![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Парадоксы материальной импликации
Последние главы "логики для чайников" вновь подняли вопрос насчет материальной импликации. Чтобы не объяснять каждому одно и то же, я решил написать этот пост.
Так как пост получился длинный, я сразу скажу “квинтэссенцию”, и вы поймете, интересно ли вам узнать, почему именно так.
Вот квинтэссенция:
До сих пор ни математики, ни лингвисты не могут разгадать загадку одного простого слова: “если”.
Под разгадкой я понимаю строгую формализацию хотя бы на том уровне, как сделано для союза “и” через конъюнкцию. Вопрос состоит в следующем:
Дано утверждение
если A, то B.
Вопрос:
- как узнать, истинно оно или ложно? Как эта задача решается в общем случае? Как истинность этого высказывания сводится к истинности и, возможно, другим строгим параметрам высказываний A и B?
Первые попытки разгадать загадку восходят еще к Аристотелю. Он загадку решил, но увы – только для некоторых частных случаев. Эти частные случаи были сведены в единую формальную систему, известную как “силлогистика Аристотеля”. Ее до сих пор применяют некоторые недогуманитарии – философы и юристы.
В 19-м веке математики предложили формализовать таблицей истинности:
X Y если X, то Y.
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Эту операцию обозначили как X => Y. Ее называют материальной импликацией (material implication). Но недолго радовались.
Начиналось все с того, что был обнаружен парадокс "из лжи следует все". Не знаю, когда и кем, но вот так. Между тем в нормальных рассуждениях из лжи мы не можем вывести все, что угодно. Если у нас есть ложное высказывание X, то мы можем взять истинное ~X и вывести из него что-нибудь вполне строго. Что-нибудь, но вовсе не все.
Нетрудно увидеть и второй парадокс, менее раздражающий, что истина следует из всего. X => true. Хоть он и менее раздражающий, но это такая же задница, т.к. стоит применить обращение ~true => ~X и получаем приснопамятный "из лжи следует все".
Есть парадоксы из разряда: если трава зеленая, то вода мокрая - два бессвязных истинных высказывания (или два бессвязных ложных).
Далее, есть такая "бяка", как (X => Y) \/ (Y => Z). Это высказывание истинно вообще всегда. Но вместо X, Y, Z мы можем подставить совершенно произвольные утверждения, которые вообще никак не связаны между собой, то есть абсолютно никак. Подставив, мы получим, что: хотя бы одна из двух импликаций истинна. То есть, что истинно некое совершенно произвольное X => Y либо некое совершенно произвольное Y => Z, либо оба сразу. Согласитесь, но это совершенно против любой интуиции, что одно из двух почти совершенно отфонарных "если" всегда истинно.
Тогда предложили "модальную логику". Вообще говоря, ее первый вариант предлагал еще Аристотель, но в данном случае один из вариантов модальной логики предложили именно как панацею от этих парадоксов.
Модальная логика вводит две операции: "возможно" и "обязательно". Более распространен вариант "возможно" и "необходимо", но мне в лом объяснять непосвященным, что такое "необходимо".
И вот в модальной логике ввели новую импликацию, которую назвали "строгой" (strict) или модальной импликацией. Формула для нее:
X
Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( X => Y )
Утверждалось, что модальная импликация (обозначаемая значком) - это та самая желанная формализация. Дескать, тут парадокса из-лжи-следует-все уже нет.
Чтобы пояснить, как происходит избавление от парадокса, придется сказать о концепции "возможных миров". Пусть мы рассматриваем разные фантастические миры, в некоторых из них вода мокрая, а в других нет, в некоторых трава зеленая, а в других нет. Операция ОБЯЗАТЕЛЬНО означает, что какое-то утверждение верно во всех мирах.
Теперь уже не напишешь, что "если вода мокрая, то трава зеленая". Ведь мы можем вообразить себе мир, где вода мокрая, а трава красная. И все, получаем для этого мира true => false = false.
Казалось бы, решение, но вот хрен. А какие миры считать "возможными"? Насколько далеко может заходить фантазия? Например, представить себе сухую воду уже довольно трудно. Иногда утверждается, что "возможными" надо считать только миры, где верны те же математические законы, что и в нашем. Но тогда сразу, что называется "приехали":
(X & ~X) Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( (X & ~X) => Y ) = false
То есть, из противоречия следует все. То из лжи следовало все, а теперь из противоречия следует все. Опять же, в логике мы иногда приходим во время рассуждений к противоречиям, но никогда не выводим из этого "все".
Потом появилась релевантная импликация - в рамках релевантной логики. Я как то переводил статью о релевантной логике из стэнфордской энциклопедии. Перевод лежит здесь:
http://psi-logic.shadanakar.org/psi/rele.htm
Что предлагали эти господа?
Приверженцы релевантной логики заявляют, что несоответствие в этих так называемых парадоксах возникает из-за того, что посылка никак не относится к заключению. И они заявляют: модальная импликация - это только необходимое условие "если-то", но не достаточное. Нужна еще некая мистическая "релевантность".
