![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Аксиомы и определения
По ходу одного разговора, помянули аксиомы и определения. Дескать, одно и то же это или не одно, или вообще пофиг. Я пообещал собеседнику объяснить это кратко. Делаю в виде поста, чтобы френды могли попридираться, поуточнять или попинать меня, если возникнет желание ;)
____
Аксиома - это утверждение (высказывание), которое принимается без доказательства.
Важное уточнение: принятие без доказательства не означает, что доказательства нет. Просто его по каким-то причинам не нужно делать в этом конкретном случае.
Важное дополнение: в математике обычно аксиома оказывается частью какой-то логической системы. Тогда аксиома может быть доказана вне этой системы - скажем, в рамках более общей систем или вообще экспериментально.
Частный случай: два человека о чем-то спорят, но какое-то мнение, утверждение у них обоих не вызывает сомнений. Скажем, спорят о том, хороший ли президент был Ельцин, но оба согласны по крайней мере в том, что он был президентом. Это последнее они не доказывают и не собираются доказывать. Это - пример аксиомы в обиходе.
Определение - это инструкция, которая объясняет, что означает данный термин (слово, или оборот речи). Часто имеет форму: "X - это Y" или "X называют Y".
Утверждение (высказывание) ли это? В смысле, есть ли у него истинность? Чисто формально - да, есть. Определение утверждает, что некоторое слово имеет некоторый смысл. Это может быть неправдой? Да. Например, некто утверждает, что квадратом называется равносторонний четырехугольник. А другой поправляет: не четырехугольник, а прямоугольник. В чем именно неправда? В "называют". Математики называют словом квадрат не то, в этом неправда. То есть, такое определение утверждает, что люди употребляют слово в таком смысле... и это может оказаться правдой или неправдой. Люди могут и не употреблять слово в таком смысле.
Другой пример. Автор пишет в своей книге: "квадратом буду называть равносторонний четырехугольник". Это - уже другой коленкор. Тут он отвечает только за себя лично. Он будет называть. Это тоже может оказаться неправдой, если вдруг он дальше в своей книге обзовет квадратом фигуру с тремя углами.
Таким образом, определение и аксиома - вещи достаточно разные.
Может ли определение быть аксиомой? Да. Это когда истинность определения принимается без доказательства. Такое случается довольно часто: один собеседник предлагает свое определение, а второй принимает его без лишних разговоров: мол, хорошо, давайте условимся так считать. В результате договоренности получается аксиома: "мы оба считаем, что это слово означает... вот это". Но согласие возникает не всегда, и тогда из определения аксиома не получается.
Еще есть некоторое различие в акцентах. Главное в аксиоме - истинность. В определении истинность часто - всего лишь вопрос соглашения, договоренности. А главное в определении - это инструкция, что как называть.
Вот такое получилось занудное пояснение :)
____
Аксиома - это утверждение (высказывание), которое принимается без доказательства.
Важное уточнение: принятие без доказательства не означает, что доказательства нет. Просто его по каким-то причинам не нужно делать в этом конкретном случае.
Важное дополнение: в математике обычно аксиома оказывается частью какой-то логической системы. Тогда аксиома может быть доказана вне этой системы - скажем, в рамках более общей систем или вообще экспериментально.
Частный случай: два человека о чем-то спорят, но какое-то мнение, утверждение у них обоих не вызывает сомнений. Скажем, спорят о том, хороший ли президент был Ельцин, но оба согласны по крайней мере в том, что он был президентом. Это последнее они не доказывают и не собираются доказывать. Это - пример аксиомы в обиходе.
Определение - это инструкция, которая объясняет, что означает данный термин (слово, или оборот речи). Часто имеет форму: "X - это Y" или "X называют Y".
Утверждение (высказывание) ли это? В смысле, есть ли у него истинность? Чисто формально - да, есть. Определение утверждает, что некоторое слово имеет некоторый смысл. Это может быть неправдой? Да. Например, некто утверждает, что квадратом называется равносторонний четырехугольник. А другой поправляет: не четырехугольник, а прямоугольник. В чем именно неправда? В "называют". Математики называют словом квадрат не то, в этом неправда. То есть, такое определение утверждает, что люди употребляют слово в таком смысле... и это может оказаться правдой или неправдой. Люди могут и не употреблять слово в таком смысле.
Другой пример. Автор пишет в своей книге: "квадратом буду называть равносторонний четырехугольник". Это - уже другой коленкор. Тут он отвечает только за себя лично. Он будет называть. Это тоже может оказаться неправдой, если вдруг он дальше в своей книге обзовет квадратом фигуру с тремя углами.
Таким образом, определение и аксиома - вещи достаточно разные.
Может ли определение быть аксиомой? Да. Это когда истинность определения принимается без доказательства. Такое случается довольно часто: один собеседник предлагает свое определение, а второй принимает его без лишних разговоров: мол, хорошо, давайте условимся так считать. В результате договоренности получается аксиома: "мы оба считаем, что это слово означает... вот это". Но согласие возникает не всегда, и тогда из определения аксиома не получается.
Еще есть некоторое различие в акцентах. Главное в аксиоме - истинность. В определении истинность часто - всего лишь вопрос соглашения, договоренности. А главное в определении - это инструкция, что как называть.
Вот такое получилось занудное пояснение :)
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject