![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Хана импликации :)
На одном форуме нашел очередной "парадокс" импликации. Самый убойный из всех, что я знаю.
Рассмотрим утверждение:
"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"
Это утверждение истинное во всех смыслах: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически всегда стоит пасмурная погода (ну кроме редких случаев "слепого дождика").
Переведем это на язык логики с импликацией. "Неправда, что" переводится операцией отрицания. Все утверждение формализуется как ~(A => B), где
A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.
~(A => B) = true
Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false. Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда. Очевидно, что это противоречит реальности.
Рассмотрим утверждение:
"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"
Это утверждение истинное во всех смыслах: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически всегда стоит пасмурная погода (ну кроме редких случаев "слепого дождика").
Переведем это на язык логики с импликацией. "Неправда, что" переводится операцией отрицания. Все утверждение формализуется как ~(A => B), где
A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.
~(A => B) = true
Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false. Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда. Очевидно, что это противоречит реальности.
no subject
"Для любого фиксированного момента времени" - это все отсебятина.
no subject
no subject
А теперь давайте я попробую описать что тут на самом деле происходит.
Все дело тут в том, что исходная фраза многозначна. То есть, допускает множество различных интерпретаций, которые, перемешиваясь, и образуют путаницу.
Например, вот другая интерпретация: это утверждение, понятое в Вашей формализации, действительно всегда верно по житейской логике, если учесть что в любой момент времени дождь где-нибудь да идет: "если у нас пасмурно, то где-то идет дождь" - очевидно, это всегда верно.
А может быть, имеется в виду небо Парижа и одновременный дождь в Австралии?...
Теперь попробуем формализовать.
Случай первый - утверждение сделано о фиксированном месте и времени, которое всеми подразумевается. Скажем, мы находимся в клубе детективов, где Шерлок Холмс расследует убийство, к месту и времени которого все и относится. Тогда рассмотрим диалог:
Свидетель 1: Если я правильно помню, что погода была пасмурной, то значит шел дождь.
Свидетель 2: Свидетель 1 врет!
Если верить второму свидетелю, то очевидно, что вранье первого он мог заявить только при комбинации пасмурной погоды и отсутствия дождя.
Это как раз случай, рассмотренный выше.
Случай второй. Место и время не фиксированы. Тогда наше утверждение приобретает общий характер, для формальной записи которого нужны кванторы.
Обозначим (место, время) через х, утверждение о пасмурности через А и о дожде через В. Тогда имеем:
~ [ (Для любого)х : А=>B ] = true
Пронося отрицание внутрь, меняется квантор и получается:
[ (Существует)x : A & ~B ] = true
То есть, найдется такое место и время, когда пасмурно и без дождя - как раз контрпример, который и делает утверждение выше истиной. Все правильно и понятно, никакого противоречия.
Случай 3 - фиксированно только время (место) - предлагается читателю в качестве упражнения :)
no subject
Это не отсебятина, а закон логики предикатов. Если нечто доказано для произвольного выбранного x (где x с данном случеа - момент времени и место), то можно поставить квантор всеобщности:
A(x) |- ∀ A(x)
Например см. у falcao
[ А может быть, имеется в виду небо Парижа и одновременный дождь в Австралии?... ]
А может, обойдемся без "различных интерпретаций"? Задачка интересна в первоначальном варианте, условия менять не надо.
[ Если верить второму свидетелю, то очевидно, что вранье первого он мог заявить только при комбинации пасмурной погоды и отсутствия дождя. ]
Нет. Он мог заявить это и без этого. Еще раз: там стоит "ЕСЛИ", а не "И", это разные вещи.
no subject
Во-певых, Вы выводите формулу в заглавном сообщении без кванторов, а затем вдруг начинаете их использовать или неявно подразумевать. Из-за этого Вы смешиваете интерпретации первого и второго случая, из-за чего и вылезает мнимое противоречие.
Вы говорите что предикаты Вам не нужны так как ∀x A(x) |- A(x), но тут Вы делаете неверный вывод. Действительнно, ∀x A(x) |- A(x), но это это если доказано что ∀x A(x) = true, в то время как у нас оно как раз ложь, и избавиться от квантора таким образом нельзя.
А может, обойдемся без "различных интерпретаций"? Задачка интересна в первоначальном варианте, условия менять не надо.
А давайте не давайте. :)
Условий никто не меняет, они просто сформулированы так, что допускают различные понимания, значит мы вольны в выборе.
Нет. Он мог заявить это и без этого.
Ну-ка расскажите-ка как это он мог? :)
Вот именно что из-за того что там ЕСЛИ а не И, он и не мог.
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject