![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Самые распространенные логические заблуждения
В первой части я кое где схалтурил, но исправлять уже не буду, лениво, пусть останется с дефектами как урок мне, что со зверской головной болью надо спать, а не писать. :) Продолжу дальше. В этом посте тоже будет три части, каждая, возможно, достойна отдельного поста, но увы - я плохо забочусь о поддержании "рекламной красоты" своего бложека.
Миф 4.
Гёдель доказал, что нельзя доказать все
Миф состоит в том, что теоремы Гёделя применяют там, где их применять нельзя. Что именно доказал Гёдель (и его последователи)? Они доказали, что в аксиоматической системе, основанной на классическом исчислении предикатов и арифметике Пеано, существуют недоказуемые утверждения, и среди таких утверждений - непротиворечивость системы.
Пояснения к терминам:
"Аксиоматическая система" или коротко "аксиоматика" - система логических рассуждений, в которой есть аксиомы и правила вывода, и все утверждения выводятся строго на основе этих аксиом и правил, не прибегая к дополнительным средствам.
"Классическое исчисление предикатов" (КИП) - аксиоматическая система, описывающая основные логические операции: "и", "или", "не", а также предикаты и два квантора ("для всех" и "существует"). Это совсем не то же самое, что булева алгебра, привычная программистам, но некий ее "дальний родственник". Есть множество вариантов КИП по-разному построенных и в разной степени "навороченных". Вот, некий вариант используется в теореме Гёделя.
И сразу одна "неприятность": обычно в КИП используется та самая аксиома
A => (B => A).
"Арифметика Пеано" - это способ изложить арифметику в форме аксиоматики. Речь идет о самой обычной арифметике, которую проходят в школе, но тут попытка оформить ее как систему аксиом.
"Основанной на" - то есть, некая аксиоматика, в которой есть аксиомы КИП, аксиомы арифметики Пеано, и может быть еще какое-то количество аксиом, добавленных с некоторыми оговорками.
Что это может быть за система? Ну например, некая значительная часть математики, скажем, весь матанализ (дифференциальное и интегральное исчисление). Вот если попытаться выстроить "матан" именно как аксиоматическую систему на базе КИП и арифметики Пеано, то получится нечто (аксиоматизированный матан).
И это нечто не сможет доказать отсутствие противоречий в самом себе.
А еще что не сможет доказать? Про любую произвольную формулу нельзя сказать, можно ее доказать или нет, но вот по крайней мере отсутствие противоречий доказать нельзя.
Если хочется доказать непротиворечивость, придется создавать какую-то совсем принципиально иную систему, поскольку известно, что добавление новых аксиом не спасает.
Каково практическое применение этой теоремы вне математики? Похоже, что никакое. Вне математики строгие аксиоматические системы не используются. В естественных науках как метод доказательства применяется эксперимент, неполная индукция, разные нестрогие (по меркам математики) рассуждения, которые к аксиоматическим системам отношения не имеют.
Тем не менее, Гёделя постоянно поминают всуе. Обычно это происходит, когда кто-нибудь пытается обосновать свой "гносеологический пессимизм" (С) falcao. То бишь, заявить, что некую проблему невозможно решить или некое утверждение невозможно доказать. И дальше следует ссылка на Гёделя. Но то, что невозможно доказать согласно Гёделю, обычно не равно тому, что обсуждается. Создается впечатление, что Гёдель дал этим товарищам своего рода индульгенцию: право ставить клеймо "недоказуемо" на произвольно выбранные утверждения.
Миф 5.
Нельзя все доказывать, надо что-то принимать на веру
Начну с простого примера. Пусть у вас есть уравнение: x + 5 = y. Уравнение в действительных числах. Пусть нам даже известен повод, по которому уравнение было составлено. Скажем, нам стало известно, что цена за бутылку пива "Уебалтика" на 5 рублей выше, чем цена за бутылку пива "Хуевское". Переменные x и y как раз выбраны по первым буквам марок пива.
Мы знаем, что величина x - вполне определенное число, выражающее цену в рублях, но не знаем, какое именно Из уравнения мы можем получить следствия, например, узнать, насколько дешевле обойдется ящик хуевского пива. Обратите внимание, что мы не обязаны верить в то, что переменная x равна конкретному числу 20, 30 или 40.
