Парадокс лжеца с листком бумаги - пример решения

[psilogic]

Слышал об одной форме этого парадокса, но с полным текстом вот именно в такой конкретно форме столкнулся только вчерась:

Берем бумажку. На одной стороне пишем:
"То, что написано на другой стороне,- ложь."
На второй стороне пишем:
"То, что написано на другой стороне,- истина."

Если первая фраза истинная, тогда вторая ложная. Если вторая ложная, то первая ложная. Противоречие.
И наоборот:
если первая фраза ложная, тогда вторая истинная. Если вторая истинная, то первая истинная. Противоречие.


Вводим обозначения:

A = B, тогда и только тогда, когда текст A совпадает по смыслу с текстом B в текущем контексте.

Tr(A) - истинность текста A, если текст A - высказывание

В частности:
Tr(true) = true,
Tr(false) = false,
Tr(true = true) = true,
Tr(false = false) = true,
Tr(false = true) = false,
Tr(true = false) = false.
Если X = Y, то Tr(X) = Tr(Y), но не наоборот (#)
Если Tr(X) ≠ Tr(Y), то X ≠ Y, но не наоборот

Обозначим первую фразу X, а вторую Y:
X = "То, что написано на другой стороне,- ложь." (1)
Y = "То, что написано на другой стороне,- истина." (2)

С помощью введенных обозначений мы можем парадокс строго формализовать.

Делаем предположение (*), что X и Y - высказывания.

Текст в формуле (1) справа от равенства формализуется как:

"То, что написано на другой стороне,- ложь." = (Tr("То, что написано на другой стороне") = false)

В контексте стороны X "То, что написано на другой стороне" - это Y. Получим:

"То, что написано на другой стороне,- ложь." = (Tr(Y) = false) (3)

В формуле (3) выполняем замену "То, что написано на другой стороне,- ложь." на X согласно формуле (1) и получаем:

X = (Tr(Y) = false) (4)

Аналогично

Текст в формуле (2) справа от равенства формализуется как:

"То, что написано на другой стороне,- истина." = (Tr("То, что написано на другой стороне") = true)

В контексте стороны Y "То, что написано на другой стороне" - это X. Получим:

"То, что написано на другой стороне,- истина." = (Tr(X) = true) (5)

В формуле (5) выполняем замену "То, что написано на другой стороне,- истина." на Y согласно формуле (2) и получаем:

Y = (Tr(X) = true) (6)

Сводим вместе формулы (4) и (6):

X = (Tr(Y) = false) (4)
Y = (Tr(X) = true) (6)

Получаем систему уравнений. Можем решать ее перебором (всего 4 комбинации, исходя из (*)) или иначе. В любом случае окажется, что решений нет. Например:

Пусть Tr(Y) = true, Tr(X) = false:
X = (true = false)
Y = (false = true)
-- применяем операцию Tr к обоим частям каждого равенства. Согласно (#) должно получиться тоже равенство
Tr(X) = Tr(true = false) = false
Tr(Y) = Tr(false = true) = false -- тут противоречие с "Tr(Y) = true"
Аналогично выясняем, что не подходят и другие комбинации (можете проверить).

Вывод1: система высказываний X и Y противоречива... либо
Вывод2: допущение (*) неверно: X, либо Y, либо оба - не высказывания.

Собственно, в чем вопрос: где парадокс?
Произвольная фраза не обязана быть высказыванием - это раз.
Система уравнений или одно уравнение может не иметь решений - это два.

Например, напишем на одной стороне листка:
x = -4
А на другой:
y * y = x
Кого-нибудь колебет, что нет ни одной подходящей пары x, y среди действительных чисел?
Нет. И никто не считает это парадоксом.

Так почему кого-то колебет, что нет ни одной подходящей пары Tr(x), Tr(y) среди {true, false} в "лжеце"?
И почему считают это парадоксом?

Comments

[psilogic.livejournal.com]

[ Ложную часть можно опустить без ущерба для смысла? ]

А как определить, есть ущерб для смысла или нет? По крайней мере ложную часть можно отделить, и она будет иметь какой-то смысл.

[ Какой смысл в утверждение "not false"? Какой смысл в утверждение состоящем полностью из лжи? ]

Смысл утверждения "not false" - "не ложь". Например, обычный разговор:
- Не может быть такого, ты врешь?
- Не вру.
(not false)

[m-eclipse.livejournal.com]

[ А как определить, есть ущерб для смысла или нет? По крайней мере ложную часть можно отделить, и она будет иметь какой-то смысл. ]

Сравнить? Отбросить без значительного ущерба можно только избыточную информацию, неотъемлемая часть не является избыточной.

[ Смысл утверждения "not false" - "не ложь". Например, обычный разговор:
- Не может быть такого, ты врешь?
- Не вру.
(not false) ]

"not false" здесь вырвано из контекста. В таком утверждение опушены некоторые слова, мог быть также опушен падеж и много еще какой информации.
Я не вру !== не вру !== он не врет.

Эта часть ушла от темы, выражение "not false" само по себе не является ложью. False обозначает лож, но само по себе не является ложным, отрицание not тоже не является ложью само по себе. В связке друг с другом так же не дают ложь.

Если лгать так, чтобы все части были ложны, то утверждение выглядело бы примерно так:
-Кто-то не врет.

