Парадокс лжеца с листком бумаги - пример решения

[psilogic]

Слышал об одной форме этого парадокса, но с полным текстом вот именно в такой конкретно форме столкнулся только вчерась:

Берем бумажку. На одной стороне пишем:
"То, что написано на другой стороне,- ложь."
На второй стороне пишем:
"То, что написано на другой стороне,- истина."

Если первая фраза истинная, тогда вторая ложная. Если вторая ложная, то первая ложная. Противоречие.
И наоборот:
если первая фраза ложная, тогда вторая истинная. Если вторая истинная, то первая истинная. Противоречие.


Вводим обозначения:

A = B, тогда и только тогда, когда текст A совпадает по смыслу с текстом B в текущем контексте.

Tr(A) - истинность текста A, если текст A - высказывание

В частности:
Tr(true) = true,
Tr(false) = false,
Tr(true = true) = true,
Tr(false = false) = true,
Tr(false = true) = false,
Tr(true = false) = false.
Если X = Y, то Tr(X) = Tr(Y), но не наоборот (#)
Если Tr(X) ≠ Tr(Y), то X ≠ Y, но не наоборот

Обозначим первую фразу X, а вторую Y:
X = "То, что написано на другой стороне,- ложь." (1)
Y = "То, что написано на другой стороне,- истина." (2)

С помощью введенных обозначений мы можем парадокс строго формализовать.

Делаем предположение (*), что X и Y - высказывания.

Текст в формуле (1) справа от равенства формализуется как:

"То, что написано на другой стороне,- ложь." = (Tr("То, что написано на другой стороне") = false)

В контексте стороны X "То, что написано на другой стороне" - это Y. Получим:

"То, что написано на другой стороне,- ложь." = (Tr(Y) = false) (3)

В формуле (3) выполняем замену "То, что написано на другой стороне,- ложь." на X согласно формуле (1) и получаем:

X = (Tr(Y) = false) (4)

Аналогично

Текст в формуле (2) справа от равенства формализуется как:

"То, что написано на другой стороне,- истина." = (Tr("То, что написано на другой стороне") = true)

В контексте стороны Y "То, что написано на другой стороне" - это X. Получим:

"То, что написано на другой стороне,- истина." = (Tr(X) = true) (5)

В формуле (5) выполняем замену "То, что написано на другой стороне,- истина." на Y согласно формуле (2) и получаем:

Y = (Tr(X) = true) (6)

Сводим вместе формулы (4) и (6):

X = (Tr(Y) = false) (4)
Y = (Tr(X) = true) (6)

Получаем систему уравнений. Можем решать ее перебором (всего 4 комбинации, исходя из (*)) или иначе. В любом случае окажется, что решений нет. Например:

Пусть Tr(Y) = true, Tr(X) = false:
X = (true = false)
Y = (false = true)
-- применяем операцию Tr к обоим частям каждого равенства. Согласно (#) должно получиться тоже равенство
Tr(X) = Tr(true = false) = false
Tr(Y) = Tr(false = true) = false -- тут противоречие с "Tr(Y) = true"
Аналогично выясняем, что не подходят и другие комбинации (можете проверить).

Вывод1: система высказываний X и Y противоречива... либо
Вывод2: допущение (*) неверно: X, либо Y, либо оба - не высказывания.

Собственно, в чем вопрос: где парадокс?
Произвольная фраза не обязана быть высказыванием - это раз.
Система уравнений или одно уравнение может не иметь решений - это два.

Например, напишем на одной стороне листка:
x = -4
А на другой:
y * y = x
Кого-нибудь колебет, что нет ни одной подходящей пары x, y среди действительных чисел?
Нет. И никто не считает это парадоксом.

Так почему кого-то колебет, что нет ни одной подходящей пары Tr(x), Tr(y) среди {true, false} в "лжеце"?
И почему считают это парадоксом?

Comments

[psilogic.livejournal.com]

[ [ "Неправда, что у коров есть крылья" ] ]

[ Утверждение вырвано из контекста и представляет собой опровержение предыдущего утверждения. ]

Нет, не вырвано: рассмотрите это утверждение отдельно, без каких бы то ни было утверждений до и после (соответственно - никакого контекста нет вообще).

[m-eclipse.livejournal.com]

[ [ "Неправда, что у коров есть крылья" ] ]

А какое из слов символизирует ложь? Или другими словами какие из слов истинны?

Утверждение передает смысл. Смысл утверждения "неправда, что у коров есть крылья" равен смыслу утверждения "у коровы нет крыльев"? Это та мысль которую вы хотели донести до меня, если да то не понятно в чем заключается возражение.

[psilogic.livejournal.com]

Комбинация слов "у коров есть крылья" - ложная. Комбинация слов "Неправда, что у коров есть крылья" - истинная. Обратите внимание, что "смысл" - совсем не то же самое, что "истинность". Может быть два утверждения с разным смыслом, но одинаковой истинностью - например, два ложных или два истинных утверждения.

[m-eclipse.livejournal.com]

Я бы предположил, что ложь кроется за словом "есть", но вы не сказали какого типа ложь и где она находиться. Так какой из справочник по анатомии смотреть, коров или котов?

Признаюсь, я не силен в формулирование своих мыслей, мысль я выразил, возможно, неудачно. И обидно, что время уходит на то, что не являлось основной мыслью поста, это был всего лишь контекст. Я думал что этот контекст способствует лучшему пониманию основной мысли. И вопрос:

Можете ли вы мне солгать утверждая "Я лгу"?

[psilogic.livejournal.com]

[ Можете ли вы мне солгать утверждая "Я лгу"? ]

Могу

[m-eclipse.livejournal.com]

Лгите. Да если вы именно солжете, то вам не составит труда указать где кроется ложь. Интересно как вы будите ловить свою ложь за хвост =)

[psilogic.livejournal.com]

Классический парадокс лжеца - это фраза "я лгу", утверждающая ложность самой себя. Ложной здесь может быть сама фраза или утверждение о ней. Так что ложь кроется в самой фразе - так или иначе.

[m-eclipse.livejournal.com]

Нет. Мне нужно заявление "я лгу!" И доказательство того, что это была именно ложь, не ложное утверждение, а именно ложь. Это не тот ответ который был заявлен фразой "Могу", посему это был фальстарт =)

[psilogic.livejournal.com]

так я вроде это и сделал

[m-eclipse.livejournal.com]

Я немного не понял, где же доказательство. Вообще это напомнила вас же разбор диалектики, только упрощенная без борьбы и прочей мишуры. В виде пары утверждений взятых с потолка, которые ничего не доказывают.

У вас не получилось ухватить свою ложь за хвост, когда вы смыкаете пальцы в вашей руке оказывает правда. То, что выдаете за доказательство лжи больше походит на доказательство того, что фраза является парадоксальной, но в этом случае это какая-то тавтология получается.

[psilogic.livejournal.com]

Ну и фиг с ней, с ложью, тогда :)

[m-eclipse.livejournal.com]

Я так тоже подумал ибо пришел к выводу, что нельзя утверждать, что-то на основание того, что не возможно быть уверенным в том, что нельзя в текущем случае не допустить ошибку в суждение. Можно лишь выразить свою убежденность в чем-то, не более, а убежденность это не есть истина и даже не аргумент =)

Суть утверждения в действительности является способом убеждения, завуалированной ложью.

Все что я сказал является предположением во избежания появления парадокса, целью этого предположения является убеждения вас в том в чем сам я убежден или думаю что убежден =)

Иными словами надеюсь на то, что я написал не является ложью.