psilogic: (Default)
psilogic ([personal profile] psilogic) wrote2009-03-07 12:10 pm
Entry tags:

Самые распространенные логические заблуждения

Попытался составить список мифов, которые чаще всего употребляются со ссылкой на логику. Мифы прочные, так что я не надеюсь, что приверженцы прямо сразу осознают и покаются. :) Но пущай хоть задумаются. Или меня попинают, вдруг я сам где-то гоню. Для начала вот вам пачка из трех мифов:

Миф 1.
Невозможно (или не нужно) доказывать отсутствие чего-либо, надо доказывать присутствие.

Алиби - это пример доказательства отсутствия. Алиби доказывает отсутствие человека на месте преступления. В математике есть определенное количество утверждений, которые начинаются со слов "не существует..." Это тоже доказательства отсутствия. Например: не существует действительного числа, квадрат которого равен (-2). Или отсутствие решений уравнения. В бухгалтерии - отсутствие средств на счету :)

Миф происходит от того, что иногда доказать отсутствие чего-то очень сложно, и велико искушение "отмазаться" и свалить трудности на оппонента: мол, доказательство невозможно, а вот ты докажи-ка присутствие.


Миф 2.
Если есть противоречие, то из противоречия можно доказать все, что угодно.

Это верно только для некоторых логических систем, которые неприменимы в реальной жизни (то есть, на практике – скажем, в компьютерной системе, принимающей решения, или в юридической аргументации).

Допустим, доказано противоречие, то есть, некое утверждение:
A и не A.
На основе этого противоречия можно доказать по отдельности два утверждения:
1. A
2. не A
Для доказательства потребуются аксиомы:
Из x и y следует x.
Из x и y следует y.
- где x, y – произвольные утверждения. Эти аксиомы, в принципе, соответствуют смыслу союза «и», как мы его понимаем в обычной речи, так что все в порядке.

Однако, для того, чтобы, кроме этих A, не-A доказать произвольное утверждение B, для такого дела понадобится еще одна аксиома:
x => (y => x)
Или словами:
Из x следует, что (из y следует x).
А вот с этим проблема. В жизни мы так не доказываем. Мы не говорим: из того, что теорема Пифагора верна (x), следует, что она верна (x) потому, что у меня чешется левая пятка (y). Это неразумно. Теорема Пифагора верна потому, что ее доказал Пифагор, а не по велению моей левой пятки. :)

Миф происходит от того, что упомянутая аксиома x => (y => x) применяется очень часто, в самых «классических» логических системах. Она очень удобна для математиков и позволяет получить много интересных следствий. К сожалению, некоторые из этих следствий оказываются далеки от реальности, как сама эта аксиома. Но в пределах математики никаких ошибок нет, пока эта система рассматривается отвлеченно, абстрактно.




Миф 3.
Бремя доказательства утверждения лежит на том, кто его высказывает

Этот миф происходит от тех же причин, что и первый миф — желание легко отмазаться. На самом деле все тоньше и сложнее.

Буквальное следование этому мифу может разрушить любую аргументацию. Например, ваш оппонент начинает что-то доказывать. Он раскрывает рот, завершает первое предложение (X1), и вы требуете: а докажи-ка! Если он верит в этот миф, он должен начать доказывать (X1). Но, как только он произнесет первое предложение (X2) этого нового доказательства, вы снова требуете: а докажи-ка! И он вынужден доказывать уже X2, для чего произнести предложение X3. И так далее. Повторяться нельзя (Xj = Xi), это будет логическим циклом.
В результате бедняга утонет в бесконечной рекурсии, не сумев доказать даже X1.

А как правильно?

А правильно так. Чтобы начать какой-то логический спор, необходимо найти некие точки соприкосновения, утверждения, с которыми согласны и вы, и оппонент. Это будет основа, базис спора, аксиомы, не требующие доказательства (потому, что вы с ними заранее согласны). Например, в суде такая основа - уголовный кодекс, вы не можете отказаться соблюдать его. :)

Далее, как только в споре вы высказываете нечто такое, что не входит в список аксиом, и вы хотите, чтобы оппонент принял это за истину – вот тогда вы обязаны это доказать. При этом оппонент не обязан доказывать обратное, но может это высказать... как приглашение к доказательству. Хотя корректнее все-таки потребовать именно доказательства, но это уже придирки. Например:
Адам: X1
Ева: Согласна (X1 принято за аксиому).
Адам: X2
Ева: Согласна (X2 принято за аксиому).
Адам: X3
Ева: Неправда! (X3 не принимается за аксиому)
- в этот момент Адам не должен требовать от Евы доказательства утверждения (не X3). Он первый высказал нечто, не являющееся аксиомой. Адам должен сам доказать X3, например, логически на основе уже принятых X1, X2. Ну или он может сказать «я пас», и тогда X3 не должно в дальнейшем споре использоваться как доказанное. Впрочем, и Ева в этом случае не должна использовать (не X3) как доказанное.


