Парадокс лжеца с листком бумаги - пример решения

[psilogic]

Слышал об одной форме этого парадокса, но с полным текстом вот именно в такой конкретно форме столкнулся только вчерась:

Берем бумажку. На одной стороне пишем:
"То, что написано на другой стороне,- ложь."
На второй стороне пишем:
"То, что написано на другой стороне,- истина."

Если первая фраза истинная, тогда вторая ложная. Если вторая ложная, то первая ложная. Противоречие.
И наоборот:
если первая фраза ложная, тогда вторая истинная. Если вторая истинная, то первая истинная. Противоречие.


Вводим обозначения:

A = B, тогда и только тогда, когда текст A совпадает по смыслу с текстом B в текущем контексте.

Tr(A) - истинность текста A, если текст A - высказывание

В частности:
Tr(true) = true,
Tr(false) = false,
Tr(true = true) = true,
Tr(false = false) = true,
Tr(false = true) = false,
Tr(true = false) = false.
Если X = Y, то Tr(X) = Tr(Y), но не наоборот (#)
Если Tr(X) ≠ Tr(Y), то X ≠ Y, но не наоборот

Обозначим первую фразу X, а вторую Y:
X = "То, что написано на другой стороне,- ложь." (1)
Y = "То, что написано на другой стороне,- истина." (2)

С помощью введенных обозначений мы можем парадокс строго формализовать.

Делаем предположение (*), что X и Y - высказывания.

Текст в формуле (1) справа от равенства формализуется как:

"То, что написано на другой стороне,- ложь." = (Tr("То, что написано на другой стороне") = false)

В контексте стороны X "То, что написано на другой стороне" - это Y. Получим:

"То, что написано на другой стороне,- ложь." = (Tr(Y) = false) (3)

В формуле (3) выполняем замену "То, что написано на другой стороне,- ложь." на X согласно формуле (1) и получаем:

X = (Tr(Y) = false) (4)

Аналогично

Текст в формуле (2) справа от равенства формализуется как:

"То, что написано на другой стороне,- истина." = (Tr("То, что написано на другой стороне") = true)

В контексте стороны Y "То, что написано на другой стороне" - это X. Получим:

"То, что написано на другой стороне,- истина." = (Tr(X) = true) (5)

В формуле (5) выполняем замену "То, что написано на другой стороне,- истина." на Y согласно формуле (2) и получаем:

Y = (Tr(X) = true) (6)

Сводим вместе формулы (4) и (6):

X = (Tr(Y) = false) (4)
Y = (Tr(X) = true) (6)

Получаем систему уравнений. Можем решать ее перебором (всего 4 комбинации, исходя из (*)) или иначе. В любом случае окажется, что решений нет. Например:

Пусть Tr(Y) = true, Tr(X) = false:
X = (true = false)
Y = (false = true)
-- применяем операцию Tr к обоим частям каждого равенства. Согласно (#) должно получиться тоже равенство
Tr(X) = Tr(true = false) = false
Tr(Y) = Tr(false = true) = false -- тут противоречие с "Tr(Y) = true"
Аналогично выясняем, что не подходят и другие комбинации (можете проверить).

Вывод1: система высказываний X и Y противоречива... либо
Вывод2: допущение (*) неверно: X, либо Y, либо оба - не высказывания.

Собственно, в чем вопрос: где парадокс?
Произвольная фраза не обязана быть высказыванием - это раз.
Система уравнений или одно уравнение может не иметь решений - это два.

Например, напишем на одной стороне листка:
x = -4
А на другой:
y * y = x
Кого-нибудь колебет, что нет ни одной подходящей пары x, y среди действительных чисел?
Нет. И никто не считает это парадоксом.

Так почему кого-то колебет, что нет ни одной подходящей пары Tr(x), Tr(y) среди {true, false} в "лжеце"?
И почему считают это парадоксом?

Comments

[miss-bond.livejournal.com]

....... Нда....

Пойду я все же спать...

=)

Я думаю, что это из разряда тех примеров из пособия по логике, о который и писала. Когда формальную логику начинаешь загружать конкретным наполнением, то получаются казусы. И это всех веселит, потому что полученные системы - контринтуитивны.

х = -4
y*y = x

- это абстарктные формулы. Несколько ничего не значащих для нас лично закорючек. А если их вербализовать, что он и становятся более материальными что ли. То есть, как только мы это произносим, мы как бы допускаем возможность существования того, что существовать не может.

[vadim-kataev.livejournal.com]

В пропозиционной логике мы имеем противоречащие выводы при импликациях:
1)side2 => (not side1)
2)side1 => side2

поэтому и парадокс. При параллельном исполнении, в fuzzy logic вероятность каждой правды будет 50%. При однопоточном процессе, важен порядок : 1)2), или 2)1)

[ex-yomen426.livejournal.com]

Здравствуйте! (Это приветствие, не ирония..;)))) ).
Ваш парадокс, ИМХО, относится к теореме Гёделя о неполноте.
Однако, мне не слишком по душе Ваш пример "нерешаемой" системы уравнений, простите. Действительных решений нет, но есть решение комплексное. Так, что иллюстрация не работает, ИМХО.
Точно так же и бег к тете Мане, стоящей позади Вас. Ваш пример применим к евклидовой плоскости. Но на земном шаре Вы вполне до нее добежите, если запасетесь всеми визами, а у нее хватит терпения. ;))))
А вот уравнение 5/х=0 действительно не имеет решения. Но это исключительный случай, идущий вразрез с принятой аксиоматикой. Его нельзя возвести в класс.

[psilogic.livejournal.com]

[ то есть я имею право считать ленту М односторонней? ]

Красиво жить не запретишь ;)
Угу.

[ или нет...? ]

да :)

[ а вообще-то в природе существуют "односторонние" предметы?...чё то я думала-думала...пожалуй, лента М создаёт иллюзию односторонности... ]

смотря как определишь односторонность...

[ любого мОдера, которй с детЦтва привык щЧитать, что лента М
создана иСчо до сотворения мира для совращЧения умов... ]

НФ тебе надо писать :))

[m-eclipse.livejournal.com]

Не знаю где обсуждение Парадокс лжеца (http://psi-logic.shadanakar.org/psi/lier.htm), по этому напишу сюда.
Возьму самый крепкий орешек в виде утверждения "я лгу". Перед тем как преступить к разбору задам пару вопросов.
Возможно ли признать утверждение целиком истинным, если в нем есть неотъемлемая ложная часть?
Возможно ли признать утверждение ложным, если в нем нет неотъемлемой истинной части?
Какой вопрос будет корректно задать на утверждение "я лгу"?
В действительности, что такое лож? Это категоричная убежденность автора в том, что то что он пытается выдать за истину лож. То есть вопрос стоит, что у автора на уме? Но как известно все телепаты находятся в бессрочных отпусках.
Что получается, чтобы солгать утверждая "я лгу", говорящему это нужно быть уверенным в том, что в утверждение нет места для ложности, но возможно ли это в таком противоречивом утверждение? Единственный способ солгать, произнося "я лгу" является, отсутствие уверенности в утверждаемом, но из такой короткой фразы возможно ли понять это?
Не судите строго, только начал упражняться в логических рассуждениях =)

[m-eclipse.livejournal.com]

Странный вывод. У меня получается на выходе то, что написано на второй стороне всегда ложно, так как вынуждает признать истинность обеих сторон, но это невозможно, так как первая сторона противоречит второй, но не на оборот. Так как вторая сторона всегда ложная, то ничего не остается как признать первую сторону истинной.