Самые распространенные логические заблуждения

[psilogic]

В первой части я кое где схалтурил, но исправлять уже не буду, лениво, пусть останется с дефектами как урок мне, что со зверской головной болью надо спать, а не писать. :) Продолжу дальше. В этом посте тоже будет три части, каждая, возможно, достойна отдельного поста, но увы - я плохо забочусь о поддержании "рекламной красоты" своего бложека.

Миф 4.
Гёдель доказал, что нельзя доказать все

Миф состоит в том, что теоремы Гёделя применяют там, где их применять нельзя. Что именно доказал Гёдель (и его последователи)? Они доказали, что в аксиоматической системе, основанной на классическом исчислении предикатов и арифметике Пеано, существуют недоказуемые утверждения, и среди таких утверждений - непротиворечивость системы.

Пояснения к терминам:

"Аксиоматическая система" или коротко "аксиоматика" - система логических рассуждений, в которой есть аксиомы и правила вывода, и все утверждения выводятся строго на основе этих аксиом и правил, не прибегая к дополнительным средствам.

"Классическое исчисление предикатов" (КИП) - аксиоматическая система, описывающая основные логические операции: "и", "или", "не", а также предикаты и два квантора ("для всех" и "существует"). Это совсем не то же самое, что булева алгебра, привычная программистам, но некий ее "дальний родственник". Есть множество вариантов КИП по-разному построенных и в разной степени "навороченных". Вот, некий вариант используется в теореме Гёделя.

И сразу одна "неприятность": обычно в КИП используется та самая аксиома
A => (B => A).

"Арифметика Пеано" - это способ изложить арифметику в форме аксиоматики. Речь идет о самой обычной арифметике, которую проходят в школе, но тут попытка оформить ее как систему аксиом.

"Основанной на" - то есть, некая аксиоматика, в которой есть аксиомы КИП, аксиомы арифметики Пеано, и может быть еще какое-то количество аксиом, добавленных с некоторыми оговорками.

Что это может быть за система? Ну например, некая значительная часть математики, скажем, весь матанализ (дифференциальное и интегральное исчисление). Вот если попытаться выстроить "матан" именно как аксиоматическую систему на базе КИП и арифметики Пеано, то получится нечто (аксиоматизированный матан).

И это нечто не сможет доказать отсутствие противоречий в самом себе.

А еще что не сможет доказать? Про любую произвольную формулу нельзя сказать, можно ее доказать или нет, но вот по крайней мере отсутствие противоречий доказать нельзя.

Если хочется доказать непротиворечивость, придется создавать какую-то совсем принципиально иную систему, поскольку известно, что добавление новых аксиом не спасает.

Каково практическое применение этой теоремы вне математики? Похоже, что никакое. Вне математики строгие аксиоматические системы не используются. В естественных науках как метод доказательства применяется эксперимент, неполная индукция, разные нестрогие (по меркам математики) рассуждения, которые к аксиоматическим системам отношения не имеют.

Тем не менее, Гёделя постоянно поминают всуе. Обычно это происходит, когда кто-нибудь пытается обосновать свой "гносеологический пессимизм" (С) falcao. То бишь, заявить, что некую проблему невозможно решить или некое утверждение невозможно доказать. И дальше следует ссылка на Гёделя. Но то, что невозможно доказать согласно Гёделю, обычно не равно тому, что обсуждается. Создается впечатление, что Гёдель дал этим товарищам своего рода индульгенцию: право ставить клеймо "недоказуемо" на произвольно выбранные утверждения.


Миф 5.
Нельзя все доказывать, надо что-то принимать на веру

Начну с простого примера. Пусть у вас есть уравнение: x + 5 = y. Уравнение в действительных числах. Пусть нам даже известен повод, по которому уравнение было составлено. Скажем, нам стало известно, что цена за бутылку пива "Уебалтика" на 5 рублей выше, чем цена за бутылку пива "Хуевское". Переменные x и y как раз выбраны по первым буквам марок пива.

Мы знаем, что величина x - вполне определенное число, выражающее цену в рублях, но не знаем, какое именно Из уравнения мы можем получить следствия, например, узнать, насколько дешевле обойдется ящик хуевского пива. Обратите внимание, что мы не обязаны верить в то, что переменная x равна конкретному числу 20, 30 или 40.

