Как Рассел поставил математику на уши
Apr. 18th, 2006 11:51 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicСобственно, про парадокс Рассела многие слышали. Я хочу описать слегка нестандартный подход к нему (а может и вполне стандартный, просто мне не те книжки попадались).
Начну чуть издалека. Есть такое правило - modus tollens, которое идет еще со времен Аристотеля:
Известно что:
Если A, то B
B ложно
------тогда (делаем вывод)------
A ложно
В наивной теории множеств понятие "множество" определяется так:
Множество - это некоторая совокупность объектов, отобранных по заданному критерию.
Критерий называется еще "характеристическим правилом" или "характеристическим критерием".
Он отвечает на вопрос: принадлежит ли объект ко множеству или нет.
По идее, критерий должен ответить на этот вопрос однозначно: да/нет и для любого, совершенно произвольного объекта.
И вот тут... собственно мысль такая. "Множеством" можно назвать только такую совокупность объектов, для которой есть подобный критерий: однозначный (да/нет) и универсальный (применим к любому объекту). Если критерия нет, то это - не множество.
Дальше, смотрим парадокс Рассела. Звучит он примерно так:
Возьмем множество M, которое включает в себя все множества, которые не являются элементами самого себя.
-- то есть, характеристический критерий вхождения объекта m во множество M заключается в том, что:
"m есть множество, и m не принадлежит m"
Теперь попробуем понять, а не входит ли M само в себя в качестве элемента?
Допустим, да. Но тогда характеристический критерий не выполнен, а значит (согласно критерию) M не является элементом себя. Противоречие.
Допустим, нет. Но тогда характеристический критерий выполнен, а значит (согласно критерию) M является элементом себя. Противоречие.
Кажется, все варианты перебрали, и все время плохо.
Но... есть тут одна недоказанная посылка, которую мы проглядели. Как говорят, НЛП-еры "пресуппозиция". Парадокс начинается со слов: "Возьмем множество M, которое..." Но позвольте, а кто сказал, что M - множество? Ведь для того, чтобы назвать M множеством, мы должны доказать, что существует однозначный и универсальный критерий. Критерий есть, но не факт, что он однозначный и универсальный, в чем мы и убеждаемся в последствии: в одном случае он не может дать однозначный ответ да/нет.
Мы приходим к противоречию, когда высказывание "M принадлежит M" одновременно истинно и ложно. Но это - true & false = false.
Что получается: мы взяли высказывание A = "M есть множество". Мы нашли цепочку рассуждений, по которым получается, что
Если A, то B
- где B - "M одновременно принадлежит себе и не принадлежит".
Далее, мы заключаем, что такого быть не может, то есть, B ложно.
Следовательно, по modus tollens A ложно.
Т.е. мы доказали, что M - не множество.
В литературе я встречал утверждение в таком духе, что M - не множество, но не потому, что это как-то можно доказать, а потому, что это очень неприятно, т.к. на теорим множеств основана вся математика. И поэтому наивная теория множеств отменяется, а нужна аксиоматическая теория.
Но вот, оказывается, что наивная теория множеств на самом деле не имеет здесь противоречия, если определить наивное множество так, как это я сделал выше.
Начну чуть издалека. Есть такое правило - modus tollens, которое идет еще со времен Аристотеля:
Известно что:
Если A, то B
B ложно
------тогда (делаем вывод)------
A ложно
В наивной теории множеств понятие "множество" определяется так:
Множество - это некоторая совокупность объектов, отобранных по заданному критерию.
Критерий называется еще "характеристическим правилом" или "характеристическим критерием".
Он отвечает на вопрос: принадлежит ли объект ко множеству или нет.
По идее, критерий должен ответить на этот вопрос однозначно: да/нет и для любого, совершенно произвольного объекта.
И вот тут... собственно мысль такая. "Множеством" можно назвать только такую совокупность объектов, для которой есть подобный критерий: однозначный (да/нет) и универсальный (применим к любому объекту). Если критерия нет, то это - не множество.
Дальше, смотрим парадокс Рассела. Звучит он примерно так:
Возьмем множество M, которое включает в себя все множества, которые не являются элементами самого себя.
-- то есть, характеристический критерий вхождения объекта m во множество M заключается в том, что:
"m есть множество, и m не принадлежит m"
Теперь попробуем понять, а не входит ли M само в себя в качестве элемента?
Допустим, да. Но тогда характеристический критерий не выполнен, а значит (согласно критерию) M не является элементом себя. Противоречие.
Допустим, нет. Но тогда характеристический критерий выполнен, а значит (согласно критерию) M является элементом себя. Противоречие.
Кажется, все варианты перебрали, и все время плохо.
Но... есть тут одна недоказанная посылка, которую мы проглядели. Как говорят, НЛП-еры "пресуппозиция". Парадокс начинается со слов: "Возьмем множество M, которое..." Но позвольте, а кто сказал, что M - множество? Ведь для того, чтобы назвать M множеством, мы должны доказать, что существует однозначный и универсальный критерий. Критерий есть, но не факт, что он однозначный и универсальный, в чем мы и убеждаемся в последствии: в одном случае он не может дать однозначный ответ да/нет.