Примерно так же обстоит дело во всех других случаях, когда вам навязывают мысль, что надо непременно во что-то верить. Кроме состояний "истина" и "ложь", есть еще куча переменных с неизвестными значениями. Это не третье состояние, это вообще "перпендикулярная" характеристика. Например, если вы хотите заключить сделку и не уверены в честности партнера, то должны ли вы непременно уверовать в его честность или уверовать в его нечестность? Не лучше ли сохранить трезвомыслие и сказать себе: я не знаю, обманет ли он меня, я осознаю, что есть риск и действую с учетом этого риска?
Наброс: если девушка клянется вам в любви, должны ли вы ей верить?
Миф 6.
Бинарная логика – отстой, нечеткая спасет мир
Правильно говорить не бинарная, а двузначная. Бинарный - это код в компьютерах. Двузначная логика рассматривает крайности - либо "ложь", либо "истина". Нечеткая рассматривает некие промежуточные состояния, скажем "почти ложно" или "ближе к истине". Сразу припоминаются луркморовские мемы вроде "чуть более, чем наполовину" :)
Я люблю приводить пример про желтого цыпленка.
Если посмотреть внимательно, окажется, что он не совсем желтый. Глаза у него черные, лапки коричневые, а клюв - розовый. По мере взросления цыпленок покрывается белыми перьями вместо желтого пуха. И в какой-то момент он перестает восприниматься как желтый и начинает восприниматься как двуцветный, пестрый, линяющий.
Когда наступает этот момент? Какой процент тела должен сменить цвет, чтобы утверждение "цыпленок желтый" стало ложным (заметьте: это пока двузначная логика)?
Оказывается, что разные люди по-разному будут проводить границу, процент будет разным. Это связано с тем, что для большинства слов "обыденного" языка не установлены строгие стандартные границы, так что каждый человек сам устанавливает границу на свой вкус. Если взять определенного полинявшего цыпленка и посчитать процент людей, которые все еще считают его желтым, то получится некая величина - не истина и не ложь, а некое "усредненное мнение".
Уверен, вы сталкивались с такими процентами в жизни. Это - выборы. Хорош ли кандидат в президенты Волков? 40% избирателей считают, что да. Не истина и не ложь. Это и есть нечеткая логика. Ну и как... спасает она мир? :)
Миф 4.
Гёдель доказал, что нельзя доказать все
Миф состоит в том, что теоремы Гёделя применяют там, где их применять нельзя. Что именно доказал Гёдель (и его последователи)? Они доказали, что в аксиоматической системе, основанной на классическом исчислении предикатов и арифметике Пеано, существуют недоказуемые утверждения, и среди таких утверждений - непротиворечивость системы.
Пояснения к терминам:
"Аксиоматическая система" или коротко "аксиоматика" - система логических рассуждений, в которой есть аксиомы и правила вывода, и все утверждения выводятся строго на основе этих аксиом и правил, не прибегая к дополнительным средствам.
"Классическое исчисление предикатов" (КИП) - аксиоматическая система, описывающая основные логические операции: "и", "или", "не", а также предикаты и два квантора ("для всех" и "существует"). Это совсем не то же самое, что булева алгебра, привычная программистам, но некий ее "дальний родственник". Есть множество вариантов КИП по-разному построенных и в разной степени "навороченных". Вот, некий вариант используется в теореме Гёделя.
И сразу одна "неприятность": обычно в КИП используется та самая аксиома
A => (B => A).
"Арифметика Пеано" - это способ изложить арифметику в форме аксиоматики. Речь идет о самой обычной арифметике, которую проходят в школе, но тут попытка оформить ее как систему аксиом.
"Основанной на" - то есть, некая аксиоматика, в которой есть аксиомы КИП, аксиомы арифметики Пеано, и может быть еще какое-то количество аксиом, добавленных с некоторыми оговорками.
Что это может быть за система? Ну например, некая значительная часть математики, скажем, весь матанализ (дифференциальное и интегральное исчисление). Вот если попытаться выстроить "матан" именно как аксиоматическую систему на базе КИП и арифметики Пеано, то получится нечто (аксиоматизированный матан).
И это нечто не сможет доказать отсутствие противоречий в самом себе.
