![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Самые распространенные логические заблуждения
Попытался составить список мифов, которые чаще всего употребляются со ссылкой на логику. Мифы прочные, так что я не надеюсь, что приверженцы прямо сразу осознают и покаются. :) Но пущай хоть задумаются. Или меня попинают, вдруг я сам где-то гоню. Для начала вот вам пачка из трех мифов:
Миф 1.
Невозможно (или не нужно) доказывать отсутствие чего-либо, надо доказывать присутствие.
Алиби - это пример доказательства отсутствия. Алиби доказывает отсутствие человека на месте преступления. В математике есть определенное количество утверждений, которые начинаются со слов "не существует..." Это тоже доказательства отсутствия. Например: не существует действительного числа, квадрат которого равен (-2). Или отсутствие решений уравнения. В бухгалтерии - отсутствие средств на счету :)
Миф происходит от того, что иногда доказать отсутствие чего-то очень сложно, и велико искушение "отмазаться" и свалить трудности на оппонента: мол, доказательство невозможно, а вот ты докажи-ка присутствие.
Миф 2.
Если есть противоречие, то из противоречия можно доказать все, что угодно.
Это верно только для некоторых логических систем, которые неприменимы в реальной жизни (то есть, на практике – скажем, в компьютерной системе, принимающей решения, или в юридической аргументации).
Допустим, доказано противоречие, то есть, некое утверждение:
A и не A.
На основе этого противоречия можно доказать по отдельности два утверждения:
1. A
2. не A
Для доказательства потребуются аксиомы:
Из x и y следует x.
Из x и y следует y.
- где x, y – произвольные утверждения. Эти аксиомы, в принципе, соответствуют смыслу союза «и», как мы его понимаем в обычной речи, так что все в порядке.
Однако, для того, чтобы, кроме этих A, не-A доказать произвольное утверждение B, для такого дела понадобится еще одна аксиома:
x => (y => x)
Или словами:
Из x следует, что (из y следует x).
А вот с этим проблема. В жизни мы так не доказываем. Мы не говорим: из того, что теорема Пифагора верна (x), следует, что она верна (x) потому, что у меня чешется левая пятка (y). Это неразумно. Теорема Пифагора верна потому, что ее доказал Пифагор, а не по велению моей левой пятки. :)
Миф происходит от того, что упомянутая аксиома x => (y => x) применяется очень часто, в самых «классических» логических системах. Она очень удобна для математиков и позволяет получить много интересных следствий. К сожалению, некоторые из этих следствий оказываются далеки от реальности, как сама эта аксиома. Но в пределах математики никаких ошибок нет, пока эта система рассматривается отвлеченно, абстрактно.
Миф 3.
Бремя доказательства утверждения лежит на том, кто его высказывает
Этот миф происходит от тех же причин, что и первый миф — желание легко отмазаться. На самом деле все тоньше и сложнее.
Буквальное следование этому мифу может разрушить любую аргументацию. Например, ваш оппонент начинает что-то доказывать. Он раскрывает рот, завершает первое предложение (X1), и вы требуете: а докажи-ка! Если он верит в этот миф, он должен начать доказывать (X1). Но, как только он произнесет первое предложение (X2) этого нового доказательства, вы снова требуете: а докажи-ка! И он вынужден доказывать уже X2, для чего произнести предложение X3. И так далее. Повторяться нельзя (Xj = Xi), это будет логическим циклом.
В результате бедняга утонет в бесконечной рекурсии, не сумев доказать даже X1.
А как правильно?
А правильно так. Чтобы начать какой-то логический спор, необходимо найти некие точки соприкосновения, утверждения, с которыми согласны и вы, и оппонент. Это будет основа, базис спора, аксиомы, не требующие доказательства (потому, что вы с ними заранее согласны). Например, в суде такая основа - уголовный кодекс, вы не можете отказаться соблюдать его. :)
Далее, как только в споре вы высказываете нечто такое, что не входит в список аксиом, и вы хотите, чтобы оппонент принял это за истину – вот тогда вы обязаны это доказать. При этом оппонент не обязан доказывать обратное, но может это высказать... как приглашение к доказательству. Хотя корректнее все-таки потребовать именно доказательства, но это уже придирки. Например:
Адам: X1
Ева: Согласна (X1 принято за аксиому).
Адам: X2
Ева: Согласна (X2 принято за аксиому).
