Как Рассел поставил математику на уши

[psilogic]

Собственно, про парадокс Рассела многие слышали. Я хочу описать слегка нестандартный подход к нему (а может и вполне стандартный, просто мне не те книжки попадались).


Начну чуть издалека. Есть такое правило - modus tollens, которое идет еще со времен Аристотеля:

Известно что:
Если A, то B
B ложно
------тогда (делаем вывод)------
A ложно

В наивной теории множеств понятие "множество" определяется так:
Множество - это некоторая совокупность объектов, отобранных по заданному критерию.
Критерий называется еще "характеристическим правилом" или "характеристическим критерием".
Он отвечает на вопрос: принадлежит ли объект ко множеству или нет.

По идее, критерий должен ответить на этот вопрос однозначно: да/нет и для любого, совершенно произвольного объекта.

И вот тут... собственно мысль такая. "Множеством" можно назвать только такую совокупность объектов, для которой есть подобный критерий: однозначный (да/нет) и универсальный (применим к любому объекту). Если критерия нет, то это - не множество.

Дальше, смотрим парадокс Рассела. Звучит он примерно так:

Возьмем множество M, которое включает в себя все множества, которые не являются элементами самого себя.
-- то есть, характеристический критерий вхождения объекта m во множество M заключается в том, что:

"m есть множество, и m не принадлежит m"

Теперь попробуем понять, а не входит ли M само в себя в качестве элемента?

Допустим, да. Но тогда характеристический критерий не выполнен, а значит (согласно критерию) M не является элементом себя. Противоречие.

Допустим, нет. Но тогда характеристический критерий выполнен, а значит (согласно критерию) M является элементом себя. Противоречие.

Кажется, все варианты перебрали, и все время плохо.

Но... есть тут одна недоказанная посылка, которую мы проглядели. Как говорят, НЛП-еры "пресуппозиция". Парадокс начинается со слов: "Возьмем множество M, которое..." Но позвольте, а кто сказал, что M - множество? Ведь для того, чтобы назвать M множеством, мы должны доказать, что существует однозначный и универсальный критерий. Критерий есть, но не факт, что он однозначный и универсальный, в чем мы и убеждаемся в последствии: в одном случае он не может дать однозначный ответ да/нет.

Мы приходим к противоречию, когда высказывание "M принадлежит M" одновременно истинно и ложно. Но это - true & false = false.

Что получается: мы взяли высказывание A = "M есть множество". Мы нашли цепочку рассуждений, по которым получается, что
Если A, то B
- где B - "M одновременно принадлежит себе и не принадлежит".
Далее, мы заключаем, что такого быть не может, то есть, B ложно.
Следовательно, по modus tollens A ложно.
Т.е. мы доказали, что M - не множество.

В литературе я встречал утверждение в таком духе, что M - не множество, но не потому, что это как-то можно доказать, а потому, что это очень неприятно, т.к. на теорим множеств основана вся математика. И поэтому наивная теория множеств отменяется, а нужна аксиоматическая теория.

Но вот, оказывается, что наивная теория множеств на самом деле не имеет здесь противоречия, если определить наивное множество так, как это я сделал выше.

Comments

[akuklev.livejournal.com]

В классической (Цермело-Френкель) и уж тем более Наивной теории множеств высказывание "А - множество" не является высказыванием. Т.е. ничего мы там не суппозиционируем. Всё рассматриваемые объекты - априорно множества. Натуральные числа, например, часто конструируют на базе ЦФ так: Ноль = пустое множество. 1 = множество, содержащее пустое множество. 2 = множество, содержащее 1 и т.д.

То, о чём ты говоришь - стандартный способ решения парадокса Рассела в типизированных теориях множеств. Кажется, в фон-Неймановской теории множеств (теории классов) оно примерно так и получается, как ты говоришь. Множество Рассела просто не конструируется по факту несогласованности типов.