Я говорю "мистическая" потому, что дальше начинаются мрачные философские нагромождения, изрядно разбавленные математикой (да, это только "у нас" философы 2+2 сложить не могут, "у них" философы учат математику). В конце концов ни один из них не дает сколько-нибудь определенного ответа, как все-таки разгадать загадку - вместо этого они погрязают в каких-то сложностях типа того, что начинают рассматривать тройки миров или углубляться в теорию информации. Но извините, оборот "если-то" может корректно употреблять даже полуграмотная старушка, так что решение обязано быть простым!
Кажется, после всех этих перипетий математики (особенно эдакие “пуристы”) стараются вообще отгородиться от проблемы, сделать вид, что ее не существует. Если вы скажете о парадоксах материальной импликации математику-профи, то с большой вероятностью получите ответ, что нет таких парадоксов. Они имеют в виду, что парадокс – это противоречие, а ВНУТРИ математической логики противоречий нет. Есть несоответствие между свойствами материальной импликации и свойствами если-то.
Но проблема то от этого никуда не девается – разгадать то загадку все равно хочется. Хотя бы для того, чтобы можно было в реальной жизни доказывать всякие “если-то”, не полагаясь в некоторой степени (пусть даже очень небольшой) на интуицию.
Так как пост получился длинный, я сразу скажу “квинтэссенцию”, и вы поймете, интересно ли вам узнать, почему именно так.
Вот квинтэссенция:
До сих пор ни математики, ни лингвисты не могут разгадать загадку одного простого слова: “если”.
Под разгадкой я понимаю строгую формализацию хотя бы на том уровне, как сделано для союза “и” через конъюнкцию. Вопрос состоит в следующем:
Дано утверждение
если A, то B.
Вопрос:
- как узнать, истинно оно или ложно? Как эта задача решается в общем случае? Как истинность этого высказывания сводится к истинности и, возможно, другим строгим параметрам высказываний A и B?
Первые попытки разгадать загадку восходят еще к Аристотелю. Он загадку решил, но увы – только для некоторых частных случаев. Эти частные случаи были сведены в единую формальную систему, известную как “силлогистика Аристотеля”. Ее до сих пор применяют некоторые недогуманитарии – философы и юристы.
В 19-м веке математики предложили формализовать таблицей истинности:
X Y если X, то Y.
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Эту операцию обозначили как X => Y. Ее называют материальной импликацией (material implication). Но недолго радовались.
Начиналось все с того, что был обнаружен парадокс "из лжи следует все". Не знаю, когда и кем, но вот так. Между тем в нормальных рассуждениях из лжи мы не можем вывести все, что угодно. Если у нас есть ложное высказывание X, то мы можем взять истинное ~X и вывести из него что-нибудь вполне строго. Что-нибудь, но вовсе не все.
Нетрудно увидеть и второй парадокс, менее раздражающий, что истина следует из всего. X => true. Хоть он и менее раздражающий, но это такая же задница, т.к. стоит применить обращение ~true => ~X и получаем приснопамятный "из лжи следует все".
Есть парадоксы из разряда: если трава зеленая, то вода мокрая - два бессвязных истинных высказывания (или два бессвязных ложных).
Далее, есть такая "бяка", как (X => Y) \/ (Y => Z). Это высказывание истинно вообще всегда. Но вместо X, Y, Z мы можем подставить совершенно произвольные утверждения, которые вообще никак не связаны между собой, то есть абсолютно никак. Подставив, мы получим, что: хотя бы одна из двух импликаций истинна. То есть, что истинно некое совершенно произвольное X => Y либо некое совершенно произвольное Y => Z, либо оба сразу. Согласитесь, но это совершенно против любой интуиции, что одно из двух почти совершенно отфонарных "если" всегда истинно.
Тогда предложили "модальную логику". Вообще говоря, ее первый вариант предлагал еще Аристотель, но в данном случае один из вариантов модальной логики предложили именно как панацею от этих парадоксов.
Модальная логика вводит две операции: "возможно" и "обязательно". Более распространен вариант "возможно" и "необходимо", но мне в лом объяснять непосвященным, что такое "необходимо".
И вот в модальной логике ввели новую импликацию, которую назвали "строгой" (strict) или модальной импликацией. Формула для нее:
X
Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( X => Y )Утверждалось, что модальная импликация (обозначаемая значком
) - это та самая желанная формализация. Дескать, тут парадокса из-лжи-следует-все уже нет.Чтобы пояснить, как происходит избавление от парадокса, придется сказать о концепции "возможных миров". Пусть мы рассматриваем разные фантастические миры, в некоторых из них вода мокрая, а в других нет, в некоторых трава зеленая, а в других нет. Операция ОБЯЗАТЕЛЬНО означает, что какое-то утверждение верно во всех мирах.
