![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Самые распространенные логические заблуждения
Попытался составить список мифов, которые чаще всего употребляются со ссылкой на логику. Мифы прочные, так что я не надеюсь, что приверженцы прямо сразу осознают и покаются. :) Но пущай хоть задумаются. Или меня попинают, вдруг я сам где-то гоню. Для начала вот вам пачка из трех мифов:
Миф 1.
Невозможно (или не нужно) доказывать отсутствие чего-либо, надо доказывать присутствие.
Алиби - это пример доказательства отсутствия. Алиби доказывает отсутствие человека на месте преступления. В математике есть определенное количество утверждений, которые начинаются со слов "не существует..." Это тоже доказательства отсутствия. Например: не существует действительного числа, квадрат которого равен (-2). Или отсутствие решений уравнения. В бухгалтерии - отсутствие средств на счету :)
Миф происходит от того, что иногда доказать отсутствие чего-то очень сложно, и велико искушение "отмазаться" и свалить трудности на оппонента: мол, доказательство невозможно, а вот ты докажи-ка присутствие.
Миф 2.
Если есть противоречие, то из противоречия можно доказать все, что угодно.
Это верно только для некоторых логических систем, которые неприменимы в реальной жизни (то есть, на практике – скажем, в компьютерной системе, принимающей решения, или в юридической аргументации).
Допустим, доказано противоречие, то есть, некое утверждение:
A и не A.
На основе этого противоречия можно доказать по отдельности два утверждения:
1. A
2. не A
Для доказательства потребуются аксиомы:
Из x и y следует x.
Из x и y следует y.
- где x, y – произвольные утверждения. Эти аксиомы, в принципе, соответствуют смыслу союза «и», как мы его понимаем в обычной речи, так что все в порядке.
Однако, для того, чтобы, кроме этих A, не-A доказать произвольное утверждение B, для такого дела понадобится еще одна аксиома:
x => (y => x)
Или словами:
Из x следует, что (из y следует x).
А вот с этим проблема. В жизни мы так не доказываем. Мы не говорим: из того, что теорема Пифагора верна (x), следует, что она верна (x) потому, что у меня чешется левая пятка (y). Это неразумно. Теорема Пифагора верна потому, что ее доказал Пифагор, а не по велению моей левой пятки. :)
Миф происходит от того, что упомянутая аксиома x => (y => x) применяется очень часто, в самых «классических» логических системах. Она очень удобна для математиков и позволяет получить много интересных следствий. К сожалению, некоторые из этих следствий оказываются далеки от реальности, как сама эта аксиома. Но в пределах математики никаких ошибок нет, пока эта система рассматривается отвлеченно, абстрактно.
Миф 3.
Бремя доказательства утверждения лежит на том, кто его высказывает
Этот миф происходит от тех же причин, что и первый миф — желание легко отмазаться. На самом деле все тоньше и сложнее.
Буквальное следование этому мифу может разрушить любую аргументацию. Например, ваш оппонент начинает что-то доказывать. Он раскрывает рот, завершает первое предложение (X1), и вы требуете: а докажи-ка! Если он верит в этот миф, он должен начать доказывать (X1). Но, как только он произнесет первое предложение (X2) этого нового доказательства, вы снова требуете: а докажи-ка! И он вынужден доказывать уже X2, для чего произнести предложение X3. И так далее. Повторяться нельзя (Xj = Xi), это будет логическим циклом.
В результате бедняга утонет в бесконечной рекурсии, не сумев доказать даже X1.
А как правильно?
А правильно так. Чтобы начать какой-то логический спор, необходимо найти некие точки соприкосновения, утверждения, с которыми согласны и вы, и оппонент. Это будет основа, базис спора, аксиомы, не требующие доказательства (потому, что вы с ними заранее согласны). Например, в суде такая основа - уголовный кодекс, вы не можете отказаться соблюдать его. :)
Далее, как только в споре вы высказываете нечто такое, что не входит в список аксиом, и вы хотите, чтобы оппонент принял это за истину – вот тогда вы обязаны это доказать. При этом оппонент не обязан доказывать обратное, но может это высказать... как приглашение к доказательству. Хотя корректнее все-таки потребовать именно доказательства, но это уже придирки. Например:
Адам: X1
Ева: Согласна (X1 принято за аксиому).
Адам: X2
Ева: Согласна (X2 принято за аксиому).
Адам: X3
Ева: Неправда! (X3 не принимается за аксиому)
- в этот момент Адам не должен требовать от Евы доказательства утверждения (не X3). Он первый высказал нечто, не являющееся аксиомой. Адам должен сам доказать X3, например, логически на основе уже принятых X1, X2. Ну или он может сказать «я пас», и тогда X3 не должно в дальнейшем споре использоваться как доказанное. Впрочем, и Ева в этом случае не должна использовать (не X3) как доказанное.
