Парадоксы материальной импликации

[psilogic]

Последние главы "логики для чайников" вновь подняли вопрос насчет материальной импликации. Чтобы не объяснять каждому одно и то же, я решил написать этот пост.

Так как пост получился длинный, я сразу скажу “квинтэссенцию”, и вы поймете, интересно ли вам узнать, почему именно так.

Вот квинтэссенция:

До сих пор ни математики, ни лингвисты не могут разгадать загадку одного простого слова: “если”.


Под разгадкой я понимаю строгую формализацию хотя бы на том уровне, как сделано для союза “и” через конъюнкцию. Вопрос состоит в следующем:

Дано утверждение

если A, то B.

Вопрос:

- как узнать, истинно оно или ложно? Как эта задача решается в общем случае? Как истинность этого высказывания сводится к истинности и, возможно, другим строгим параметрам высказываний A и B?

Первые попытки разгадать загадку восходят еще к Аристотелю. Он загадку решил, но увы – только для некоторых частных случаев. Эти частные случаи были сведены в единую формальную систему, известную как “силлогистика Аристотеля”. Ее до сих пор применяют некоторые недогуманитарии – философы и юристы.

В 19-м веке математики предложили формализовать таблицей истинности:
X Y если X, то Y.
0 0   1
0 1   1
1 0   0
1 1   1
Эту операцию обозначили как X => Y. Ее называют материальной импликацией (material implication). Но недолго радовались.

Начиналось все с того, что был обнаружен парадокс "из лжи следует все". Не знаю, когда и кем, но вот так. Между тем в нормальных рассуждениях из лжи мы не можем вывести все, что угодно. Если у нас есть ложное высказывание X, то мы можем взять истинное ~X и вывести из него что-нибудь вполне строго. Что-нибудь, но вовсе не все.

Нетрудно увидеть и второй парадокс, менее раздражающий, что истина следует из всего. X => true. Хоть он и менее раздражающий, но это такая же задница, т.к. стоит применить обращение ~true => ~X и получаем приснопамятный "из лжи следует все".

Есть парадоксы из разряда: если трава зеленая, то вода мокрая - два бессвязных истинных высказывания (или два бессвязных ложных).

Далее, есть такая "бяка", как (X => Y) \/ (Y => Z). Это высказывание истинно вообще всегда. Но вместо X, Y, Z мы можем подставить совершенно произвольные утверждения, которые вообще никак не связаны между собой, то есть абсолютно никак. Подставив, мы получим, что: хотя бы одна из двух импликаций истинна. То есть, что истинно некое совершенно произвольное X => Y либо некое совершенно произвольное Y => Z, либо оба сразу. Согласитесь, но это совершенно против любой интуиции, что одно из двух почти совершенно отфонарных "если" всегда истинно.

Тогда предложили "модальную логику". Вообще говоря, ее первый вариант предлагал еще Аристотель, но в данном случае один из вариантов модальной логики предложили именно как панацею от этих парадоксов.

Модальная логика вводит две операции: "возможно" и "обязательно". Более распространен вариант "возможно" и "необходимо", но мне в лом объяснять непосвященным, что такое "необходимо".

И вот в модальной логике ввели новую импликацию, которую назвали "строгой" (strict) или модальной импликацией. Формула для нее:

X Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( X => Y )

Утверждалось, что модальная импликация (обозначаемая значком ) - это та самая желанная формализация. Дескать, тут парадокса из-лжи-следует-все уже нет.

Чтобы пояснить, как происходит избавление от парадокса, придется сказать о концепции "возможных миров". Пусть мы рассматриваем разные фантастические миры, в некоторых из них вода мокрая, а в других нет, в некоторых трава зеленая, а в других нет. Операция ОБЯЗАТЕЛЬНО означает, что какое-то утверждение верно во всех мирах.

Теперь уже не напишешь, что "если вода мокрая, то трава зеленая". Ведь мы можем вообразить себе мир, где вода мокрая, а трава красная. И все, получаем для этого мира true => false = false.

Казалось бы, решение, но вот хрен. А какие миры считать "возможными"? Насколько далеко может заходить фантазия? Например, представить себе сухую воду уже довольно трудно. Иногда утверждается, что "возможными" надо считать только миры, где верны те же математические законы, что и в нашем. Но тогда сразу, что называется "приехали":

(X & ~X) Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( (X & ~X) => Y ) = false

То есть, из противоречия следует все. То из лжи следовало все, а теперь из противоречия следует все. Опять же, в логике мы иногда приходим во время рассуждений к противоречиям, но никогда не выводим из этого "все".