В следующей серии:
Миф 4.
Гёдель доказал, что нельзя доказать все
Миф 5.
Нельзя все доказывать, надо что-то принимать на веру
Миф 6.
Бинарная логика – отстой, нечеткая спасет мир

[identity profile] psilogic.livejournal.com 2009-03-07 08:35 pm (UTC)(link)
[ Попробуйте. Вы увидите, что нужно ещё изменить аксиомы. ]

Зачем!? Я просто по другому оформлю. При дедуктивном выводе каждая новая формула получается по правилам вывода из других формул. Вот эти другие формулы я могу писать в левом столбце. :)

[ Нет, ЕВ -- просто сокращение "естественного вывода". ]

Я понял, но что именно называют "естественным выводом" и где? Я, может, тоже почитать хочу. Так сказать, кто ваш осведомитель? =)

[identity profile] psilogic.livejournal.com 2009-03-07 08:39 pm (UTC)(link)
[ А Вы в дискуссиях обычно исходите из презумпции, что все вокруг Вас - лжецы и не заслуживают уважения, пока собеседники не докажут обратного? ]

А что - либо так, либо эдак, третьего не дано? :)

[ ИМХО Вы путаете методы научного доказательства и методы ведения дискуссий (даже на научные темы)
То, что Вы рассматриваете как мифы, скорее из второй области. ]

Если даже я не путал, то вы сейчас меня пытаеетсь запутать :)))

[identity profile] alexey-rom.livejournal.com 2009-03-07 08:58 pm (UTC)(link)
> Зачем!? Я просто по другому оформлю. При дедуктивном выводе каждая новая формула получается по правилам вывода из других формул. Вот эти другие формулы я могу писать в левом столбце. :)

Есть ли у Вас аксиома, которая позволяет из {Г |- A} и {Г |- B} вывести {Г |- A /\ B}?

> Я понял, но что именно называют "естественным выводом" и где?

На русском лучший (по-моему) источник -- Н. Н. Непейвода, Прикладная логика. http://ulm.uni.udm.ru/~nnn/

На английском очень хорошие книги: van Dalen, _Logic and Structure_ и Bornat, _Proof and Disproof_.

[identity profile] psilogic.livejournal.com 2009-03-07 09:16 pm (UTC)(link)
Спасибо за ссылочку. Страничка Непейводы забавная - автор сам себя скромно величает одним из лучших логиков и обещает бороцца с ужоснахами НЛП =) А книжка, может, окажется интересной, поглядим. На первый взгляд - не вода.

[ Есть ли у Вас аксиома, которая позволяет из {Г |- A} и {Г |- B} вывести {Г |- A /\ B}? ]

Немножко некорректно вопрос поставлен - что значит "у меня"? Какую систему возьму для рассмотрения, такая и будет у меня. Можно сделать это аксиомой, теоремой, метатеоремой, группой аксиом или правилом вывода. Смотря какую систему возьмете и как ее оформите. Чисто из эстетических соображений я бы оформил это как метатеорему.

[identity profile] alexey-rom.livejournal.com 2009-03-07 09:35 pm (UTC)(link)
> Страничка Непейводы забавная - автор сам себя скромно величает одним из лучших логиков и обещает бороцца с ужоснахами НЛП =)

Значительная часть его, скажем так, посторонних и околофилософских высказываний меня раздражает. Но если ограничиваться техническими вопросами -- всё нормально.

> Немножко некорректно вопрос поставлен - что значит "у меня"?

В системе, которую Вы собираетесь так оформлять.

В любом случае, лучше иметь возможность сделать это за один шаг (или, по крайней мере, за фиксированное число шагов, независимо от размера Г, A и B). То же относится к теореме дедукции и ещё нескольким аналогичным законам. В ЕВ обычно их делают правилами вывода. Если Вы будете ими пользоваться как основными методами, Вы уже на полпути к ЕВ :)

[identity profile] psilogic.livejournal.com 2009-03-07 09:51 pm (UTC)(link)
Да, за один шаг, как метатеорему. Метатеорема - это разновидность правила вывода. О-Кей, кажется я понял, что-то такое было в книжке Клини. Память дырявая + лень "решают" :)

