![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Парадокс лжеца с листком бумаги - пример решения
Слышал об одной форме этого парадокса, но с полным текстом вот именно в такой конкретно форме столкнулся только вчерась:
Берем бумажку. На одной стороне пишем:
"То, что написано на другой стороне,- ложь."
На второй стороне пишем:
"То, что написано на другой стороне,- истина."
Если первая фраза истинная, тогда вторая ложная. Если вторая ложная, то первая ложная. Противоречие.
И наоборот:
если первая фраза ложная, тогда вторая истинная. Если вторая истинная, то первая истинная. Противоречие.
Вводим обозначения:
A = B, тогда и только тогда, когда текст A совпадает по смыслу с текстом B в текущем контексте.
Tr(A) - истинность текста A, если текст A - высказывание
В частности:
Tr(true) = true,
Tr(false) = false,
Tr(true = true) = true,
Tr(false = false) = true,
Tr(false = true) = false,
Tr(true = false) = false.
Если X = Y, то Tr(X) = Tr(Y), но не наоборот (#)
Если Tr(X) ≠ Tr(Y), то X ≠ Y, но не наоборот
Обозначим первую фразу X, а вторую Y:
X = "То, что написано на другой стороне,- ложь." (1)
Y = "То, что написано на другой стороне,- истина." (2)
С помощью введенных обозначений мы можем парадокс строго формализовать.
Делаем предположение (*), что X и Y - высказывания.
Текст в формуле (1) справа от равенства формализуется как:
"То, что написано на другой стороне,- ложь." = (Tr("То, что написано на другой стороне") = false)
В контексте стороны X "То, что написано на другой стороне" - это Y. Получим:
"То, что написано на другой стороне,- ложь." = (Tr(Y) = false) (3)
В формуле (3) выполняем замену "То, что написано на другой стороне,- ложь." на X согласно формуле (1) и получаем:
X = (Tr(Y) = false) (4)
Аналогично
Текст в формуле (2) справа от равенства формализуется как:
"То, что написано на другой стороне,- истина." = (Tr("То, что написано на другой стороне") = true)
В контексте стороны Y "То, что написано на другой стороне" - это X. Получим:
"То, что написано на другой стороне,- истина." = (Tr(X) = true) (5)
В формуле (5) выполняем замену "То, что написано на другой стороне,- истина." на Y согласно формуле (2) и получаем:
Y = (Tr(X) = true) (6)
Сводим вместе формулы (4) и (6):
X = (Tr(Y) = false) (4)
Y = (Tr(X) = true) (6)
Получаем систему уравнений. Можем решать ее перебором (всего 4 комбинации, исходя из (*)) или иначе. В любом случае окажется, что решений нет. Например:
Пусть Tr(Y) = true, Tr(X) = false:
X = (true = false)
Y = (false = true)
-- применяем операцию Tr к обоим частям каждого равенства. Согласно (#) должно получиться тоже равенство
Tr(X) = Tr(true = false) = false
Tr(Y) = Tr(false = true) = false -- тут противоречие с "Tr(Y) = true"
Аналогично выясняем, что не подходят и другие комбинации (можете проверить).
Вывод1: система высказываний X и Y противоречива... либо
Вывод2: допущение (*) неверно: X, либо Y, либо оба - не высказывания.
Собственно, в чем вопрос: где парадокс?
Произвольная фраза не обязана быть высказыванием - это раз.
Система уравнений или одно уравнение может не иметь решений - это два.
Например, напишем на одной стороне листка:
x = -4
А на другой:
y * y = x
Кого-нибудь колебет, что нет ни одной подходящей пары x, y среди действительных чисел?
Нет. И никто не считает это парадоксом.
Так почему кого-то колебет, что нет ни одной подходящей пары Tr(x), Tr(y) среди {true, false} в "лжеце"?
И почему считают это парадоксом?
Берем бумажку. На одной стороне пишем:
"То, что написано на другой стороне,- ложь."
На второй стороне пишем:
"То, что написано на другой стороне,- истина."
Если первая фраза истинная, тогда вторая ложная. Если вторая ложная, то первая ложная. Противоречие.
И наоборот:
если первая фраза ложная, тогда вторая истинная. Если вторая истинная, то первая истинная. Противоречие.