Потом появилась релевантная импликация - в рамках релевантной логики. Я как то переводил статью о релевантной логике из стэнфордской энциклопедии. Перевод лежит здесь:
http://psi-logic.shadanakar.org/psi/rele.htm

Что предлагали эти господа?

Приверженцы релевантной логики заявляют, что несоответствие в этих так называемых парадоксах возникает из-за того, что посылка никак не относится к заключению. И они заявляют: модальная импликация - это только необходимое условие "если-то", но не достаточное. Нужна еще некая мистическая "релевантность".

Я говорю "мистическая" потому, что дальше начинаются мрачные философские нагромождения, изрядно разбавленные математикой (да, это только "у нас" философы 2+2 сложить не могут, "у них" философы учат математику). В конце концов ни один из них не дает сколько-нибудь определенного ответа, как все-таки разгадать загадку - вместо этого они погрязают в каких-то сложностях типа того, что начинают рассматривать тройки миров или углубляться в теорию информации. Но извините, оборот "если-то" может корректно употреблять даже полуграмотная старушка, так что решение обязано быть простым!

Кажется, после всех этих перипетий математики (особенно эдакие “пуристы”) стараются вообще отгородиться от проблемы, сделать вид, что ее не существует. Если вы скажете о парадоксах материальной импликации математику-профи, то с большой вероятностью получите ответ, что нет таких парадоксов. Они имеют в виду, что парадокс – это противоречие, а ВНУТРИ математической логики противоречий нет. Есть несоответствие между свойствами материальной импликации и свойствами если-то.

Но проблема то от этого никуда не девается – разгадать то загадку все равно хочется. Хотя бы для того, чтобы можно было в реальной жизни доказывать всякие “если-то”, не полагаясь в некоторой степени (пусть даже очень небольшой) на интуицию.

Comments

[alexlotov.livejournal.com]

5.1. Проблема Другого
5.2. Проблема универсалий
5.3. Психофизическая проблема
5.4. Парадокс Мура
5.5. Проблема Геттиэра
5.6. Проблема Молиньё
5.7. Пирроновский регресс в познании
5.8. Восприятие цвета
5.9. Контрафактические суждения
5.10. Материальная импликация
5.11. Счастливая случайность
5.12. Проблема зла
5.13. Дилемма Евтифрона
5.14. Проблема демаркации
5.15. Эссенциализм в эстетике
5.16. Средство есть сообщение
5.17. Что является произведением искусства?
5.18. Искусственный интеллект
5.19. Сущность и статус математических объектов

Все я нашел, но про это ничего неизвестно, если поди только не прочитать какой-нибудь узкий трактат:

Проблема Молиньё
Пирроновский регресс в познании

Предположу, что тут давно нет уже никаких проблем.

Материальная импликация (вариант решения)

[alexlotov.livejournal.com]

Истинно или ложно утверждение: Если A, то B.

Мир один, целостен, непротиворечив по всем вложенным друг в друга своим объектам. Вне Мира – тот же Мир. §3.19.

Материя Мира есть поток математических моделей или любая изоморфная ему сущность. §3.4.

Движение материи есть движение информации §3.5.

Любая теорема в математике верна в строго заданной области определения, в некотором объекте Мира.

На любое утверждение можно смотреть как на теорему.

Таким образом, если мы получаем противоречие, то это просто означает, что неверна посылка для вывода и мы взводим флажок «Ложь», хотя могли бы взвести флажок «Истина», если не боимся ничего перепутать.

Из Лжи следует не что угодно, а вполне определенный список возможностей, существующих в рассматриваемой области определения.

Если мы посмотрим на логику работы любой компьютерной программы, то мы легко увидим, что у программистов нет никаких проблем ни с Ложью, ни с Истиной. Вычисляется значение логического выражения и в зависимости от результата управление передается на ту или иную ветку кода программы.

Таким образом, в компьютерной программе из Лжи следует выполнение одной единственной и вполне конкретной ветки программы, а из Лжи следует выполнение другой одной единственной и так же вполне конкретной ветки программы.