Адам: X3
Ева: Неправда! (X3 не принимается за аксиому)
- в этот момент Адам не должен требовать от Евы доказательства утверждения (не X3). Он первый высказал нечто, не являющееся аксиомой. Адам должен сам доказать X3, например, логически на основе уже принятых X1, X2. Ну или он может сказать «я пас», и тогда X3 не должно в дальнейшем споре использоваться как доказанное. Впрочем, и Ева в этом случае не должна использовать (не X3) как доказанное.
В следующей серии:
Миф 4.
Гёдель доказал, что нельзя доказать все
Миф 5.
Нельзя все доказывать, надо что-то принимать на веру
Миф 6.
Бинарная логика – отстой, нечеткая спасет мир
Миф 1.
Невозможно (или не нужно) доказывать отсутствие чего-либо, надо доказывать присутствие.
Алиби - это пример доказательства отсутствия. Алиби доказывает отсутствие человека на месте преступления. В математике есть определенное количество утверждений, которые начинаются со слов "не существует..." Это тоже доказательства отсутствия. Например: не существует действительного числа, квадрат которого равен (-2). Или отсутствие решений уравнения. В бухгалтерии - отсутствие средств на счету :)
Миф происходит от того, что иногда доказать отсутствие чего-то очень сложно, и велико искушение "отмазаться" и свалить трудности на оппонента: мол, доказательство невозможно, а вот ты докажи-ка присутствие.
Миф 2.
Если есть противоречие, то из противоречия можно доказать все, что угодно.
Это верно только для некоторых логических систем, которые неприменимы в реальной жизни (то есть, на практике – скажем, в компьютерной системе, принимающей решения, или в юридической аргументации).
Допустим, доказано противоречие, то есть, некое утверждение:
A и не A.
На основе этого противоречия можно доказать по отдельности два утверждения:
1. A
2. не A
Для доказательства потребуются аксиомы:
Из x и y следует x.
Из x и y следует y.
- где x, y – произвольные утверждения. Эти аксиомы, в принципе, соответствуют смыслу союза «и», как мы его понимаем в обычной речи, так что все в порядке.
Однако, для того, чтобы, кроме этих A, не-A доказать произвольное утверждение B, для такого дела понадобится еще одна аксиома:
x => (y => x)
Или словами:
Из x следует, что (из y следует x).
А вот с этим проблема. В жизни мы так не доказываем. Мы не говорим: из того, что теорема Пифагора верна (x), следует, что она верна (x) потому, что у меня чешется левая пятка (y). Это неразумно. Теорема Пифагора верна потому, что ее доказал Пифагор, а не по велению моей левой пятки. :)
Миф происходит от того, что упомянутая аксиома x => (y => x) применяется очень часто, в самых «классических» логических системах. Она очень удобна для математиков и позволяет получить много интересных следствий. К сожалению, некоторые из этих следствий оказываются далеки от реальности, как сама эта аксиома. Но в пределах математики никаких ошибок нет, пока эта система рассматривается отвлеченно, абстрактно.
Миф 3.
Бремя доказательства утверждения лежит на том, кто его высказывает
Этот миф происходит от тех же причин, что и первый миф — желание легко отмазаться. На самом деле все тоньше и сложнее.
Буквальное следование этому мифу может разрушить любую аргументацию. Например, ваш оппонент начинает что-то доказывать. Он раскрывает рот, завершает первое предложение (X1), и вы требуете: а докажи-ка! Если он верит в этот миф, он должен начать доказывать (X1). Но, как только он произнесет первое предложение (X2) этого нового доказательства, вы снова требуете: а докажи-ка! И он вынужден доказывать уже X2, для чего произнести предложение X3. И так далее. Повторяться нельзя (Xj = Xi), это будет логическим циклом.
В результате бедняга утонет в бесконечной рекурсии, не сумев доказать даже X1.
А как правильно?
А правильно так. Чтобы начать какой-то логический спор, необходимо найти некие точки соприкосновения, утверждения, с которыми согласны и вы, и оппонент. Это будет основа, базис спора, аксиомы, не требующие доказательства (потому, что вы с ними заранее согласны). Например, в суде такая основа - уголовный кодекс, вы не можете отказаться соблюдать его. :)
Далее, как только в споре вы высказываете нечто такое, что не входит в список аксиом, и вы хотите, чтобы оппонент принял это за истину – вот тогда вы обязаны это доказать. При этом оппонент не обязан доказывать обратное, но может это высказать... как приглашение к доказательству. Хотя корректнее все-таки потребовать именно доказательства, но это уже придирки. Например:
Адам: X1
Ева: Согласна (X1 принято за аксиому).