[psilogic.livejournal.com]

[ Сравнить? Отбросить без значительного ущерба можно только избыточную информацию, неотъемлемая часть не является избыточной. ]

Тогда я вас неправильно понял - что вы считаете неотъемлемым. Тогда первоначальный ваш вопрос (можно ли опустить ложную часть без ущерба для смысла) нуждается в уточнении: какой все-таки ущерб предполагается незначительным? Хотя бы примеры. Например, замена слова на синоним - незначительно? А если несколько синонимов заменить на один - незначительно?

[m-eclipse.livejournal.com]

Я хотел донести мысль о том, что утверждение может быть истинным только когда все его составные части являются истинными. Иными словами не содержит в себе ошибки. Ложное утверждение является искажением утверждения истины, то есть содержащие ошибки. И утверждение состоящее из одних ошибок, перестает являться утверждением. Подобно любому слову, в котором допущено количество ошибок равное количеству символов составляющее это слово, перестает передавать смысл которое вкладывалось в это слово. Мне показалось, что в виде пары вопросов эта мысль будет компактней, а без "неотъемлемости" оно будет неполноценно.

[psilogic.livejournal.com]

Без неотъемлемости оно вообще неверно, т.к. есть отрицания. Например:

"Неправда, что у коров есть крылья"

- утверждение истинное, но его часть - "у коров есть крылья" - ложная.

Разве что вы скажете, что это не считается, т.к. эта часть почему-то "неотъемлемая"?

[m-eclipse.livejournal.com]

Отброшу лишнее. Как раз неотъемлемость не позволяет городить огород.

У коровы нет крыльев.

Пример. В этом примере присутствие только операция сложение.

1+1=2.

то же утверждение по вашей версии

1+1-5+5=2

[ "Неправда, что у коров есть крылья" ]

Утверждение вырвано из контекста и представляет собой опровержение предыдущего утверждения. И выглядеть могло так:

Неправда, то что ты сказал.

[psilogic.livejournal.com]

[ [ "Неправда, что у коров есть крылья" ] ]

[ Утверждение вырвано из контекста и представляет собой опровержение предыдущего утверждения. ]

Нет, не вырвано: рассмотрите это утверждение отдельно, без каких бы то ни было утверждений до и после (соответственно - никакого контекста нет вообще).

[m-eclipse.livejournal.com]

[ [ "Неправда, что у коров есть крылья" ] ]

А какое из слов символизирует ложь? Или другими словами какие из слов истинны?

Утверждение передает смысл. Смысл утверждения "неправда, что у коров есть крылья" равен смыслу утверждения "у коровы нет крыльев"? Это та мысль которую вы хотели донести до меня, если да то не понятно в чем заключается возражение.

[psilogic.livejournal.com]

Комбинация слов "у коров есть крылья" - ложная. Комбинация слов "Неправда, что у коров есть крылья" - истинная. Обратите внимание, что "смысл" - совсем не то же самое, что "истинность". Может быть два утверждения с разным смыслом, но одинаковой истинностью - например, два ложных или два истинных утверждения.

[m-eclipse.livejournal.com]

Я бы предположил, что ложь кроется за словом "есть", но вы не сказали какого типа ложь и где она находиться. Так какой из справочник по анатомии смотреть, коров или котов?

Признаюсь, я не силен в формулирование своих мыслей, мысль я выразил, возможно, неудачно. И обидно, что время уходит на то, что не являлось основной мыслью поста, это был всего лишь контекст. Я думал что этот контекст способствует лучшему пониманию основной мысли. И вопрос:

Можете ли вы мне солгать утверждая "Я лгу"?

[psilogic.livejournal.com]

[ Можете ли вы мне солгать утверждая "Я лгу"? ]

Могу

[m-eclipse.livejournal.com]

Лгите. Да если вы именно солжете, то вам не составит труда указать где кроется ложь. Интересно как вы будите ловить свою ложь за хвост =)

[psilogic.livejournal.com]

Классический парадокс лжеца - это фраза "я лгу", утверждающая ложность самой себя. Ложной здесь может быть сама фраза или утверждение о ней. Так что ложь кроется в самой фразе - так или иначе.

[m-eclipse.livejournal.com]

Нет. Мне нужно заявление "я лгу!" И доказательство того, что это была именно ложь, не ложное утверждение, а именно ложь. Это не тот ответ который был заявлен фразой "Могу", посему это был фальстарт =)

[psilogic.livejournal.com]

так я вроде это и сделал

[m-eclipse.livejournal.com]

Я немного не понял, где же доказательство. Вообще это напомнила вас же разбор диалектики, только упрощенная без борьбы и прочей мишуры. В виде пары утверждений взятых с потолка, которые ничего не доказывают.

У вас не получилось ухватить свою ложь за хвост, когда вы смыкаете пальцы в вашей руке оказывает правда. То, что выдаете за доказательство лжи больше походит на доказательство того, что фраза является парадоксальной, но в этом случае это какая-то тавтология получается.

[psilogic.livejournal.com]

Ну и фиг с ней, с ложью, тогда :)

[m-eclipse.livejournal.com]

Я так тоже подумал ибо пришел к выводу, что нельзя утверждать, что-то на основание того, что не возможно быть уверенным в том, что нельзя в текущем случае не допустить ошибку в суждение. Можно лишь выразить свою убежденность в чем-то, не более, а убежденность это не есть истина и даже не аргумент =)

Суть утверждения в действительности является способом убеждения, завуалированной ложью.

Все что я сказал является предположением во избежания появления парадокса, целью этого предположения является убеждения вас в том в чем сам я убежден или думаю что убежден =)

Иными словами надеюсь на то, что я написал не является ложью.