Этот пример необходимо распространить на любой целостный объект Мира – любой объект Мира развивается по вполне определенным законам. И если мы написали, что из А следует Б, то это просто означает, что во вполне конкретно определенном классе однотипных объектов при определенных условиях объект переходит из одного определенного состояния в другое определенное состояние. И если первое состояние объекта содержит структуру А, то второе состояние объекта будет содержать структуру Б. Вот и все.

---

txt: http://zhurnal.lib.ru/editors/l/lotow_a_a/paradigma.shtml (http://zhurnal.lib.ru/editors/l/lotow_a_a/paradigma.shtml)  
word: http://www.scribd.com/doc/14619237/ (http://www.scribd.com/doc/14619237/)-
referat: http://5ballov.ru/referats/preview/94896/ (http://5ballov.ru/referats/preview/94896/)

[psilogic.livejournal.com]

Переход if... then ... else, а также оператор (x ? y : z) в компьютерных программах не являются условным высказыванием, это ветвления. Сходная конструкция в естественном языке - это приказ - побудительное, а не повествовательное предложение. "Если ... то делай ... это".

В программировании высказывания применяются, например, внутри условий и циклов::

if (..здесь могло бы быть условное высказывание..)
while(..здесь могло бы быть условное высказывание..)

Но уверяю вас, ничего похожего на операцию => там не применяется. Если встречаются эквивалентные конструкции вида (не-x или y), то по смыслу они подразумевают именно "не-x или y", а не "если x, то y".

ничего похожего на операцию => там не применяется

[alexlotov.livejournal.com]

Совершенно верно.

Так и в любом случае мы имеем некоторую математическую модель с уже предустановленными начальными параметрами, в которой можно запустить время или последовательно увеличивать значение параметра
и смотреть, что у нас получится.

В силу того, что сама видимая вселенная внутренне-непротиворечива (все электроны абсолютно одинаковы, поэтому мы и можем говорить о заряде электрона) и само здание математики так же внутренне-непротиворечиво,
то у нас возникает иллюзия, что мы можем всегда и везде просто писать (А=>B), НО ЭТО НЕ ТАК!)))

Это так только в простых случаях, в которых мы уже убедились и доказали, что это так.

Точно так же надо убеждаться и доказывать для всех других случаев, предварительно точно задав область определения для наших конкретных манипуляций.

В большинстве простых случаев мы имеем жесткую конструкцию, для которой предусмотрена некоторая свобода. В рамках ее состояний мы и можем видеть, что если конструкция находится в состоянии А, то следующим шагом она перейдет в состяние Б.

А то, о чем Вы думаете, когда пишите о трудности вывода =>, требует точного определения и задания области определения. Тогда все просто. А все остальное, естественно, неопределено.

Так в чем вопрос?

Что философы не хотят расставаться со своей любимой игрушкой? Это их проблемы.

Но если это так, зачем нам нужны эти бесполезные философы?)

[psilogic.livejournal.com]

"проблема Молине: способен ли слепой от рождения отличить одну видимую
форму от другой"

В общем, хуйня :)

[alexlotov.livejournal.com]

Спасибо, так я и думал))

Конечно может отличить, если ему как-то протранслировать описание одного объекта и другого. В результате он создаст модель одного объекта и другого. А уж сравнить их - дело техники.

[psilogic.livejournal.com]

Да, "проблема" элементарная.

Правда, есть другой вариант проблемы Молине

[alexlotov.livejournal.com]

Как соотнести между собой провидение Бога, как знания всех возможных исходов и событий, и существование свободной воли у человека.
http://community.livejournal.com/ru_antireligion/3199589.html?thread=69451365

[psilogic.livejournal.com]

Мне кажется, это надо соотнести как два хвастливых заявления служителей данного культа. Первое заявление противоречит само себе, на его основе легко строятся парадоксы ("знает ли Бог то, событие, которое он не знает" и т.п.)

Эти два заявления могли бы противоречить друг другу, если бы понятие "свободы воли" было четко определено, но, как правило, адепты "свободной воли" четких определений избегают.

[alexlotov.livejournal.com]

Думаю, тут дело воообще все просто.

