Хана импликации :)

[psilogic]

На одном форуме нашел очередной "парадокс" импликации. Самый убойный из всех, что я знаю.

Рассмотрим утверждение:

"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"

Это утверждение истинное во всех смыслах: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически всегда стоит пасмурная погода (ну кроме редких случаев "слепого дождика").

Переведем это на язык логики с импликацией. "Неправда, что" переводится операцией отрицания. Все утверждение формализуется как ~(A => B), где
A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.

~(A => B) = true

Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false. Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда. Очевидно, что это противоречит реальности.

Comments

[akuzmich.livejournal.com]

Чтобы ставить слово "никогда" не следует ли в первоначальное утверждение вставить слово "всегда"?

[psilogic.livejournal.com]

Исходное утверждение сформулировано для произвольных A и B. Это значит, что вполне можно добавить квантор всеобщности (по логике предикатов ). Но если добавить, что это изменит? Все равно ведь жопа.

[alisarin.livejournal.com]

Абстрагирование - это сложный и деликатный процесс, и только логикам-формалистам кажется, что он может быть простым.

То же самое исходное положение может быть только таким:

Между пасмурной погодой и состоянием дождя отсутствует однозначная зависимость.

И никаких парадоксов ...

[rainboy.livejournal.com]

а что ты думаешь про парадокс лужкова? )

[psilogic.livejournal.com]

это еще шо такое?

[declonter.livejournal.com]

Классно! :)

Правильная форма: ~(A=>B)=>true

[sanitareugen.livejournal.com]

Скучно, но правильно...

Re: Правильная форма: ~(A=>B)=>true

[psilogic.livejournal.com]

Истинность того высказывания _равна_ true. Так что надо писать = или <=>.

[gressus.livejournal.com]

"Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false."

неверно ведь.

левая часть истинна, если ложна (A => B), а (A => B) будет ложно _хоть при одном таком_ A = true, чтобы B = false

вот потеря квантора общности "_хоть при одном таком_" и есть ошибка

[psilogic.livejournal.com]

То есть, вы предлагаете формализовать если-то через кванторы. А обычно предлагают через просто A => B, в том то и дело. Ваш вариант используется в модальной логике, это называется strict импликация, она менее "парадоксальна" (но тоже имеет проблемы).

[(Anonymous)]

"Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false."

Указанная Вами комбинация истинностей - необходимое, но не достаточное условие истинности левой части. Чтобы левая часть была истинной, надо еще, чтобы стрелочкой обозначался правильный логический переход. Иначе говоря, чтобы B вытекало из A по правилам логики, а не потому что кому-то так хочется. А этого не происходит. Думаю, это и хотел сказать gressus

Ошибка формализации.

[inkelyad.livejournal.com]

"Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.
~(A => B) = true"

Неверно. У меня сейчас, например, и пасмурно и дождь идет.
~(true=>true) = true. Как же.

В исходном утверждении есть (неявная) переменная -- координаты, и по времени в том числе.
Полностью оно понимается так:
Неправда, что для любого места и времени если погода пасмурная, то идет дождь.

После формализации:
~(для любого x (A(x) => B(x)) = true

x -- переменная из множества интересующих нас мест.

Re: Ошибка формализации.

[psilogic.livejournal.com]

[ Неверно. ]

Что "неверно"? Формализация неверная, я об этом и говорю, что так нельзя формализовать. Из такой формализации получается, что всегда пасмурно и нет дождя, а у вас вот пасмурно и есть дождь.

[ В исходном утверждении есть (неявная) переменная -- координаты, и по времени в том числе. ]

Это не поможет :) Зафиксируйте любой момент времени x0 в будущем (ну и в пространстве по аналогии), получите высказывания A(x0) и B(x0) насчет конкретного момента времени, скажем, 1 июля 2010 года. Дальше можно повротить все рассуждения, исходя из фразы: "Неправда, что если 1 июля 2010 года погода будет пасмурная, то 1 июля 2010 года пойдет дождь". Получите, что в этот день дождя не будет. А если будет? Тогда хана формализации :)

[ После формализации:
~(для любого x (A(x) => B(x)) = true ]

Эта формализация называется "strict implication", которая применяется в модальной логике. В отличие от "material implication", которую я рассматривал. В этой формализации тоже встречаются проблемы, но конкретно в этом случае парадокса действительно удастся избежать.

[nefedor.livejournal.com]

"Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда."

Нет, не доказали. Мы нашли всего лишь навсего комбинацию переменных, которая удовлетворяет формуле "высказывание про погоду"=true, делая его тождеством.

[psilogic.livejournal.com]

А нам как раз дано, что "высказывание про погоду"=true. Из этого можно сделать вывод, что для любого фиксированного момента времени и места погода будет пасмурной и не будет дождя. А из этого - что погода пасмурна всегда и дождь не идет никогда.

[inkelyad.livejournal.com]

Начнем заново.

psilogic пытается показать, что наивная формализация утверждения
"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"
приводит к странным результатам.

Вот только весь параграф
"Это утверждение истинное: действительно, пасмурная погода не всегда
сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически
всегда стоит пасмурная погода."
все портит: ТАК объясняется истинность при понимании "~∀ x: P(x)".