[identity profile] friendlystrnger.livejournal.com 2009-03-07 11:03 pm (UTC)(link)
>Алиби доказывает и то, и другое.
А вот не надо пытаться легко отмазаться! ;)
Миф 1 - это попытка решить проблему в _один_ шаг, где ее решение состоит из двух. Например, алиби - на первом этапе доказывается присутствие в другом месте, на втором - разнесенность мест во времени/растоянии ;)
И, собственно, "доказательство" отсутствия в данном случае, это просто _следствие_ из доказательства присутствия :-P

[identity profile] psilogic.livejournal.com 2009-03-07 11:07 pm (UTC)(link)
одно другому не мешает

[identity profile] friendlystrnger.livejournal.com 2009-03-07 11:11 pm (UTC)(link)
я - за точность формулировок ;) несущесвование корня из -2, барабашки и пр. доказывается получением следствий из математики корней, физических теорий и пр ;)

[identity profile] psilogic.livejournal.com 2009-03-07 11:13 pm (UTC)(link)
и что с того?

[identity profile] os80.livejournal.com 2009-03-08 11:03 am (UTC)(link)
1. Тут несколько аспектов:
а.) Доказывать необходимо то, что используешь. Если ты строишь свои действия на существовании бога (и хочешь считать такие действия единственно правильными) - будь добр доказать его присутствие. Если ты строишь действия на несуществовании бога - доказывай несуществование.
б.) Что касается разрешения споров и алиби, то оно (алиби) действительно необходимо, если против тебя есть улики. Если улик нет - то и алиби не обязательно. Хотя полезно как для обвиняемого (меньше будут в будущем парить мозг), так и для следака (он может отбросить лишние варианты и сосредоточиться на "нелишних").

Самый же главный миф - что твои действия должны быть "доказаны".

[identity profile] os80.livejournal.com 2009-03-08 11:08 am (UTC)(link)
Извините, что влезаю, но (вроде бы) схемы A => (B => A) нет. Есть A => (B -> A). Где => это логическое следование, а -> - материальная импликация.

не ассилил

[identity profile] desyata-gnetok.livejournal.com 2009-03-08 12:11 pm (UTC)(link)
а у нас логику преподавала Гетманова
и экзаменом был спектакль по логике, где мне сподобилось быть Кощеем Бессмертным - изрядно пьяным...

[identity profile] beroal.livejournal.com 2009-03-08 07:56 pm (UTC)(link)
Вы путаете "из A следует B" и "B верно потому, что A верно".

Во-во. Высказывание "B верно потому, что A верно" подразумевает, что B верно. А "из A следует B" не подразумевает.

Однако, для того, чтобы, кроме этих A, не-A доказать произвольное утверждение B, для такого дела понадобится еще одна аксиома:
x => (y => x)


Мне не очевидно, что аксиома поможет. Хотел бы увидеть доказательство.

[identity profile] psilogic.livejournal.com 2009-03-09 10:24 am (UTC)(link)
Я уверен, что есть. Проверьте себя по какому-нибудь справичнику. Ищите что-нибудь вроде "исчисление предикатов", "исчисление высказываний", классические варианты.

[identity profile] psilogic.livejournal.com 2009-03-09 10:40 am (UTC)(link)
[ Высказывание "B верно потому, что A верно" подразумевает, что B верно. А "из A следует B" не подразумевает. ]

Угу. Я считаю, что это частный случай, пример. Но разве общий случай выглядит убедительнее?

"Если A, то B" (1)
- общий случай.
"B потому, что A" (2)
- частный случай (1) при доказанном A. Также это может означать modus ponens:
"Если A, то B. A верно. Следовательно B верно." (3)

Возьмите общий случай:
Если теорема Пифагора верна, то она верна, если у меня чешется левая пятка.
Или так:
Из того, что теорема Пифагора верна, следует, что ее "верность" следут из того, что у меня чешется левая пятка.
Это что, лучше звучит?

[ Мне не очевидно, что аксиома поможет. Хотел бы увидеть доказательство. ]

http://psi-logic.shadanakar.org/kiv/kiv_10.htm
Искомая теорема MT_Not_2.
Она выводится на основе MT_Not_1 (на той же странице).
А та выводится на основе метатеоремы дедукции
(http://psi-logic.shadanakar.org/kiv/kiv_05.htm).
А та выводится с использованием той аскиомы.

Можно и короче, но мне было проще дать ссылку на готовые доказательства :)

Миф 1

[identity profile] bsivko.livejournal.com 2009-03-09 04:59 pm (UTC)(link)
Доказать отсутствие чего-либо можно только в рамках принятых (-ой) аксиом. В реальном мире доказать что чего-то нет невозможно. Можно только вероятность отсутствия чего-либо приблизить к 100%.