Примерно так же обстоит дело во всех других случаях, когда вам навязывают мысль, что надо непременно во что-то верить. Кроме состояний "истина" и "ложь", есть еще куча переменных с неизвестными значениями. Это не третье состояние, это вообще "перпендикулярная" характеристика. Например, если вы хотите заключить сделку и не уверены в честности партнера, то должны ли вы непременно уверовать в его честность или уверовать в его нечестность? Не лучше ли сохранить трезвомыслие и сказать себе: я не знаю, обманет ли он меня, я осознаю, что есть риск и действую с учетом этого риска?

Наброс: если девушка клянется вам в любви, должны ли вы ей верить?


Миф 6.
Бинарная логика – отстой, нечеткая спасет мир

Правильно говорить не бинарная, а двузначная. Бинарный - это код в компьютерах. Двузначная логика рассматривает крайности - либо "ложь", либо "истина". Нечеткая рассматривает некие промежуточные состояния, скажем "почти ложно" или "ближе к истине". Сразу припоминаются луркморовские мемы вроде "чуть более, чем наполовину" :)

Я люблю приводить пример про желтого цыпленка.

Если посмотреть внимательно, окажется, что он не совсем желтый. Глаза у него черные, лапки коричневые, а клюв - розовый. По мере взросления цыпленок покрывается белыми перьями вместо желтого пуха. И в какой-то момент он перестает восприниматься как желтый и начинает восприниматься как двуцветный, пестрый, линяющий.

Когда наступает этот момент? Какой процент тела должен сменить цвет, чтобы утверждение "цыпленок желтый" стало ложным (заметьте: это пока двузначная логика)?

Оказывается, что разные люди по-разному будут проводить границу, процент будет разным. Это связано с тем, что для большинства слов "обыденного" языка не установлены строгие стандартные границы, так что каждый человек сам устанавливает границу на свой вкус. Если взять определенного полинявшего цыпленка и посчитать процент людей, которые все еще считают его желтым, то получится некая величина - не истина и не ложь, а некое "усредненное мнение".

Уверен, вы сталкивались с такими процентами в жизни. Это - выборы. Хорош ли кандидат в президенты Волков? 40% избирателей считают, что да. Не истина и не ложь. Это и есть нечеткая логика. Ну и как... спасает она мир? :)

Comments

[eviga.livejournal.com]

не поняла про второе, то есть нельзя верить, что Х вообще число и что к нему можно прибавлять и тоже получить число? А в чем тогда будет измеряться цена и зачем тогда было составлено "уравнение"?

[psilogic.livejournal.com]

Не нужно верить, что X равно именно 20.

[eviga.livejournal.com]

а кто ж верит :))) просто если говорить, что ящик одного пива стоит дороже, так просто нужно знать, сколько бутылок в ящике и умножить на 5 )))

а сколько стоит пиво "Х" из уравнения все равно никогда не будет понятно )))

[daddym.livejournal.com]

Да миф по поводу Геделя пользуется популярностью даже среди людей способных его асилить. К примеру Пенроуз его активно эксплуатирует.
Но собственно элементарный ввод той самой нечеткой логики из пп 6 сразу превращает его аргументацию в гавно:)
Кстати еще популярный миф - якобы отсутствие по настоящему случайных чисел в компьютере. Иллюстрация абсолютной безграмотности.

[psilogic.livejournal.com]

ну если привнести в комп элемент случайности извне или поюзать аппаратный генератор случайных чисел...

[daddym.livejournal.com]

Угу, стабилитрон на ком порт, и все дела.

[keruah.livejournal.com]

так чего, есть случайные числа программно?

[daddym.livejournal.com]

Есть случайные числа для программы. А уж как они получаются, дело десятое.

[starmaugli.livejournal.com]

Ничто не противоречит ни чему. :)

пресловутая формула

[falcao.livejournal.com]

> обычно в КИП используется та самая аксиома A => (B => A)

Эк далась она Вам! :) Я вот никак не могу взять в толк, чем она Вас не устраивает, и чего Вы от неё хотите.

Прежде всего, нужно понимать, что КИП можно вводить по-разному. Если мы хотим, чтобы всякая тавтология (классического) исчисления высказываний была доказуема, то пресловутая формула окажется доказуемой, поскольку тавтологией она является.