В следующей серии:
Миф 4.
Гёдель доказал, что нельзя доказать все
Миф 5.
Нельзя все доказывать, надо что-то принимать на веру
Миф 6.
Бинарная логика – отстой, нечеткая спасет мир
Миф 1.
Невозможно (или не нужно) доказывать отсутствие чего-либо, надо доказывать присутствие.
Алиби - это пример доказательства отсутствия. Алиби доказывает отсутствие человека на месте преступления. В математике есть определенное количество утверждений, которые начинаются со слов "не существует..." Это тоже доказательства отсутствия. Например: не существует действительного числа, квадрат которого равен (-2). Или отсутствие решений уравнения. В бухгалтерии - отсутствие средств на счету :)
Миф происходит от того, что иногда доказать отсутствие чего-то очень сложно, и велико искушение "отмазаться" и свалить трудности на оппонента: мол, доказательство невозможно, а вот ты докажи-ка присутствие.
Миф 2.
Если есть противоречие, то из противоречия можно доказать все, что угодно.
Это верно только для некоторых логических систем, которые неприменимы в реальной жизни (то есть, на практике – скажем, в компьютерной системе, принимающей решения, или в юридической аргументации).
Допустим, доказано противоречие, то есть, некое утверждение:
A и не A.
На основе этого противоречия можно доказать по отдельности два утверждения:
1. A
2. не A
Для доказательства потребуются аксиомы:
Из x и y следует x.
Из x и y следует y.
- где x, y – произвольные утверждения. Эти аксиомы, в принципе, соответствуют смыслу союза «и», как мы его понимаем в обычной речи, так что все в порядке.
Однако, для того, чтобы, кроме этих A, не-A доказать произвольное утверждение B, для такого дела понадобится еще одна аксиома:
x => (y => x)
Или словами:
Из x следует, что (из y следует x).
А вот с этим проблема. В жизни мы так не доказываем. Мы не говорим: из того, что теорема Пифагора верна (x), следует, что она верна (x) потому, что у меня чешется левая пятка (y). Это неразумно. Теорема Пифагора верна потому, что ее доказал Пифагор, а не по велению моей левой пятки. :)
Миф происходит от того, что упомянутая аксиома x => (y => x) применяется очень часто, в самых «классических» логических системах. Она очень удобна для математиков и позволяет получить много интересных следствий. К сожалению, некоторые из этих следствий оказываются далеки от реальности, как сама эта аксиома. Но в пределах математики никаких ошибок нет, пока эта система рассматривается отвлеченно, абстрактно.
Миф 3.
Бремя доказательства утверждения лежит на том, кто его высказывает
Этот миф происходит от тех же причин, что и первый миф — желание легко отмазаться. На самом деле все тоньше и сложнее.
Буквальное следование этому мифу может разрушить любую аргументацию. Например, ваш оппонент начинает что-то доказывать. Он раскрывает рот, завершает первое предложение (X1), и вы требуете: а докажи-ка! Если он верит в этот миф, он должен начать доказывать (X1). Но, как только он произнесет первое предложение (X2) этого нового доказательства, вы снова требуете: а докажи-ка! И он вынужден доказывать уже X2, для чего произнести предложение X3. И так далее. Повторяться нельзя (Xj = Xi), это будет логическим циклом.
В результате бедняга утонет в бесконечной рекурсии, не сумев доказать даже X1.
А как правильно?
А правильно так. Чтобы начать какой-то логический спор, необходимо найти некие точки соприкосновения, утверждения, с которыми согласны и вы, и оппонент. Это будет основа, базис спора, аксиомы, не требующие доказательства (потому, что вы с ними заранее согласны). Например, в суде такая основа - уголовный кодекс, вы не можете отказаться соблюдать его. :)
Далее, как только в споре вы высказываете нечто такое, что не входит в список аксиом, и вы хотите, чтобы оппонент принял это за истину – вот тогда вы обязаны это доказать. При этом оппонент не обязан доказывать обратное, но может это высказать... как приглашение к доказательству. Хотя корректнее все-таки потребовать именно доказательства, но это уже придирки. Например:
Адам: X1
Ева: Согласна (X1 принято за аксиому).
Адам: X2
Ева: Согласна (X2 принято за аксиому).
