \/ (Y => Z). Это высказывание истинно вообще всегда. Но вместо X, Y, Z мы можем подставить совершенно произвольные утверждения, которые вообще никак не связаны между собой, то есть абсолютно никак. Подставив, мы получим, что: хотя бы одна из двух импликаций истинна. То есть, что истинно некое совершенно произвольное X => Y либо некое совершенно произвольное Y => Z, либо оба сразу. Согласитесь, но это совершенно против любой интуиции, что одно из двух почти совершенно отфонарных "если" всегда истинно.
Тогда предложили "модальную логику". Вообще говоря, ее первый вариант предлагал еще Аристотель, но в данном случае один из вариантов модальной логики предложили именно как панацею от этих парадоксов.
Модальная логика вводит две операции: "возможно" и "обязательно". Более распространен вариант "возможно" и "необходимо", но мне в лом объяснять непосвященным, что такое "необходимо".
И вот в модальной логике ввели новую импликацию, которую назвали "строгой" (strict) или модальной импликацией. Формула для нее:
X
Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( X => Y )Утверждалось, что модальная импликация (обозначаемая значком
) - это та самая желанная формализация. Дескать, тут парадокса из-лжи-следует-все уже нет.Чтобы пояснить, как происходит избавление от парадокса, придется сказать о концепции "возможных миров". Пусть мы рассматриваем разные фантастические миры, в некоторых из них вода мокрая, а в других нет, в некоторых трава зеленая, а в других нет. Операция ОБЯЗАТЕЛЬНО означает, что какое-то утверждение верно во всех мирах.
Теперь уже не напишешь, что "если вода мокрая, то трава зеленая". Ведь мы можем вообразить себе мир, где вода мокрая, а трава красная. И все, получаем для этого мира true => false = false.
Казалось бы, решение, но вот хрен. А какие миры считать "возможными"? Насколько далеко может заходить фантазия? Например, представить себе сухую воду уже довольно трудно. Иногда утверждается, что "возможными" надо считать только миры, где верны те же математические законы, что и в нашем. Но тогда сразу, что называется "приехали":
(X & ~X)
Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( (X & ~X) => Y ) = falseТо есть, из противоречия следует все. То из лжи следовало все, а теперь из противоречия следует все. Опять же, в логике мы иногда приходим во время рассуждений к противоречиям, но никогда не выводим из этого "все".
Потом появилась релевантная импликация - в рамках релевантной логики. Я как то переводил статью о релевантной логике из стэнфордской энциклопедии. Перевод лежит здесь:
http://psi-logic.shadanakar.org/psi/rele.htm
Что предлагали эти господа?
Приверженцы релевантной логики заявляют, что несоответствие в этих так называемых парадоксах возникает из-за того, что посылка никак не относится к заключению. И они заявляют: модальная импликация - это только необходимое условие "если-то", но не достаточное. Нужна еще некая мистическая "релевантность".
Я говорю "мистическая" потому, что дальше начинаются мрачные философские нагромождения, изрядно разбавленные математикой (да, это только "у нас" философы 2+2 сложить не могут, "у них" философы учат математику). В конце концов ни один из них не дает сколько-нибудь определенного ответа, как все-таки разгадать загадку - вместо этого они погрязают в каких-то сложностях типа того, что начинают рассматривать тройки миров или углубляться в теорию информации. Но извините, оборот "если-то" может корректно употреблять даже полуграмотная старушка, так что решение обязано быть простым!
Кажется, после всех этих перипетий математики (особенно эдакие “пуристы”) стараются вообще отгородиться от проблемы, сделать вид, что ее не существует. Если вы скажете о парадоксах материальной импликации математику-профи, то с большой вероятностью получите ответ, что нет таких парадоксов. Они имеют в виду, что парадокс – это противоречие, а ВНУТРИ математической логики противоречий нет. Есть несоответствие между свойствами материальной импликации и свойствами если-то.
Но проблема то от этого никуда не девается – разгадать то загадку все равно хочется. Хотя бы для того, чтобы можно было в реальной жизни доказывать всякие “если-то”, не полагаясь в некоторой степени (пусть даже очень небольшой) на интуицию.
Re: сказочный свет
Да тем же, чем и всех прочих, кто говорил о парадоксах материальной импликации - тем, что такое представление не соответсвует свойствам бытовой импликации. А это влечет за собой практические трудности, когда работаем именно с бытовой импликацией.
Приведу еще один пример. Пускай математик пытается доказать какую-то теорему. Только не в области матлогики, а, скажем, в матане. В какой-то момент он говорит: допустим, что A, B, C - т.е. вводит гипотезы. Потом рассуждает дальше - бла бла бла... - строго математически. И вдруг - бац, приходит к противоречию X & ~X. Противоречие - это и ложь тоже.
И что он делает дальше? Радостно рассуждает дальше, дескать, о! из лжи следует все (или из противоречия следует все), а значит и теорема моя доказана, и зарплату мне надо прибавить, и сам я - Наполеон. Нет, математик так НЕ делает, он не пытается выводить из лжи (или из противоречия) все. Вместо этого он из противоречия выодит нечто гораздо более скромное - тот факт, что исходные посылки неверны, а значит ~(A & B & C).
А в жизни - так же. Придя к противоречию или к пониманию, что некое высказывание ложно, люди не пытаются выводить из этого все, но вполне могут вывести что-то конкретное.
Так понятно?
Могу еще так сказать. Мне нужна математическая модель для языковой практики использования слова "если", модель человеческого поведения, психологическая естественнонаучная модель. Материальная импликация меня как мат.модель этого явления не устраивает, так как она ведет себя иначе, не "сходится с экспериментом". Не всегда, но иногда, а надо, чтобы всегда. Ну не знаю, как ЕЩЕ объяснить :)
[ И Вы никак не прореагировали на мои замечания Выше. Я сделал различие между "ложью" и "ложностью". ]
Я вообще не знаю такого слова "ложность" - по крайней мере в логике. Истинность знаю, ложь знаю, ложности не знаю. В том примере было опровергнуто некое утверждение, доказано, что оно - ложь или что у него истинность равна "лжи".