Адам: X2
Ева: Согласна (X2 принято за аксиому).
Адам: X3
Ева: Неправда! (X3 не принимается за аксиому)
- в этот момент Адам не должен требовать от Евы доказательства утверждения (не X3). Он первый высказал нечто, не являющееся аксиомой. Адам должен сам доказать X3, например, логически на основе уже принятых X1, X2. Ну или он может сказать «я пас», и тогда X3 не должно в дальнейшем споре использоваться как доказанное. Впрочем, и Ева в этом случае не должна использовать (не X3) как доказанное.
В следующей серии:
Миф 4.
Гёдель доказал, что нельзя доказать все
Миф 5.
Нельзя все доказывать, надо что-то принимать на веру
Миф 6.
Бинарная логика – отстой, нечеткая спасет мир
no subject
Ну, сэр Фалькао, я думал, что уж Вам то не надо объяснять, что многократное повторение не является эффективным методом дрессировки при работе с некоторыми хищниками :)
[ Понятно, что в этой ситуации, как правило, и ссылаются на что-то вроде того, что доказывать такие вещи нет никакого смысла. ]
Но это вопрос желания/не желания, а вовсе не правило логики.
[ Про пункт 2 нами уже говорено-переговорено. ]
Но я ведь не прошу переговаривать это опять, если Вам не хочется :) Я, собственно, не врубаюсь, с чем Вы спорите? Я признаю, что упомянутая аксиома является "технической", я даже сказал, что-то в этом роде, что она очень удобна. Вы меня пытаетесь переубедить в том, в чем я уже и так убежден? :)
[ Ваш пример с "пяткой" подразумевает причинно-следственную трактовку импликации. В то время как её надо понимать "ситуационно" -- я об этом уже когда-то писал. ]
Что значит "надо"? Кому и зачем надо? В том случае, если подразумевать причинно-следственную трактовку, аксиома не работает. Вот я о чем. А что будет, если понимать как-то иначе - совсем другая тема.
[ Далее, я плохо понимаю, почему Вы говорите именно об этой технической аксиоме, когда заводите речь о принципе "из противоречия выводимо любое утверждение". ]
Попробуйте убрать ее из системы аксиом в классическом исчислении высказываний, а потом (не добавляя новых аксиом или добавляя только x => x) доказать, что (A & ~A) => B. Не получится. Придется вводить что-нибудь с тем же эффектом.
[ Предполагаем, что выполнено условие "не-B", далее указываем на то, что у нас имеет место противоречие. Как оно получено, что на это повлияло -- это не важно. Мы имеем право на основании этого отвергнуть наше предположение и считать B доказанным. ]
Ну здесь вы как раз неявно ввели правило вывода, которое дает тот же эффект: что в такой ситуации можно автоматически ставить связку не-В => противоречие. Я помню о Вашей усовершенствованной схеме изложения КИВ. Но ведь это просто вариант того же самого - та же "лукавая" аксиома, только немножко в другой форме. Кстати, в упомянутых Вами модных системах естественного вывода такой финт ушами вроде бы запрещен, поскольку гипотеза не-B не была явно использована при выводе противоречия.
[ Вот Вы говорите о практике, но на практике не может возникнуть ситуация A & не-A. ]
Вполне может - только не в наблюдаемых явлениях, а в рассуждениях о практических вещах. Например, некий физик делает предположения S1, S2, S3 насчет каких-то физических фактов, и на их основе выводит сначала A, потом не-A. Тем самым он доказывает противоречие. Из чего может сделать вывод, что по крайней мере одно из предположений S1, S2, S3 ложно. Это практично, разве нет? Как и тот Ваш пример с кактусами. Здесь Вы с чем спорите?
Про пункт 3 согласен. Там я не очень четко пояснил, Ваши дополнения полезны.
Про Гёделя именно то и хотел написать. Про веру - нет, не угадали, ну пусть будет сюрприз ;) Про парадокс лжеца - буду ждать :)
no subject
Нет, не запрещён.