А еще что не сможет доказать? Про любую произвольную формулу нельзя сказать, можно ее доказать или нет, но вот по крайней мере отсутствие противоречий доказать нельзя.
Если хочется доказать непротиворечивость, придется создавать какую-то совсем принципиально иную систему, поскольку известно, что добавление новых аксиом не спасает.
Каково практическое применение этой теоремы вне математики? Похоже, что никакое. Вне математики строгие аксиоматические системы не используются. В естественных науках как метод доказательства применяется эксперимент, неполная индукция, разные нестрогие (по меркам математики) рассуждения, которые к аксиоматическим системам отношения не имеют.
Тем не менее, Гёделя постоянно поминают всуе. Обычно это происходит, когда кто-нибудь пытается обосновать свой "гносеологический пессимизм" (С) falcao. То бишь, заявить, что некую проблему невозможно решить или некое утверждение невозможно доказать. И дальше следует ссылка на Гёделя. Но то, что невозможно доказать согласно Гёделю, обычно не равно тому, что обсуждается. Создается впечатление, что Гёдель дал этим товарищам своего рода индульгенцию: право ставить клеймо "недоказуемо" на произвольно выбранные утверждения.
Миф 5.
Нельзя все доказывать, надо что-то принимать на веру
Начну с простого примера. Пусть у вас есть уравнение: x + 5 = y. Уравнение в действительных числах. Пусть нам даже известен повод, по которому уравнение было составлено. Скажем, нам стало известно, что цена за бутылку пива "Уебалтика" на 5 рублей выше, чем цена за бутылку пива "Хуевское". Переменные x и y как раз выбраны по первым буквам марок пива.
Мы знаем, что величина x - вполне определенное число, выражающее цену в рублях, но не знаем, какое именно Из уравнения мы можем получить следствия, например, узнать, насколько дешевле обойдется ящик хуевского пива. Обратите внимание, что мы не обязаны верить в то, что переменная x равна конкретному числу 20, 30 или 40.
Примерно так же обстоит дело во всех других случаях, когда вам навязывают мысль, что надо непременно во что-то верить. Кроме состояний "истина" и "ложь", есть еще куча переменных с неизвестными значениями. Это не третье состояние, это вообще "перпендикулярная" характеристика. Например, если вы хотите заключить сделку и не уверены в честности партнера, то должны ли вы непременно уверовать в его честность или уверовать в его нечестность? Не лучше ли сохранить трезвомыслие и сказать себе: я не знаю, обманет ли он меня, я осознаю, что есть риск и действую с учетом этого риска?
Наброс: если девушка клянется вам в любви, должны ли вы ей верить?
Миф 6.
Бинарная логика – отстой, нечеткая спасет мир
Правильно говорить не бинарная, а двузначная. Бинарный - это код в компьютерах. Двузначная логика рассматривает крайности - либо "ложь", либо "истина". Нечеткая рассматривает некие промежуточные состояния, скажем "почти ложно" или "ближе к истине". Сразу припоминаются луркморовские мемы вроде "чуть более, чем наполовину" :)
Я люблю приводить пример про желтого цыпленка.
Если посмотреть внимательно, окажется, что он не совсем желтый. Глаза у него черные, лапки коричневые, а клюв - розовый. По мере взросления цыпленок покрывается белыми перьями вместо желтого пуха. И в какой-то момент он перестает восприниматься как желтый и начинает восприниматься как двуцветный, пестрый, линяющий.
Когда наступает этот момент? Какой процент тела должен сменить цвет, чтобы утверждение "цыпленок желтый" стало ложным (заметьте: это пока двузначная логика)?
Оказывается, что разные люди по-разному будут проводить границу, процент будет разным. Это связано с тем, что для большинства слов "обыденного" языка не установлены строгие стандартные границы, так что каждый человек сам устанавливает границу на свой вкус. Если взять определенного полинявшего цыпленка и посчитать процент людей, которые все еще считают его желтым, то получится некая величина - не истина и не ложь, а некое "усредненное мнение".
Уверен, вы сталкивались с такими процентами в жизни. Это - выборы. Хорош ли кандидат в президенты Волков? 40% избирателей считают, что да. Не истина и не ложь. Это и есть нечеткая логика. Ну и как... спасает она мир? :)
логическая "прачечная" :)
Давайте поставим вопрос так. Пусть некто принял принцип "из противоречия следует всё что угодно". Уточнять смысл этого всего пока не будем. Попробуйте мне указать ситуацию, когда принятие этого принципа может повлечь за собой нежелательные последствия.