Поэтому если и доказывать отсутствие чего-то, то только после принятия конкретных аксиом. В алиби есть аксиома что один человек не может присутствовать в двух местах одновременно. Что может быть нарушено в крайних и маловероятных случаях (наличие близнеца, вранье свидетеля и пр.).

Re: Миф 1

[identity profile] psilogic.livejournal.com 2009-03-09 05:04 pm (UTC)(link)
Алиби - это разве не реальный мир?

Re: Миф 1

[identity profile] bsivko.livejournal.com 2009-03-09 07:17 pm (UTC)(link)
Я указал причины, по которым алиби не может быть 100%-тным. Для принятия утверждения алиби "человек Х был там-то во время Y" нужно принять за аксиому что то, что видело человека там-то, наверняка видело именно Х, именно во время Y, в реальном мире X-ов ровно 1 (при чем ровно 1 в момент Y) и т.д.

Re: Миф 1

[identity profile] psilogic.livejournal.com 2009-03-09 07:34 pm (UTC)(link)
[ Я указал причины, по которым алиби не может быть 100%-тным. ]

А при чем тут 100%-ность? Просто доказательство отсутствия оказывается полезным, вот и все.

Миф 2

[identity profile] bsivko.livejournal.com 2009-03-09 07:35 pm (UTC)(link)
Это не миф.

Если используется теория первого порядка, то в ней имеется набор истинных и ложных утверждений. Все они обладают тем свойством, что представляют собой двунаправленный граф, в вершинах которого находятся истинные и ложные утверждения, а из истинной точки можно попасть в другую точку с помощью правил логики (и в стороне от графов стоят невыводимые утверждения в рамках данной теории).

Т.е. если мы имеем истинное значение x=y (теория арифметики), то из этого выводимо x+1=y+1. Если мы имеем x+1=y+1, то из этого выводимо x=y. Т.е. две вершины (x=y x+1=y+1 и ребро между ними).
Тжс для ложных утверждений в рамках теории.

Далее. Если мы обнаруживаем противоречие, то это означает, что графы истинных и ложных утверждений пересеклись. А так как графы двунаправленные, то все утверждения в данных графах становятся одновременно и истинными, и ложными. Т.е. вся теория становится противоречивой.
При этом становится противоречивой именно вся теория. А то, что ты написал - это утверждение, которое невыводимо в рамках данной теории. Оно как было невыводимым (т.е. неизвестным) до обнаружения противоречия, так оно и осталось после обнаружения.

Поэтому если обнаружено противоречие, то саму теорию можно выбрасывать на свалку. И доказать с помощью неё ничего не получится. И это "противоречия можно доказать все, что угодно" уже не имеет никакого смысла, т.к. если есть что-то, из чего выводится и A, и не А, то чем руководствоваться - А или не А? Никакой пользы и никакого смысла в теории нету если она противоречива.

Потому это не миф именно в том смысле, что
"Если есть противоречие, то из противоречия можно доказать все, что угодно. "
можно переформулировать более корректно
"Если есть противоречие, то из противоречия можно доказать все, что угодно, а следовательно, такое док-во будет бессмысленно".

Re: Миф 1

[identity profile] bsivko.livejournal.com 2009-03-09 07:39 pm (UTC)(link)
При том, что док-во оно всегда 100%-тное в рамках описываемых условий аксиом). Только когда мы принимаем какие-то аксиомы, только тогда возможно какое-либо док-во. В реальном мире аксиом нету, мы их сами себе придумываем исходя из опыта. И только для того, кто считает эти аксиомы истинными, такое док-во будет 100%-тным док-вом.

[identity profile] psilogic.livejournal.com 2009-03-09 07:43 pm (UTC)(link)
Вы меня грузите :) В реальном мире есть доказательство отсутствия - да или нет?

[identity profile] psilogic.livejournal.com 2009-03-09 07:48 pm (UTC)(link)
Кажется, меня опять грузят. Давай продвигаться по-немногу.

Что значит теория первого порядка? (может, я не так понял)
Разве набор истинных и ложных? Это уже интерпретация. Может, доказанных и недоказанных? Или доказанных и опровергнутых?

[identity profile] bsivko.livejournal.com 2009-03-09 07:54 pm (UTC)(link)
>В реальном мире есть доказательство отсутствия - да или нет?

(((;

Т.е. допустим если принимается за аксиому, что нельзя доказать отсутствие чего-то, то нельзя утверждать что док-во отсутствия отсутствует?

Да, мы так говорить не можем при принятии такой аксиомы. Но это не говорит о том, что док-во отсутствия присутствует. То, что док-во отсутствия присутствует всего лишь гипотеза, а то, что такое док-во ещё ни одно не привели говорит в пользу того, что более вероятно что оно отсутствует.

Page 3 of 5