> Например, некий физик делает предположения S1, S2, S3 насчет каких-то физических фактов, и на их основе выводит сначала A, потом не-A. Тем самым он доказывает противоречие. Из чего может сделать вывод, что по крайней мере одно из предположений S1, S2, S3 ложно.
Но он может сделать такой вывод, только если он считает, что в реальности противоречий не бывает.
no subject
Я допускаю, что могут быть разные системы, которые авторы называют системами "естественного" вывода. Но я имел в виду вот что. Допустим, есть некая цепочка формул, отмечающих вывод. Пусть в ней появилась формула A, а позднее появилась формула B. Можно ли на основе только этого факта написать дальше формулу A => B как доказанную? В тех системах естественного вывода, что мне встречались, требуется еще, чтобы формула A была использована хотя бы раз для получения формулы B. Собственно, это один из моментов, которые и привносят, так сказать, "естественность" :)
[ Но он может сделать такой вывод, только если он считает, что в реальности противоречий не бывает. ]
Пожалуй.
no subject
Нет. Если доказательство -- просто цепочка формул, это заведомо не система естественного вывода.
В системах ЕВ для классической и интуиционистской логики доказательство -- обычно цепочка пар {гипотезы |- следствие} (есть и другие варианты, где используются подвыводы), где гипотезы -- какое-то множество формул, а следствие -- формула. И если появилась пара {гипотезы, A |- B}, можно написать пару {гипотезы |- A => B}, независимо от того, использовалась ли A для вывода B в {гипотезы, A |- B}.
no subject
Это уже вопрос оформления и терминологии. Точно так же можно оформить доказательство и в "классике" и где угодно. Назовите формулами правую часть, а левую оформите в виде комментариев. То, что вы написали, это просто теорема дедукции. Это называют "ЕВ"? Не знаю, возможно... я не "энциклопедист".
no subject
Попробуйте. Вы увидите, что нужно ещё изменить аксиомы. Если Вы так сделаете и добавите правила вывода подходящие -- Вы как раз и получите систему ЕВ (одну из). Но у Вас не получится записать систему ЕВ в гильбертовском виде (доказательство -- цепочка формул) без дополнительной бухгалтерии.
> То, что вы написали, это просто теорема дедукции. Это называют "ЕВ"?
Нет, ЕВ -- просто сокращение "естественного вывода".
no subject
Зачем!? Я просто по другому оформлю. При дедуктивном выводе каждая новая формула получается по правилам вывода из других формул. Вот эти другие формулы я могу писать в левом столбце. :)
[ Нет, ЕВ -- просто сокращение "естественного вывода". ]
Я понял, но что именно называют "естественным выводом" и где? Я, может, тоже почитать хочу. Так сказать, кто ваш осведомитель? =)
no subject
Есть ли у Вас аксиома, которая позволяет из {Г |- A} и {Г |- B} вывести {Г |- A /\ B}?
> Я понял, но что именно называют "естественным выводом" и где?
На русском лучший (по-моему) источник -- Н. Н. Непейвода, Прикладная логика. http://ulm.uni.udm.ru/~nnn/
На английском очень хорошие книги: van Dalen, _Logic and Structure_ и Bornat, _Proof and Disproof_.
no subject
[ Есть ли у Вас аксиома, которая позволяет из {Г |- A} и {Г |- B} вывести {Г |- A /\ B}? ]
Немножко некорректно вопрос поставлен - что значит "у меня"? Какую систему возьму для рассмотрения, такая и будет у меня. Можно сделать это аксиомой, теоремой, метатеоремой, группой аксиом или правилом вывода. Смотря какую систему возьмете и как ее оформите. Чисто из эстетических соображений я бы оформил это как метатеорему.
no subject
Значительная часть его, скажем так, посторонних и околофилософских высказываний меня раздражает. Но если ограничиваться техническими вопросами -- всё нормально.
> Немножко некорректно вопрос поставлен - что значит "у меня"?
В системе, которую Вы собираетесь так оформлять.
В любом случае, лучше иметь возможность сделать это за один шаг (или, по крайней мере, за фиксированное число шагов, независимо от размера Г, A и B). То же относится к теореме дедукции и ещё нескольким аналогичным законам. В ЕВ обычно их делают правилами вывода. Если Вы будете ими пользоваться как основными методами, Вы уже на полпути к ЕВ :)
no subject