Как его кто-либо мог бы попытаться использовать "в порочных целях"?
То есть пока я на самом деле не могу взять в толк, откуда тут может возникнуть какая бы то ни было трудность или опасность. У меня пока такое впечатление, что какой бы пример Вы не привели, я всегда смогу "отмыть" сам принцип, указав на некорректность чего-то совершенно другого.
Re: логическая "прачечная" :)
Ага. А то опять окончится обсуждение "ничем", и Вы мне потом скажете, дескать а чего это я все о том же :)
Во-первых, я, наверное, пурист :) Ежели какая-то модель не соответствует моделируемому объекту, то я сразу пытаюсь исправить модель, а не говорить, что может, как-нибудь обойдется. В таком направлении я не всегда думаю: а что будет, если поесть развесистой клюквы. :) Может, и ничего не будет, но что же теперь каждую клюкву изучать? Так что над Вашим вопросом я особо не думал, думать придется прямо щаз :)
Предположим, что мы создаем экспертную систему, может быть, даже какой-то элемент AI, и кладем в ее основу логическую систему. Не буду нагнетать обстановку, говоря, что она управляет АЭС :) Пусть работает с чем-то по-проще, но с некой энерговооруженностью, так что ошибка может привести к замыканию, пожару, в общем, к неприятностям.
На входе в эту систему человеком-оператором подается некое утверждение A как правдоподобное предположение. Это нормально для реальной жизни: мы сами постоянно получаем извне правдоподобные утверждения из достоверных источников, хотя и допускаем, что это может быть ложью. То есть, для системы A - это, строго говоря, гипотеза.
Система начинает "обдумывать" A, и через некоторое время выводит из него B. Пусть внутри системы есть утверждение не-B. Это противоречие. Если система действует по "человеческой" логике, она из противоречия сможет кое-что вывести. Не все, что угодно, а кое-что. Например, применит modus tollens и сообщит оператору, что по ее предположению A ложно. Таким образом оператор получит полезную информацию о том, что он, возможно, совершил ошибку при вводе. Он может настоять на своем, дескать, я проверил, A все же верно. Тогда система, подумав "по-человечески" сообщит, что в системе обнаружена заведомо ложная информация. Возможно, ложно какое-то из утверждений, использованных при выводе A |- B (опять же modus tollens) или, может быть, ложно не-B по закону исключенного третьего. Все это полезные для оператора сообщения, которые помогут ему либо при эксплуатации системы, либо при ее настройке.
А теперь представьте себе, что в систему заложено правило из противоречия следует все. Тогда система сможет из полученного противоречия получить выводы о необходимости какого-то случайного действия, скажем, замыкания контактов, перегрузки генератора... и т.п. Вместо указания на ошибку оператора, в системе начнется анархия.
в новом преломлении
Кстати, сейчас я ещё придумал похожий пример на тему. Допустим, в систему введены логические формулы, в одной из которых есть опечатка. Понятно, что система аксиом, которая при этом возникает, может запросто стать противоречивой, но если об этом не знать заранее, то можно начать что-то "выводить", и тоже получится какая-нибудь чушь. Поэтому хотелось бы какой-то более "мягкой" реакции, которая бы выводила нас к проверке правильности введённых формул, а не к "штурму Константинополя" :)
Поскольку я в этом направлении практически никогда не думал, то у меня и готового ответа пока нет. Но я с удовольствием это попробую осмыслить, а потом о результатах как-либо "доложу". Может быть, прямо у Вас, а если это всё вырастет до размеров поста, то тогда у себя.
Re: в новом преломлении
:))))
Ну как-то так. Мне, кстати, придумался более реальный пример - роботы, которые ползают по Марсу. У них же есть свой AI, принимающий решения. Cигнал летит туда-обратно сколько-то минут, так что напрямую командовать не получается. Разумно предположить, что со временем AI роботов будет постепенно усложняться. А операторы могут ошибаться. Один из наших "Фобосов" был потерян из-за того, что ему приказали "штурмовать Константинополь" - послали код команды "ребут", перепутав с другой, безобидной :)
Re: в новом преломлении