Вводим обозначения:
A = B, тогда и только тогда, когда текст A совпадает по смыслу с текстом B в текущем контексте.
Tr(A) - истинность текста A, если текст A - высказывание
В частности:
Tr(true) = true,
Tr(false) = false,
Tr(true = true) = true,
Tr(false = false) = true,
Tr(false = true) = false,
Tr(true = false) = false.
Если X = Y, то Tr(X) = Tr(Y), но не наоборот (#)
Если Tr(X) ≠ Tr(Y), то X ≠ Y, но не наоборот
Обозначим первую фразу X, а вторую Y:
X = "То, что написано на другой стороне,- ложь." (1)
Y = "То, что написано на другой стороне,- истина." (2)
С помощью введенных обозначений мы можем парадокс строго формализовать.
Делаем предположение (*), что X и Y - высказывания.
Текст в формуле (1) справа от равенства формализуется как:
"То, что написано на другой стороне,- ложь." = (Tr("То, что написано на другой стороне") = false)
В контексте стороны X "То, что написано на другой стороне" - это Y. Получим:
"То, что написано на другой стороне,- ложь." = (Tr(Y) = false) (3)
В формуле (3) выполняем замену "То, что написано на другой стороне,- ложь." на X согласно формуле (1) и получаем:
X = (Tr(Y) = false) (4)
Аналогично
Текст в формуле (2) справа от равенства формализуется как:
"То, что написано на другой стороне,- истина." = (Tr("То, что написано на другой стороне") = true)
В контексте стороны Y "То, что написано на другой стороне" - это X. Получим:
"То, что написано на другой стороне,- истина." = (Tr(X) = true) (5)
В формуле (5) выполняем замену "То, что написано на другой стороне,- истина." на Y согласно формуле (2) и получаем:
Y = (Tr(X) = true) (6)
Сводим вместе формулы (4) и (6):
X = (Tr(Y) = false) (4)
Y = (Tr(X) = true) (6)
Получаем систему уравнений. Можем решать ее перебором (всего 4 комбинации, исходя из (*)) или иначе. В любом случае окажется, что решений нет. Например:
Пусть Tr(Y) = true, Tr(X) = false:
X = (true = false)
Y = (false = true)
-- применяем операцию Tr к обоим частям каждого равенства. Согласно (#) должно получиться тоже равенство
Tr(X) = Tr(true = false) = false
Tr(Y) = Tr(false = true) = false -- тут противоречие с "Tr(Y) = true"
Аналогично выясняем, что не подходят и другие комбинации (можете проверить).
Вывод1: система высказываний X и Y противоречива... либо
Вывод2: допущение (*) неверно: X, либо Y, либо оба - не высказывания.
Собственно, в чем вопрос: где парадокс?
Произвольная фраза не обязана быть высказыванием - это раз.
Система уравнений или одно уравнение может не иметь решений - это два.
Например, напишем на одной стороне листка:
x = -4
А на другой:
y * y = x
Кого-нибудь колебет, что нет ни одной подходящей пары x, y среди действительных чисел?
Нет. И никто не считает это парадоксом.
Так почему кого-то колебет, что нет ни одной подходящей пары Tr(x), Tr(y) среди {true, false} в "лжеце"?
И почему считают это парадоксом?
no subject
Эээ... в каком смысле? Если только то, что при доказательстве упомянутой теоремы используется прием, представляющий собой нечто среднее между парадоксом лжеца и парадоксом брадобрея.
[ Однако, мне не слишком по душе Ваш пример "нерешаемой" системы уравнений, простите. Действительных решений нет, но есть решение комплексное. Так, что иллюстрация не работает, ИМХО. ]
Так возьмите систему, не решаемую в комплексных! Элементарно:
2 + x = 4
2 + x = 5
- все, приехали :)
[ Точно так же и бег к тете Мане, стоящей позади Вас. Ваш пример применим к евклидовой плоскости. Но на земном шаре Вы вполне до нее добежите, если запасетесь всеми визами, а у нее хватит терпения. ;)))) ]
Согласен :) Путем расширения условий задачки можно ее решить, но это будет уже другая задачка. Тот же парадокс лжеца можно решить и путем расширения тоже. Решение без изменений условия - как бы более сильное что-ли...