По поводу веры: Вы привели некий пример, где удаётся избегать принятия на веру каких-то лишних предположений. Но не кажется ли Вам, что основная слабость критикуемого Вами приёма заключается вообще в другом? Я бы поступил так: согласился бы с тем, что и в самом деле ЧТО-ТО на веру иногда мы принимаем. Но разве это означает, что мы должны какие попало предлагаемые вещи принимать на веру? Типа того, что вот иногда люди что-то покупают, поэтому купите швабру "смарт-моп" или "чудо-пятновыводитель" :)

[psilogic.livejournal.com]

[ Я вот никак не могу взять в толк, чем она Вас не устраивает, и чего Вы от неё хотите. ]

Я ничего от нее не хочу, и она меня устраивает. Меня не устраивает, когда логическая система применяется некорректно. Логические системы, основанные на этой аксиоме, нельзя применять для формализации речевых конструкций если ... то... и родственных. Возможно, слово "нельзя" здесь слишком сильное - скажем так, это чИрЬевато ошибками. Так что, когда кто-то утверждает, что из противоречия следует все, у меня сразу вопрос: следует как именно, в каких обстоятельствах? С применением какой логической системы? С применением ее для чего? Если для формализации условных конструкций применяются системы с материальной импликацией (или чем-то подобным), тогда извините, братцы кролики, не удивляйтесь, если ваша морковка превратится в развесистую клюкву. :)

Мне казалось, я много раз это Вам объяснял, но Вы все не можете взять в толк. Вы мне в таких случаях говорите, что импликацию можно трактовать еще и как-нибудь вот так... Но я же не об этом! Я же о вполне определенной ошибочное трактовке импликации говорю. О безошибочных трактовках я не говорю.

[ Но разве это означает, что мы должны какие попало предлагаемые вещи принимать на веру? ]

В принципе, да. Но, видимо, у кого что болит - мне больше захотелось поговорить о другом :)

логическая "прачечная" :)

[falcao.livejournal.com]

Ага, сейчас, возможно, представился хороший шанс для прояснения -- надо бы его не упустить. Я, кажется, понял, какой род проблемы Вы имеете в виду. А также понял, почему я обычно проходил мимо этого -- по причине твёрдой уверенности, что такая вещь не может привести к реальным проблемам. В такой же мере, как не может никаких проблем быть с двузначной логикой -- несмотря на "парадокс лжеца" и прочее. То есть я верю в то, что причина возникновения проблемы если и есть, то другая.

Давайте поставим вопрос так. Пусть некто принял принцип "из противоречия следует всё что угодно". Уточнять смысл этого всего пока не будем. Попробуйте мне указать ситуацию, когда принятие этого принципа может повлечь за собой нежелательные последствия.
Как его кто-либо мог бы попытаться использовать "в порочных целях"?

То есть пока я на самом деле не могу взять в толк, откуда тут может возникнуть какая бы то ни было трудность или опасность. У меня пока такое впечатление, что какой бы пример Вы не привели, я всегда смогу "отмыть" сам принцип, указав на некорректность чего-то совершенно другого.

[bajaz.livejournal.com]

ответ на наброс: б-гогугодный ответ должен быть положительным. вспомни Самсона :)

[eugenebo.livejournal.com]

Хмм... К мифу №5. Если "доказать утверждение A" означает "пользуясь исключительно механизмами формальной логики, показать, что верность А следует из значений некоторого множества других утверждений Г", то я не понимаю, как это можно сделать, если Г пусто. Идеи?

[psilogic.livejournal.com]

1. Можно начать логический вывод из A (держа в уме, что это только гипотеза) и в случает получения противоречий с какими-то существующими уже доказанными утверждениями, сделать вывод, что A ложно. Таким образом доказать не-A.

2. В реальности мы можем почти неограниченно расширять Г в нужную нам сторону путем экспериментов.

Миф 4

[bsivko.livejournal.com]

Гёдель для неокрепших умов это да. Целая беда.
Ссылаются все кому не лень и как попало. У меня на пути процентов 90 как минимум таких было что ни толком ни лыком не вяжут о чем она. Даже не знают что теорем Гёделя две, не то, чтобы понимать что такое формальная арифметика или ещё что-то.

Re: Миф 4

[psilogic.livejournal.com]

теорем у Гёделя до хрена :))))

Миф 5

[bsivko.livejournal.com]

У меня обычно все разговоры про "веру" заканчиваются на просьбе объяснить что это такое.
Если приравнивается к "принимать без док-в", то оппонент сам садится в большУю лужу. А на более продвинутом сверхествественно-чувственном уровне никто ещё толком ничего не объяснил.

