Хана импликации :)

[psilogic]

На одном форуме нашел очередной "парадокс" импликации. Самый убойный из всех, что я знаю.

Рассмотрим утверждение:

"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"

Это утверждение истинное во всех смыслах: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически всегда стоит пасмурная погода (ну кроме редких случаев "слепого дождика").

Переведем это на язык логики с импликацией. "Неправда, что" переводится операцией отрицания. Все утверждение формализуется как ~(A => B), где
A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.

~(A => B) = true

Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false. Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда. Очевидно, что это противоречит реальности.

Comments

пропущенное

[falcao.livejournal.com]

У меня есть ощущение, что Вы верно уловили самое основное, что я сказал.

В данном контексте приходится (по традиции) обходиться без модальностей, используя обычные средства исчисления предикатов. (Хотя на самом деле здесь есть выход за их рамки, но это обстоятельство несущественно.) Оттенок "возможно" мы передаём квантором существования, а оттенок "необходимо" -- квантором всеобщности. При этом любая (или почти любая) импликация, встречающаяся "в быту" -- это утверждение вида "для всех ситуаций S верно, что A(S)->B(S)", то есть "по умолчанию" имеется квантор по всем ситуациям, а внутреннюю импликацию можно считать "математической" (или "материальной", как Вы любите говорить).

То есть разрешение многих парадоксов действительно должно получиться, если восстановить пропущенное и подразумеваемое.

Re: пропущенное

[psilogic.livejournal.com]

Да, действительно, многие парадоксы разрешаются, если ввести упущенный квантор. Насколько я понимаю, это впервые сделал еще Кларенс Льюис, и он играл именно с модальностями (в strict implication). А потом модальности попытались выразить через кванторы, используя концепцию множественных миров. Но вариант Льюиса тоже несвободен от парадоксов (у него из лжи уже не следует все, но вот из противоречия следует все), так что приходится идти дальше. Я как-то попытался придумать формулу, которая обходит парадоксы strict implication но наткнулся на следующую серию парадоксов :) Сейчас меня осенила очередная идея, так что может что и получится.

Пока такой вариант:
Если A то B истинно при выполнении следующих условий:
1. Tr(A) = a(x, y, z,...) - то есть, истинность текста A выражается некой функцией-предикатом a от переменных x, y, z,...
2. Tr(B) = b(x, y, z,...) - то есть, истинность текста A выражается некой функцией-предикатом b от переменных x, y, z,...
3. При этом не обязательно, чтобы наборы переменных в a и b были одинаковы, но существенно обозначать одинаковыми переменными одинаковые элементы текстов A и B.
4.
\exist x \exist y \exist z... a(x, y, z,...)
&
\exist x \exist y \exist z... ~b(x, y, z,...)
&
~ \exist x \exist y \exist z... (a & ~b(x, y, z,...))
- то есть, a хотя бы иногда (при некоторых x, y, z,...) равно true, b хотя бы иногда false, но не одновременно. Если все эти условия выполняются, то также можно вывести, что a хотя бы иногда false, b хотя бы иногда true.

Также можно подставлять на место переменных некие конкретные значения из области допустимых, получая высказывания вида "Если A(x0) то B(x0)", и эти высказывания тоже будут считаться истинными (но обязательно прежде должно быть доказано высказывание без подстановки).

И, наконец, похоже, придется запретить рассматривать в функции Tr в качестве текстов A и B выражения вида true, false, x & y - в общем, логические функции. Т.е. надо очень строго разделять истинность текстов и функции истинности, которые выражают эту истинность. Сами по себе функции истинности могут иметь значения, но не могут иметь истинности.

Вот как то так, развернуто оформлю как-нибудь позднее.