Теперь уже не напишешь, что "если вода мокрая, то трава зеленая". Ведь мы можем вообразить себе мир, где вода мокрая, а трава красная. И все, получаем для этого мира true => false = false.
Казалось бы, решение, но вот хрен. А какие миры считать "возможными"? Насколько далеко может заходить фантазия? Например, представить себе сухую воду уже довольно трудно. Иногда утверждается, что "возможными" надо считать только миры, где верны те же математические законы, что и в нашем. Но тогда сразу, что называется "приехали":
(X & ~X)
Y = ОБЯЗАТЕЛЬНО( (X & ~X) => Y ) = falseТо есть, из противоречия следует все. То из лжи следовало все, а теперь из противоречия следует все. Опять же, в логике мы иногда приходим во время рассуждений к противоречиям, но никогда не выводим из этого "все".
Потом появилась релевантная импликация - в рамках релевантной логики. Я как то переводил статью о релевантной логике из стэнфордской энциклопедии. Перевод лежит здесь:
http://psi-logic.shadanakar.org/psi/rele.htm
Что предлагали эти господа?
Приверженцы релевантной логики заявляют, что несоответствие в этих так называемых парадоксах возникает из-за того, что посылка никак не относится к заключению. И они заявляют: модальная импликация - это только необходимое условие "если-то", но не достаточное. Нужна еще некая мистическая "релевантность".
Я говорю "мистическая" потому, что дальше начинаются мрачные философские нагромождения, изрядно разбавленные математикой (да, это только "у нас" философы 2+2 сложить не могут, "у них" философы учат математику). В конце концов ни один из них не дает сколько-нибудь определенного ответа, как все-таки разгадать загадку - вместо этого они погрязают в каких-то сложностях типа того, что начинают рассматривать тройки миров или углубляться в теорию информации. Но извините, оборот "если-то" может корректно употреблять даже полуграмотная старушка, так что решение обязано быть простым!
Кажется, после всех этих перипетий математики (особенно эдакие “пуристы”) стараются вообще отгородиться от проблемы, сделать вид, что ее не существует. Если вы скажете о парадоксах материальной импликации математику-профи, то с большой вероятностью получите ответ, что нет таких парадоксов. Они имеют в виду, что парадокс – это противоречие, а ВНУТРИ математической логики противоречий нет. Есть несоответствие между свойствами материальной импликации и свойствами если-то.
Но проблема то от этого никуда не девается – разгадать то загадку все равно хочется. Хотя бы для того, чтобы можно было в реальной жизни доказывать всякие “если-то”, не полагаясь в некоторой степени (пусть даже очень небольшой) на интуицию.
no subject
Эти два заявления могли бы противоречить друг другу, если бы понятие "свободы воли" было четко определено, но, как правило, адепты "свободной воли" четких определений избегают.
no subject
Например, я выращиваю кроликов. Много и давно. Я все знаю про них. Что нужно, чтобы они размножались, были здоровы и сыты. Очевидно, я полностью контролирую кроликов, но если дело у меня налажено, то я просто убираю за ними, даю воды, еды, прививки и что там еще им нужно для счастья... Кролик, конечно, только может догадываться об этом в свободное от секса, еды и сна время))
Но растет то он сам, как и сам делает все остальное.
Точно так же дело обстоит с человеком и высокоразвитой внеземной цивилизацией, которая может присматривать за нами от скуки. Но любой контакт человека с представителями этой цивилизации воспринимался им как контакт с Богом.
В принципе, Бога и можно определить как предел развития всех живых цивилизаций - самую сложную сущность Мира...
no subject
Если есть предел развития всех живых цивилизаций, тогда он не может быть самой сложной сущностью мира. Потому, что при добавлении к нему всех остальных цивилизаций и остального мира получается еще более сложная сущность. Вы плюс кролики - это более сложная система, чем вы без кроликов :))
Все верно))
оставляет ее бесконечной.
И можно говорить, что Предел по этому параметру достигнут))
no subject
+1 кардинальные числа
больше на 1 мощности исходного множества
для бесконечных множеств.
Re: +1 кардинальные числа
- акт божественного саморазвития ;)))
Впереди (случится по расчетам до середины 21 века) - технологическая сингулярность (по видимому, будет создан искусственный разум с феноменом сознания)
Необходимо создать Новую парадигму мировоззрения для успешного прохождения точки технологической сингулярности, как Вы считаете?
no subject
не будет никакой технологической сингулярности
К тому же чем дальше, тем технологии потребляют меньше энергии и элементная база уменьшается в размере.
Ускорение исторического времени (http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/NEWHIST/KAPTIME.HTM) все же имеет место быть, - С.П. Капица, А.В. Подлазов, А.Д. Панов, Владимир Кишинец
no subject
это - только гипотеза
спектр возможностей
(http://community.livejournal.com/ru_philosophy/925616.html?thread=20844720#t20844720)
Re: спектр возможностей
если меня там еще не забанили :)
Было бы интересно узнать, какие у Вас возникли мысли, можно же написать хоть куда))
no subject