Мы приходим к противоречию, когда высказывание "M принадлежит M" одновременно истинно и ложно. Но это - true & false = false.
Что получается: мы взяли высказывание A = "M есть множество". Мы нашли цепочку рассуждений, по которым получается, что
Если A, то B
- где B - "M одновременно принадлежит себе и не принадлежит".
Далее, мы заключаем, что такого быть не может, то есть, B ложно.
Следовательно, по modus tollens A ложно.
Т.е. мы доказали, что M - не множество.
В литературе я встречал утверждение в таком духе, что M - не множество, но не потому, что это как-то можно доказать, а потому, что это очень неприятно, т.к. на теорим множеств основана вся математика. И поэтому наивная теория множеств отменяется, а нужна аксиоматическая теория.
Но вот, оказывается, что наивная теория множеств на самом деле не имеет здесь противоречия, если определить наивное множество так, как это я сделал выше.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2006-04-18 12:42 pm (UTC)То, о чём ты говоришь - стандартный способ решения парадокса Рассела в типизированных теориях множеств. Кажется, в фон-Неймановской теории множеств (теории классов) оно примерно так и получается, как ты говоришь. Множество Рассела просто не конструируется по факту несогласованности типов.
no subject
Date: 2006-04-18 02:41 pm (UTC)Множество Рассела просто не конструируется по факту несогласованности типов.
В моем рассуждении не так. Успешно конструируется некий объект, потом доказывается, что он не является множеством.
no subject
Date: 2006-04-18 04:03 pm (UTC)Верно, но при этом мы получаем уже не "наивную теорию множеств"...
no subject
Date: 2006-04-18 04:41 pm (UTC)А в чем по-вашему, состоит разница? Разве что в том, что я четко оговорил два условия, которые обозвал однозначностью и универсальностью. Мне кажется, они интуитивно подразумевались...
В википедии (ладно, Википедия - не гарантия, но первое, что под руку попало) "В рамках наивной теории множеств множеством считается любой четко определенный набор объектов." В других случаях тоже говорится не очень то четко, что есть множество. Я выдвинул критерий, когда набор объектов является "четко определенным". В общем-то это вроде бы не противоречие с наивной теорией, скорее, вариант ее уточнения.
no subject
Date: 2006-04-19 10:45 am (UTC)В двух деталях:
1) Ты добавил в сигнатуру теории предикат «x — множество», которого там до того не было. В твоей ТМ можно сказать «А — множество» на языке теории, а в НТМ этого предиката нету.
2) Ты предпологаешь, что характеристическое свойство не всегда задаёт множество, а в Наивной Теории чёрным по белому говориться, что каждому свойству соответствует множество. Так уж её /наивную теорию множеств/ Георг Кантор сформулировал, звиняйте.
Но не беспокойся, типизированных теорий множеств тоже уже напридумывали достаточно. Да и даже в ЦМ парадокс Рассела, собственно, решается почти точно, как ты говоришь.
ЦМ, хоть и не типизирована, но содержит пару хитростей.
В Наивной теории множеств ты буковку написал и уже тем самым сказал, что речь идёт о множестве. В ТМ Цермело-Френкеля буквочки бывают только для краткости. На самом деле, чтобы что-то взять, надо это что-то вначале сконструировать с помощью заложенных в теорию операторов. Сумел сконструировать — знач, множество. Нет — сорри.
Язык ТМ ЦФ, помнится мне, содержит шесть операторов:
{} — пустое множество, нульарный.
{a,b} — неупорядаченная пара, бинарный.
U(M) — объединение. Получает аргументом множество множеств, возвращает объединение оных. Унарный.
{x in A| P(x)} — фильтрование. Принимает множество A и строит множество тех его объектов, для которых высказывание P верно. Унарно-логический.
(Помнится, было ещё два оператора, но я их не помню..)
Если ты при помощи этих операторов можешь сконструировать чего-то, то это чего-то автоматически множество. Если не можешь — звиняйте, бананьев немае.
no subject
Date: 2006-04-19 10:49 am (UTC)"странно: жопа есть, а слова нет" :)
чёрным по белому говориться, что каждому свойству соответствует множество
и не уточняется, что допустимо называть "свойством"
в цермело-френкеле угу, еще несколько операторов - функция, декартово произведение, да еще ограничение, обозванное "фундированием"...
no subject
Date: 2006-04-19 10:29 am (UTC)Это я всё прекрасно понимаю. Просто «это — кошка» — это действительно высказывание. А вот «это — множество» — нет. В наивной теории множеств нет такого понятия, как «немножество» вообще.
Когда такое понятие появляется, это уже называется не типизированной теорией множеств.
no subject
Date: 2006-04-19 10:36 am (UTC)no subject
Date: 2006-04-19 10:59 am (UTC):-)
Date: 2006-04-19 11:08 am (UTC)Больной Кантор считает все предметы множествами — либо пустыми, либо состоящими из других множеств, в конце концов раскладывающихся на каком-то уровне на пустые. На более ранней стадии болезни больной Кантор предполагал также наличие «объектов», из которых состоят множества. Сейчас же утверждает, что таковые были лишь примерами для новичков, предназначенные для упрощения понимания теории множеств.