Например, я выращиваю кроликов. Много и давно. Я все знаю про них. Что нужно, чтобы они размножались, были здоровы и сыты. Очевидно, я полностью контролирую кроликов, но если дело у меня налажено, то я просто убираю за ними, даю воды, еды, прививки и что там еще им нужно для счастья... Кролик, конечно, только может догадываться об этом в свободное от секса, еды и сна время))

Но растет то он сам, как и сам делает все остальное.

Точно так же дело обстоит с человеком и высокоразвитой внеземной цивилизацией, которая может присматривать за нами от скуки. Но любой контакт человека с представителями этой цивилизации воспринимался им как контакт с Богом.

В принципе, Бога и можно определить как предел развития всех живых цивилизаций - самую сложную сущность Мира...

[psilogic.livejournal.com]

Да, контакты с более высокоразвитыми существами не просто могли бы восприниматься как котнакты с божествами, но (как известно из истории) так и воспринимались - скажем, когда европейцы появлялись среди дикарей.

Если есть предел развития всех живых цивилизаций, тогда он не может быть самой сложной сущностью мира. Потому, что при добавлении к нему всех остальных цивилизаций и остального мира получается еще более сложная сущность. Вы плюс кролики - это более сложная система, чем вы без кроликов :))

Все верно))

[alexlotov.livejournal.com]

При добавлении к бесконечной сущности -
оставляет ее бесконечной.
И можно говорить, что Предел по этому параметру достигнут))

[psilogic.livejournal.com]

Бесконечности бывают разные, бывают бесконечности более и менее высокого порядка. См. понятие кардинальных чисел.

+1 кардинальные числа

[alexlotov.livejournal.com]

Мощность всех подмножеств множества
больше на 1 мощности исходного множества
для бесконечных множеств.

Re: +1 кардинальные числа

[psilogic.livejournal.com]

Выходит, если одну бесконечность (скажем, множество натуральных чисел) особым образом обработать другой бесконечностью (схемой построения подмножествами), можно получить еще бОльшую бесконечность ;) Как сюжет к какому-нибудь культу: бог со своими созданиями больше, чем просто бог, а само творение - акт божественного саморазвития ;)))

- акт божественного саморазвития ;)))

[alexlotov.livejournal.com]

Да нам еще далеко и до выхода за пределы Видимой Вселенной и еще дальше - до создания паутины цивилизаций из счетного их числа...

Впереди (случится по расчетам до середины 21 века) - технологическая сингулярность (по видимому, будет создан искусственный разум с феноменом сознания)

Необходимо создать Новую парадигму мировоззрения для успешного прохождения точки технологической сингулярности, как Вы считаете?

[psilogic.livejournal.com]

Да не будет никакой технологической сингулярности - ресурсы то ограничены.

не будет никакой технологической сингулярности

[alexlotov.livejournal.com]

Ресурсы видимой вселенной можно считать бесконечными))

К тому же чем дальше, тем технологии потребляют меньше энергии и элементная база уменьшается в размере.

Ускорение исторического времени (http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/NEWHIST/KAPTIME.HTM) все же имеет место быть, - С.П. Капица, А.В. Подлазов, А.Д. Панов, Владимир Кишинец

[psilogic.livejournal.com]

несмотря на весь авторитет господина Капицы, приходится заметить, что речь в данном случае идет не о точной и строгой науке физике, а о зыбкой недонауке социологии, и даже в рамках социологии это - только гипотеза

это - только гипотеза

[alexlotov.livejournal.com]

Всегда есть спектр возможностей, распределенных по нормальному закону.

спектр возможностей

[alexlotov.livejournal.com]

ru_philosophy Формулировки и решение основных проблем философии (http://community.livejournal.com/ru_philosophy/925616.html)

(http://community.livejournal.com/ru_philosophy/925616.html?thread=20844720#t20844720)

Re: спектр возможностей

[psilogic.livejournal.com]

сейчас посмотрю... если меня там еще не забанили :)

если меня там еще не забанили :)

[alexlotov.livejournal.com]

Для этих целей я создал себе несколько виртуалов. Например, лжеюзер меня забанил, а я могу продолжать комментировать, пока не кончится список моих аккаунтов))

Было бы интересно узнать, какие у Вас возникли мысли, можно же написать хоть куда))

[psilogic.livejournal.com]

Да что-то никаких таких мыслей. Затронутые вами темы, возможно, волнуют философов, но мне как-то не особо интересны :)