После этого мы успешно забываем, что мы таки знаем и имеем использовать правильный вариант формализации и работаем с плохим.

Отсюда и парадокс.

[psilogic.livejournal.com]

ну да, примерно так я и делаю. только параграф ничего не портит, он закладывает будущее противоречие :)

кстати, для лучшего понимания, вашей трактовки приведите пожалста 1 пример истинной фразы вида "если ... то ..." и 1 пример ложной?

[inkelyad.livejournal.com]

Как это будет выглядеть, если так не жульничать:

Мне:
Рассмотрим утверждение:
"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"

Я:
Наивно формализую в виде

A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
высказывание о погоде имеет вид
~(A => B) (1)

Мне:
Это утверждение истинное: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем.

Я:
наивно формализую и это тоже.

пасмурная погода не всегда сопровождается дождем
бывает пасмурный и не дождливый день
(cуществует x0, что A(x0) и не B(x0)) (2)
(2) истинно из опыта
(существует x0, что A(x0) и не B(x0)) = true

А после этого долго пытаюсь понять, как из (2) вывести (1)

Мне:
Высказывание (1) истинно, согласно рассуждениям выше.
~(A => B) = true

Я:
Минуточку, у меня есть (2) = true, но так до сих пор и не вышло (2)=>(1).

[psilogic.livejournal.com]

Да никто не жульничает, не обзывайся, сам дурак :)

(1)
либо
a) дано по условию,
либо
б) принимается вами интуитивно как носителем русского языка,
либо
в) выводится из (2) по правилу вывода:
если существует хотя бы одна комбинация x* свободных переменных из A и B, для которой A(x*) = true и B(x*) = false, тогда A => B ложно.

Если вы не принимаете одно из а), б), в), то мое рассуждение для вас не годится.

разгадка

[falcao.livejournal.com]

Для меня здесь разгадка проста. Известно, что в обиходной речи имеется масса "умолчаний" (то есть чего-то, подразумеваемого "по умолчанию"). Также понятно, что некоторые слова опускаются, и обычно их легко бывает восстановить. В данном случае в процитированной Вами фразе я "слышу" модальность:

"Неправда, что если погода пасмурная, то (обязательно) идет дождь"

То есть это, строго говоря, просто не импликация.

При формализации мы привыкли игнорировать модальности, заменяя их, когда возможно, кванторами. Пусть S -- ситуация, о которой мы говорим (я когда-то обосновывал мысль, что истинностный статус возникает только в пределах ситуаций). Тогда по смыслу мы получаем вот что:

"Неправда, что во всех ситуациях выполнено условие: если погода пасмурная, то идёт дождь".

То есть на языке формул будет так:

~((\forall S)(A(S)=>B(S)))

Это логически эквивалентно вот чему:

(\exist S)(~(A(S)=>B(S)))

Что несомненно, так как ситуации, в которых погода пасмурна, а дождя нет, бывают. Что, собственно, и подразумевалось.

Поэтому "виной" всему я вижу устранение модальности при формализации, что привело к удалению квантора всеобщности. При этом в отрицании всеобщего высказывания исчезает подразумеваемый квантор существования, без которого высказывание становится всеобщим. Что, конечно же, не так.

Re: разгадка

[psilogic.livejournal.com]

[ В данном случае в процитированной Вами фразе я "слышу" модальность ...
То есть это, строго говоря, просто не импликация. ]

А можете ли вы представить себе случаи применения союза если...то... в обиходной речи и _без_ модальности? Причем, я не имею в виду варианты применения если-то в качестве разделительного (если Москва - холодный город, то Афины - теплый) или уступительного (если Москва и теплый город, то разве что по сравнению с Архангельском) союза.

[twilight-sun.livejournal.com]

ну тут на самом деле обычная путаница: при переводе на формальную логику теряется часть смысла.
В данном случае смысл "пасмурная погода не всегда сопровождается дождем" требует для правильной формализации нужных кванторов, т.к. "погода пасмурная" и "идет дождь" по смыслу предикаты, т.е. функции места/времени. А при отрицании квантор всеобщности превратится в квантор существование и будет доказано не "погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда", а боле логичное утверждение "существую ситуации когда погода пасмурная, дождь не идёт". Ну собственно это в большинстве коментов и описано.


А в чём собственно парадокс тогда?

Напоминает как один политолог спрашивал согласны ли мы с утверждением что "цель оправдывает средства" с таким видом вроде это вопрос на который мы скажем "да/нет" ...

[twilight-sun.livejournal.com]

да, кстати. я сначала было подумал что пример опять на излюбленную тему "материальной импликации", а потому увидел что тут никакой причинно-следственной связи не требуется. просто наблюдение об одновременности событий.

Кстати, тоже интересный эффект что причинно-следственная связь и одновременность в языке рядышком, получается.

[psilogic.livejournal.com]

[ А в чём собственно парадокс тогда? ]

Тогда - когда? Если изменить формализацию, тогда ни в чем.

[psilogic.livejournal.com]

Рассмотрите тот же пример, но для определенного, конкретного времени и места. Что получится?