Хана импликации :)

[psilogic]

На одном форуме нашел очередной "парадокс" импликации. Самый убойный из всех, что я знаю.

Рассмотрим утверждение:

"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"

Это утверждение истинное во всех смыслах: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически всегда стоит пасмурная погода (ну кроме редких случаев "слепого дождика").

Переведем это на язык логики с импликацией. "Неправда, что" переводится операцией отрицания. Все утверждение формализуется как ~(A => B), где
A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.

~(A => B) = true

Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false. Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда. Очевидно, что это противоречит реальности.

Comments

[inkelyad.livejournal.com]

[Утверждение "если пасмурно, то дождь" ложно потому, что пасмурная погода не всегда сопровождается дождем.]

Давайте посмотрим, какое именно утверждение мы так обосновываем.

пасмурная погода не всегда сопровождается дождем
есть день 5, что пасмурно(5) и не дождь(5)
есть день 5, что ~(пасмурно(5)=>дождь(5))
~(любой день x (пасмурно(x)=>дождь(x))

Т.е. приводя такое обоснование ложности вы показываете, что имели в виду именно такое понимание утверждения о погоде.

[psilogic.livejournal.com]

~(пасмурно(x)=>дождь(x))

[inkelyad.livejournal.com]

Не понял, как из
~(любой день x P(x)), где P(x) = (пасмурно(x)=>дождь(x))
получилось
~P(x), где (пасмурно(x)=>дождь(x))

[psilogic.livejournal.com]

было дано
~P(x) при произвольно заданном x
из этого получилось
∀ x ~P(x)

[nefedor.livejournal.com]

Стоп. Вы отрицание пронесли внутрь квантора, а квантор не поменяли. Ошибка.

[psilogic.livejournal.com]

я ничего никуда не вносил, просто тупо поставил квантор

[nefedor.livejournal.com]

Ну и получили соответствующий результат.
Кванторы нужно ставить не тупо, а со смыслом ;)

[nefedor.livejournal.com]

Вот и она, ошибка формализации.
~∀x:P(x) и ∀x:~P(x) это две большие разницы.
Из первой не выводимо противоречие, из второй выводимо.
Так как всеобщность звпрятана во фразе про P(x), то очевидно что именно первая формализация правильна.
Ваша фраза "было дано ~P(x) при произвольно заданном x" ошибочна - этого как раз "для произвольного фиксированного х" не дано.

[psilogic.livejournal.com]

*устало*

читайте комменты. первая формализация называется strict implication...

[nefedor.livejournal.com]

А как называется вторая? Не проще ли сказать, что вторую Вы записали по ошибке?

[psilogic.livejournal.com]

проще для чего - чтобы нефедор перестал придираться? тогда проще вовсе не отечать :)))
вторая - называется material implication... если без квантора. квантор получается по логике предикатов.

[nefedor.livejournal.com]

Я, собственно, хочу показать Вам почему здесь нет противоречия. Лично мне проще всего, очевидно, не тратить на это время, если Вам оно не надо. Мне казалось, Вам было надо? Или я неправ?
То что вижу я - что почему-то Вы формализуете "не туда", смешивая несмешиваемое. Мои "придирки" - это желание понять почему Вы так делаете.
Давайте вот что. Если Вам оно надо, распишите пожалуйста математически подробно как оно по-Вашему получается. Возьмите заглавное утверждение и распишите обоснованно (!) все шаги. Так как это у Вас получитья не должно (так как противоречия нет), то я в таком случае попробую найти неверный шаг.
Знаете, у нас логику читал проф. Успенский, тот самый автор известного учебника. Он интересно формулировал определение доказательства. Доказательство - это когда вы что-то объясняете человеку, тот подпрыгивает на месте, и бежит с горящими глазами доказывать это же кому-то другому. Забавно, аллегорично и очень верно, по-моему. Так вот - докажите мне что противоречие есть. Я "играю честно" - стараюсь понять, стараюсь быть объективным. Хотите попробовать?

[psilogic.livejournal.com]

в самой нижней ветке отвечу