Адам: X3
Ева: Неправда! (X3 не принимается за аксиому)
- в этот момент Адам не должен требовать от Евы доказательства утверждения (не X3). Он первый высказал нечто, не являющееся аксиомой. Адам должен сам доказать X3, например, логически на основе уже принятых X1, X2. Ну или он может сказать «я пас», и тогда X3 не должно в дальнейшем споре использоваться как доказанное. Впрочем, и Ева в этом случае не должна использовать (не X3) как доказанное.
В следующей серии:
Миф 4.
Гёдель доказал, что нельзя доказать все
Миф 5.
Нельзя все доказывать, надо что-то принимать на веру
Миф 6.
Бинарная логика – отстой, нечеткая спасет мир
Миф 2
Если используется теория первого порядка, то в ней имеется набор истинных и ложных утверждений. Все они обладают тем свойством, что представляют собой двунаправленный граф, в вершинах которого находятся истинные и ложные утверждения, а из истинной точки можно попасть в другую точку с помощью правил логики (и в стороне от графов стоят невыводимые утверждения в рамках данной теории).
Т.е. если мы имеем истинное значение x=y (теория арифметики), то из этого выводимо x+1=y+1. Если мы имеем x+1=y+1, то из этого выводимо x=y. Т.е. две вершины (x=y x+1=y+1 и ребро между ними).
Тжс для ложных утверждений в рамках теории.
Далее. Если мы обнаруживаем противоречие, то это означает, что графы истинных и ложных утверждений пересеклись. А так как графы двунаправленные, то все утверждения в данных графах становятся одновременно и истинными, и ложными. Т.е. вся теория становится противоречивой.
При этом становится противоречивой именно вся теория. А то, что ты написал - это утверждение, которое невыводимо в рамках данной теории. Оно как было невыводимым (т.е. неизвестным) до обнаружения противоречия, так оно и осталось после обнаружения.
Поэтому если обнаружено противоречие, то саму теорию можно выбрасывать на свалку. И доказать с помощью неё ничего не получится. И это "противоречия можно доказать все, что угодно" уже не имеет никакого смысла, т.к. если есть что-то, из чего выводится и A, и не А, то чем руководствоваться - А или не А? Никакой пользы и никакого смысла в теории нету если она противоречива.
Потому это не миф именно в том смысле, что
"Если есть противоречие, то из противоречия можно доказать все, что угодно. "
можно переформулировать более корректно
"Если есть противоречие, то из противоречия можно доказать все, что угодно, а следовательно, такое док-во будет бессмысленно".
no subject
Что значит теория первого порядка? (может, я не так понял)
Разве набор истинных и ложных? Это уже интерпретация. Может, доказанных и недоказанных? Или доказанных и опровергнутых?
no subject
Именно истинных и ложных.
Если взять теорию арифметики, то в ней "x+x=2*x" - истинное выводимое выражение, "x=x+1" - ложное, а невыводимое - это то, что обязательно существует согласно тому, что доказал Гёдель.
Доказанное - это вероятно то, что уже выведено как истинное или ложное в рамках теории. Т.е. путь по графу от какого-то принятого аксиоматического базиса по правилам логики пройден.
no subject
no subject
no subject
no subject
При пересечении графов истинных и ложных утверждений имеем противоречие, которое говорит о том, что как минимум одна из исходных посылок неверна. И нет никакой гарантии того, что все истинные или ложные утверждения не окажутся противоречивыми.
В принципе, хотелось бы взглянуть на теорию, в которой есть и истинные, и ложные, и противоречивые, и невыводимые утверждения. При чем чтобы было доказано (например полным перебором), что истинные и ложные не являются противоречивыми. Есть?
no subject
Вот с таким вариантом согласен. Что нет гарантии - ну нет и нет, ее часто нет и для тех систем, для которых противоречий на данный момент не найдено. Я к тому, что из этого нельзя в общем случае вывести ложность остальных истинных утверждений.
[ В принципе, хотелось бы взглянуть на теорию, в которой есть и истинные, и ложные, и противоречивые, и невыводимые утверждения. ]
Аксиомы:
A
не А
B
Правила вывода:
x |- x
(сама из себя)
x |- не не x
(двойное отрицание)
не не x |- x
Формулы:
A,
B,
не (формула)
Интерпретация Tr(формула) = истинность:
Tr(A) = false
Tr(B) = true
Tr(не (формула)) = ~Tr(формула)
В этой системе есть истинные (A), ложные (B), противоречивые (выводимы (не не A) и (не A)) и невыводимые (не B). При этом все выводимые из B формулы не ведут к противоречиям.
no subject
В таком варианте конечно же миф.
P.S. За теорию спасибо. Взять свои простейшие бинарные операции мне как-то не приходило..
no subject