Аксиомы и определения

[psilogic]

По ходу одного разговора, помянули аксиомы и определения. Дескать, одно и то же это или не одно, или вообще пофиг. Я пообещал собеседнику объяснить это кратко. Делаю в виде поста, чтобы френды могли попридираться, поуточнять или попинать меня, если возникнет желание ;)

____

Аксиома - это утверждение (высказывание), которое принимается без доказательства.

Важное уточнение: принятие без доказательства не означает, что доказательства нет. Просто его по каким-то причинам не нужно делать в этом конкретном случае.

Важное дополнение: в математике обычно аксиома оказывается частью какой-то логической системы. Тогда аксиома может быть доказана вне этой системы - скажем, в рамках более общей систем или вообще экспериментально.

Частный случай: два человека о чем-то спорят, но какое-то мнение, утверждение у них обоих не вызывает сомнений. Скажем, спорят о том, хороший ли президент был Ельцин, но оба согласны по крайней мере в том, что он был президентом. Это последнее они не доказывают и не собираются доказывать. Это - пример аксиомы в обиходе.

Определение - это инструкция, которая объясняет, что означает данный термин (слово, или оборот речи). Часто имеет форму: "X - это Y" или "X называют Y".

Утверждение (высказывание) ли это? В смысле, есть ли у него истинность? Чисто формально - да, есть. Определение утверждает, что некоторое слово имеет некоторый смысл. Это может быть неправдой? Да. Например, некто утверждает, что квадратом называется равносторонний четырехугольник. А другой поправляет: не четырехугольник, а прямоугольник. В чем именно неправда? В "называют". Математики называют словом квадрат не то, в этом неправда. То есть, такое определение утверждает, что люди употребляют слово в таком смысле... и это может оказаться правдой или неправдой. Люди могут и не употреблять слово в таком смысле.

Другой пример. Автор пишет в своей книге: "квадратом буду называть равносторонний четырехугольник". Это - уже другой коленкор. Тут он отвечает только за себя лично. Он будет называть. Это тоже может оказаться неправдой, если вдруг он дальше в своей книге обзовет квадратом фигуру с тремя углами.

Таким образом, определение и аксиома - вещи достаточно разные.

Может ли определение быть аксиомой? Да. Это когда истинность определения принимается без доказательства. Такое случается довольно часто: один собеседник предлагает свое определение, а второй принимает его без лишних разговоров: мол, хорошо, давайте условимся так считать. В результате договоренности получается аксиома: "мы оба считаем, что это слово означает... вот это". Но согласие возникает не всегда, и тогда из определения аксиома не получается.

Еще есть некоторое различие в акцентах. Главное в аксиоме - истинность. В определении истинность часто - всего лишь вопрос соглашения, договоренности. А главное в определении - это инструкция, что как называть.

Вот такое получилось занудное пояснение :)

Comments

[makas89.livejournal.com]

Подобные пояснения должны вдалбливаться глубоко и навсегда на первых курсах всех гуманитарных вузов.

[psilogic.livejournal.com]

Ехидно: есть такие гуманитарии, что если вдалбливать глубоко, то пояснения пробьют черепную кость и канут в пустоту... :))

[makas89.livejournal.com]

Издержки сурового гуманитарного производства. :)

разрешения

[falcao.livejournal.com]

Мне ближе всего такая точка зрения, что определения -- это разрешения. То есть в пределах какого-то "дискурса" словом "квадрат" разрешается называть то-то и то-то.

После того, как разрешение принимается, становится верным некоторое утверждение. В конкретном примере, это утверждение о том, что квадрат есть такая-то и такая-то "штуковина". Про такие утверждения говорят, что они "верны по определению".

[psilogic.livejournal.com]

Т.е. сначала кто-то просит разрешения называть, потом кто-то дает такое разрешение, и тогда - пошло-поехало?

макросы

[falcao.livejournal.com]

Да, именно так. Этот подход всё проясняет. Если сравнивать с программированием, то это нечто наподобие введения "макросов". При этом, конечно, должны соблюдаться какие-то требования, но они минимальны. Типа того, чтобы соответствующие идентификаторы не были заняты.

Re: макросы

[psilogic.livejournal.com]

Макросы - это в точку. А также алиасы :)

[shultz-flory.livejournal.com]

> Важное дополнение: в математике обычно аксиома оказывается частью какой-то логической системы. Тогда аксиома может быть доказана вне этой системы - скажем, в рамках более общей систем или вообще экспериментально

Попытался представить себе экспериментальное доказательство аксиомы о параллельных. Не смог.

[psilogic.livejournal.com]

Рисуете две параллельные AB и CD на листе бумаги. Пытаетесь провести прямую DF, которая не совпадала бы с CD и не пересекала бы AB. Это можно сделать, поскольку лист бумаги ограничен в размерах. Убеждаетесь, что эта задача становится все более трудной, по мере того, как ситуация приближается к геометрической. То есть, по мере того, как лист бумаги становится все больше, а линии - все длиннее. Линию DF приходится проводить все ближе к линии CD. Делаете вывод, что в абстрактном пределе (когда линии и лист бумаги бесконечны), линии сольются в одну. Экспериментальное доказательство.

[shultz-flory.livejournal.com]

Если я буквально последую этому совету, у меня и две первые прямые AB и CD пересекутся - Земля-то круглая.

[psilogic.livejournal.com]

Ну так вспомните, что аксиома относится не к круглому, а к плоскости.

[shultz-flory.livejournal.com]

Плоскость - новый здесь термин. Это.. дайте подумать.. поверхность, на которой выполняется аксиома о параллельных? ;)

[psilogic.livejournal.com]

Плоскость - одно из базовых понятий.

[mavka-vika.livejournal.com]

Мне кажется, что аксиома не требует доказательств именно потому, что эти докозательства неопровержимы. В аксиоме больше причинно-следственнх связей, чем в определении.

Например, возьмём того же Ельцина. Определение: Ельцин - бывший президент России. Но это не аксиома. Потому как, 1) есть множество людей с фамилией "Ельцин", и только один из них был президентом; 1) Ельцин, кроме того, что был президентом, был ещё и, например, мужем для свое жены Наины Иосифовны. Те есть здесь нельзя сказать чётко, что это единственная характеристика. Про яблоко мы не можем сказать ничего больше, кроме как то, что яблоко - это фрукт. Про Ельцина можем.

Значит аксиома будет звучать скорее так: фамилия одного из бывших президентов Росии была Ельцин.

[shultz-flory.livejournal.com]

Жжоте, барышня

[mavka-vika.livejournal.com]

Да нет, размышляю. А Вам чё-то не нравится? Я всегда такая...

[shultz-flory.livejournal.com]

Напротив, мне всё нравится, начиная с Вашей аватарки.

[psilogic.livejournal.com]

Вы философ?

[mavka-vika.livejournal.com]

Хуже, я - филолог...

[psilogic.livejournal.com]

Это лучше... но ненамного :)

[kelavrik-0.livejournal.com]

Вообще то определение — способ сокращения описания. Ведь можно не употреблять слово квадрат, а каждый раз говорить прямоугольный равносторонний четырёхугольник. Но жутко длинно, да и каждое из слов надо определять отдельно.

Другое дело базовые определения. По сути они близки к аксиомам. Ведь определяя точку мы неявно утверждаем, что точки существуют.