Хана импликации :)

[psilogic]

На одном форуме нашел очередной "парадокс" импликации. Самый убойный из всех, что я знаю.

Рассмотрим утверждение:

"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"

Это утверждение истинное во всех смыслах: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически всегда стоит пасмурная погода (ну кроме редких случаев "слепого дождика").

Переведем это на язык логики с импликацией. "Неправда, что" переводится операцией отрицания. Все утверждение формализуется как ~(A => B), где
A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.

~(A => B) = true

Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false. Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда. Очевидно, что это противоречит реальности.

Comments

[twilight-sun.livejournal.com]

если ограничится обычной булевой логикой (НЕ, И, ИЛИ) - без потери смысла нельзя. т.е. можно только в "НЕ А" где А - уже будет элементарным суждением (хотя оно и выглядит как сложное, т.к. содержит в первоначальном вараинте слова "если" и "то").

Иначе можно придумать "=>" которое означает "выводится в системе/логике ААА". Но это уже сложнее и зависит от логики ААА. В разных логиках "А => В" может быть по разному связано с "А ИЛИ НЕ В". Примерно так.

[psilogic.livejournal.com]

т.е. правильно ли я вас понял: по-вашему, эта конкретная фраза не может быть формализована без потери смысла в виде
~(A => B) = ~(A & ~B), где
A истинность фразы "позавчера в Киеве было пасмурно"
B истинность фразы "позавчера в Киеве шел дождь"
?

[twilight-sun.livejournal.com]

Да, абсолютно правильно. В рамках булевой логики не может. То что выглядит как (A => B) следует рассматривать как элементарное утверждение С, истинность которого устанавливается какими-то другими средствами.

[twilight-sun.livejournal.com]

Да, если что, под "=>" в коменте выше я имел ввиду естественно обычную логическую импликацию, которая выражается через ИЛИ и НЕ.

(кстати там в формуле опечатка (A => B) не равно (A & ~B))

[psilogic.livejournal.com]

Да, опечатка, конечно, скопипастил "~" :)
Правильно:
~(A => B) = (A & ~B)
Вы писали, что более логично утверждение "существуют ситуации когда погода пасмурная, дождь не идёт".
То есть,
\exist x : A(x) & ~B(x) =
~ \forall x : ~(A(x) & ~B(x)) =
~ \forall x : ~A(x) V B(x) =
~\forall x : A(x) => B(x)

A(x) истинность фразы "в x пасмурно"
B(x) истинность фразы "в x шел дождь"
x - координаты и время.

А это, по-вашему, правильная формализация?

[twilight-sun.livejournal.com]

ну да. всё правильно. \exist x : A(x) & ~B(x) = ~\forall x : A(x) => B(x) это я само собой подразумевал. Т.е. посчитал эту цепочку достаточно очевидной (она ж часто в математике применяется, т.н. опровержение через "контрпример").
Просто фраза "существуют ситуации когда погода пасмурная, дождь не идёт" лучше звучит и имеет меньше дополнительных смыслов и неясностей чем исходная.

[psilogic.livejournal.com]

Ага, звучит лучше, я тоже так думаю. Мне кажется, что эта формула вообще не должна переводиться с применением союза "если"... этот союз пока что "непереводим".

[twilight-sun.livejournal.com]

Согласен. Слишком много дополнительных смыслов. Т.е. наверное в некоторых случаях "если" будет уместно, а в некоторых нет. В частности в повседневной жизни частенько неуместно. В математике же скорее да чем нет, особенно в логике исчислений (или как оно по русски называется... ну там ещё формулы логические есть , которые аксиомы штук 3-10 , и правила вывода) так там даже теорема есть что если выводится так импликация и наоборот.

Вообще я считаю что надо формализовать смысл а не втупую союзы заменять. А пояснять на примерах. Т.к. и все остальные союзы (И, ИЛИ) тоже не всегда без потери смысла позволяют сделать замену.