Re: Миф 5

[psilogic.livejournal.com]

А им и не надо объяснять. Ведь если объяснят, вы, не дай бог, пошатнете веру. Или они, объясняя, осознают, что имеют дело с "пшиком".

Миф 6

[bsivko.livejournal.com]

Афаик кроме бинарной ещё дофига всяких логик. Чего вероятностные только стоят (; Да и правила вывода тож менять можно.

Почему же "бинарная логика" (я её называю аристотелевской) спасет мир? (если считать исходное утверждение мифом)
Мне лично логика с более чем true/false состояниями видится более перспективной. Конечно аристотелевская логика хороший инструмент, но он не всегда оптимален/востребован.

Re: Миф 6

[psilogic.livejournal.com]

[ Почему же "бинарная логика" (я её называю аристотелевской) спасет мир? ]

тоже не спасет :)

[ralfer.livejournal.com]

5ый миф можно было бы переформулировать как "любая система доказательств требует введения базовых допущений" и тогда это не миф. Т.е. доказывать можно и нужно все, но в основе все равно лежат некие аксиомы.

[psilogic.livejournal.com]

В принципе, можно построить систему без аксиом, с одними только правилами вывода. Считать ли правила вывода базовыми допущениями - вопрос фЕлосоВский =)

[bsivko.livejournal.com]

Мирослав, добрый день.

Так как вопрос очень похож на Гёделя, то пишу здесь. Если не сложно, помогите найти мою ошибку:

В рассматриваемой теории утверждение может быть: истинно, ложно, или невыводимо.

Как же тогда работает доказательство от противного?

Возьмем пример: "Это утверждение ложно".
Докажем что-нибудь от противного. Допустим, что это утверждение истинно. Отсюда следует, что утверждение ложно. Противоречие. Следовательно, утверждение ложно.

Однако точно так же мы можем доказать от противного, что это утверждение истинно. Допустим что оно ложно, сл-но оно истинно, противоречие.

Получается, что доказательство от противного доказывает не противное, а то, что утверждение либо невыводимо, либо другой истинности. Т.е. если мы принимаем X за истинное, и приходим к противоречию, то это означает, что X либо ложно, либо невыводимо. Аналогично, если X ложно, и противоречие, то это означает, что X либо истинно, либо невыводимо.

Где я ошибся?

[psilogic.livejournal.com]

В аксиоматической теории утверждения бывают только двух типов: выводимые (т.е. можно вывести из аксиом) или невыводимые (т.е. нельзя вывести из аксиом). Истинное/ложное - это градация из другой оперы, из алгебраических систем (типа булевой алгебры). Совмещается одно с другим при помощи "интерпретации" - это схема, принцип, по которому часть утверждений отмечается как истинные и ложные.

Для той логики, которой мы пользуемся повседневно, в том числе, когда в научной или учебной литературе пишут доказательства текстом для этой логики (назову ее условно ЛПУ - логикой по-умолчанию) интерпретация такова:

1. Аксиомы истинны.
2. Все утверждения, выводимые из аксиом - истинны.
3. Все утверждения, которые являются отрицанием истинных утверждений - ложны.
4. Для оставшихся утверждений истинность неопределена.

Обратите внимание: невыводимые утверждения поделились на два класса: ложные и неопределенные. X ложно, если можно вывести (не Х). Если мы не можем вывести ни X, ни (не X) - это что-то неопределенное - не ложь, не истина, не третье значение истинности, а аналог неизвестной числовой переменной в математике. Совсем плохо, когда можно вывести и X, и (не X) - такая ситуация называется "противоречивой теорией", и для ЛПУ означает, что непорядок в аксиомах - надо их менять.

Теперь ваш пример. Это у вас самый обыкновенный парадокс лжеца.

"Это утверждение ложно". Обозначим это утверждение как X. Оно утверждает ложность самого себя - эдакая рекурсия, ну пусть будет рекурсия. Утверждение означает (см. выше), что есть вывод обратного: (не X).
Метод доказательства от противного требует для начала рассмотреть отрицание этого. Что будет отрицанием? Им будет утверждение, что нет вывода (не X) - т.е. что оно невыводимо. Невыводимо - значит ложно или неопределенно. Ложно - ведет к противоречию, остается - неопределенно. Вывод - утверждение в парадоксе лжеца является невыводимым с неопределенной истинностью.