Парадокс лжеца с листком бумаги - пример решения

[psilogic]

Слышал об одной форме этого парадокса, но с полным текстом вот именно в такой конкретно форме столкнулся только вчерась:

Берем бумажку. На одной стороне пишем:
"То, что написано на другой стороне,- ложь."
На второй стороне пишем:
"То, что написано на другой стороне,- истина."

Если первая фраза истинная, тогда вторая ложная. Если вторая ложная, то первая ложная. Противоречие.
И наоборот:
если первая фраза ложная, тогда вторая истинная. Если вторая истинная, то первая истинная. Противоречие.


Вводим обозначения:

A = B, тогда и только тогда, когда текст A совпадает по смыслу с текстом B в текущем контексте.

Tr(A) - истинность текста A, если текст A - высказывание

В частности:
Tr(true) = true,
Tr(false) = false,
Tr(true = true) = true,
Tr(false = false) = true,
Tr(false = true) = false,
Tr(true = false) = false.
Если X = Y, то Tr(X) = Tr(Y), но не наоборот (#)
Если Tr(X) ≠ Tr(Y), то X ≠ Y, но не наоборот

Обозначим первую фразу X, а вторую Y:
X = "То, что написано на другой стороне,- ложь." (1)
Y = "То, что написано на другой стороне,- истина." (2)

С помощью введенных обозначений мы можем парадокс строго формализовать.

Делаем предположение (*), что X и Y - высказывания.

Текст в формуле (1) справа от равенства формализуется как:

"То, что написано на другой стороне,- ложь." = (Tr("То, что написано на другой стороне") = false)

В контексте стороны X "То, что написано на другой стороне" - это Y. Получим:

"То, что написано на другой стороне,- ложь." = (Tr(Y) = false) (3)

В формуле (3) выполняем замену "То, что написано на другой стороне,- ложь." на X согласно формуле (1) и получаем:

X = (Tr(Y) = false) (4)

Аналогично

Текст в формуле (2) справа от равенства формализуется как:

"То, что написано на другой стороне,- истина." = (Tr("То, что написано на другой стороне") = true)

В контексте стороны Y "То, что написано на другой стороне" - это X. Получим:

"То, что написано на другой стороне,- истина." = (Tr(X) = true) (5)

В формуле (5) выполняем замену "То, что написано на другой стороне,- истина." на Y согласно формуле (2) и получаем:

Y = (Tr(X) = true) (6)

Сводим вместе формулы (4) и (6):

X = (Tr(Y) = false) (4)
Y = (Tr(X) = true) (6)

Получаем систему уравнений. Можем решать ее перебором (всего 4 комбинации, исходя из (*)) или иначе. В любом случае окажется, что решений нет. Например:

Пусть Tr(Y) = true, Tr(X) = false:
X = (true = false)
Y = (false = true)
-- применяем операцию Tr к обоим частям каждого равенства. Согласно (#) должно получиться тоже равенство
Tr(X) = Tr(true = false) = false
Tr(Y) = Tr(false = true) = false -- тут противоречие с "Tr(Y) = true"
Аналогично выясняем, что не подходят и другие комбинации (можете проверить).

Вывод1: система высказываний X и Y противоречива... либо
Вывод2: допущение (*) неверно: X, либо Y, либо оба - не высказывания.

Собственно, в чем вопрос: где парадокс?
Произвольная фраза не обязана быть высказыванием - это раз.
Система уравнений или одно уравнение может не иметь решений - это два.

Например, напишем на одной стороне листка:
x = -4
А на другой:
y * y = x
Кого-нибудь колебет, что нет ни одной подходящей пары x, y среди действительных чисел?
Нет. И никто не считает это парадоксом.

Так почему кого-то колебет, что нет ни одной подходящей пары Tr(x), Tr(y) среди {true, false} в "лжеце"?
И почему считают это парадоксом?

Comments

[m-eclipse.livejournal.com]

Странный вывод. У меня получается на выходе то, что написано на второй стороне всегда ложно, так как вынуждает признать истинность обеих сторон, но это невозможно, так как первая сторона противоречит второй, но не на оборот. Так как вторая сторона всегда ложная, то ничего не остается как признать первую сторону истинной.