![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Проект "логика для чайников". Параграф 40
Проблема условных высказываний
Для вычисления результата большинства логических операций надо знать только истинность высказываний, но не надо знать точный текст и детальный смысл. Этот факт следует из правил, по которым происходят вычисления:
(X И Y) истинно, когда истинны оба: и X, и Y.
(X ИЛИ Y) истинно, когда истинно X, или Y, или оба.
(X XOR Y) истинно, когда истинно либо X, либо Y, но не оба.
(НЕ X) истинно, когда X ложно.
Как видите, здесь есть ссылки только на истинность, но нет ссылок на смысл, содержание или конкретный текст, который стоит за этими X и Y.
С помощью символа Tr можно записать эти правила строго. Напоминаю, что функция Tr “извлекает” из текста его истинность.
Tr(X И Y) = Tr(X) И Tr(Y)
Tr(X ИЛИ Y) = Tr(X) ИЛИ Tr(Y)
Tr(X XOR Y) = Tr(X) XOR Tr(Y)
Tr(НЕ X) = НЕ Tr(X)
Таким образом, для этих операций “Tr” можно выносить за скобки (или вносить).
Но одна операция не следует этому общему правилу. Я говорю об операции ЕСЛИ...ТО (символ =>>).
Докажем это методом “от противного” (кому лень, можно пропустить формулы).
Напомню, что метод “от противного” заключается в том, чтобы принять временно за истину нечто подозрительное, и вывести из этого что-то явно ложное. Тем самым доказывается, что исходное предположение ложно. В частности, из предположения можно вывести противоречие (противоречия всегда ложны).
Предположим (“противное”), что для этой операции тоже существует правило вынесения за скобки:
Tr(ЕСЛИ X ТО Y) = ЕСЛИ Tr(X) ТО Yr(Y)
Обозначим эту формулу (1).
Пусть A = “вода мокрая”, B = “трава зеленая”. Оба высказывания истинные, то есть: Tr(A) = true, Tr(B) = true.
Высказывание
ЕСЛИ вода мокрая ТО трава зеленая
– ложно, так как эти два факта между собой не связаны. Трава зеленая, но вовсе не потому, что вода мокрая. То есть:
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = false
Обозначим эту формулу (2).
Высказывание
ЕСЛИ вода мокрая ТО вода мокрая
– истинно, так как здесь высказывание обосновывает само себя. То есть:
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = true
Обозначим эту формулу (3).
Теперь осталось объединить все формулы.
Применим формулу (1) к формуле (2):
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = ЕСЛИ Tr(A) ТО Tr(B) = ЕСЛИ true ТО true = false
Применим формулу (1) к формуле (3):
Tr(ЕСЛИ A ТО A) = ЕСЛИ Tr(A) ТО Tr(A) = ЕСЛИ true ТО true = true
Обратите внимание, что у нас получилось в конце этих формул:
ЕСЛИ true ТО true = false
ЕСЛИ true ТО true = true
То есть, одна и та же формула ЕСЛИ true ТО true одновременно истинна и ложна. Это противоречие. Следовательно, вот это исходное допущение (1) было неверно:
Tr(ЕСЛИ X ТО Y) = ЕСЛИ Tr(X) ТО Yr(Y)
Для операции ЕСЛИ...ТО недопустимо вынесение (внесение) Tr за скобки. Чтобы установить истинность высказывания ЕСЛИ X ТО Y, мало знать истинность операндов – надо знать о них что-то еще.
Это приводит к тому, что стандартная схема абстрагирования становится невозможной. Сложно изучать такую операцию формально. В общем случае для установления истинности условных высказываний приходится применять интуицию, что совершенно недопустимо для современной математики. Математические заключения не должны опираться на такой субъективный фактор, как чья-то интуиция.
Так что же делать? Отказаться от изучения вообще? Что-то в этом роде и происходит. В математике исследование условных высказываний “застряло”. Исследуют другие строго формальные операции, весьма близкие по свойствам – материальную, модальную, строгую, релевантную импликацию. Но настоящие условные высказывания – такие, какими они предстают в живом языке, – пока не поддаются глубокому исследованию.
Тем не менее, условные высказывания применяются даже в математике. Если взять книгу какого-нибудь математика, то мы увидим, что он комментирует свои действия, ведет рассуждения на естественном языке, а в доказательствах теорем сплошь и рядом применяет конструкции “если...то”. Фактически при этом математик опирается на интуицию, а не на формальные правила. Как же математики избегают ошибок, возможных из-за того, что интуиция работает у разных людей по-разному?
Ответ прост: они не позволяют своей интуиции слишком “увлекаться”. Используют небольшое количество количество правил, проверенных временем, и не отступают от них ни на шаг. Что это за правила? В предыдущих главах я их перечислял – modus ponens, modus tollens и некоторые другие. Мы не имеем исчерпывающего знания об условных высказываний, но мы все-так знаем о них кое-что – несколько надежных правил. За их пределы выходить не рекомендуется – логика может подвести.
Для вычисления результата большинства логических операций надо знать только истинность высказываний, но не надо знать точный текст и детальный смысл. Этот факт следует из правил, по которым происходят вычисления:
(X И Y) истинно, когда истинны оба: и X, и Y.
(X ИЛИ Y) истинно, когда истинно X, или Y, или оба.
(X XOR Y) истинно, когда истинно либо X, либо Y, но не оба.
(НЕ X) истинно, когда X ложно.
Как видите, здесь есть ссылки только на истинность, но нет ссылок на смысл, содержание или конкретный текст, который стоит за этими X и Y.
С помощью символа Tr можно записать эти правила строго. Напоминаю, что функция Tr “извлекает” из текста его истинность.
Tr(X И Y) = Tr(X) И Tr(Y)
Tr(X ИЛИ Y) = Tr(X) ИЛИ Tr(Y)
Tr(X XOR Y) = Tr(X) XOR Tr(Y)
Tr(НЕ X) = НЕ Tr(X)
Таким образом, для этих операций “Tr” можно выносить за скобки (или вносить).
Но одна операция не следует этому общему правилу. Я говорю об операции ЕСЛИ...ТО (символ =>>).
Докажем это методом “от противного” (кому лень, можно пропустить формулы).
Напомню, что метод “от противного” заключается в том, чтобы принять временно за истину нечто подозрительное, и вывести из этого что-то явно ложное. Тем самым доказывается, что исходное предположение ложно. В частности, из предположения можно вывести противоречие (противоречия всегда ложны).
Предположим (“противное”), что для этой операции тоже существует правило вынесения за скобки:
Tr(ЕСЛИ X ТО Y) = ЕСЛИ Tr(X) ТО Yr(Y)
Обозначим эту формулу (1).
Пусть A = “вода мокрая”, B = “трава зеленая”. Оба высказывания истинные, то есть: Tr(A) = true, Tr(B) = true.
Высказывание
ЕСЛИ вода мокрая ТО трава зеленая
– ложно, так как эти два факта между собой не связаны. Трава зеленая, но вовсе не потому, что вода мокрая. То есть:
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = false
Обозначим эту формулу (2).
Высказывание
ЕСЛИ вода мокрая ТО вода мокрая
– истинно, так как здесь высказывание обосновывает само себя. То есть:
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = true
Обозначим эту формулу (3).
Теперь осталось объединить все формулы.
Применим формулу (1) к формуле (2):
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = ЕСЛИ Tr(A) ТО Tr(B) = ЕСЛИ true ТО true = false
Применим формулу (1) к формуле (3):
Tr(ЕСЛИ A ТО A) = ЕСЛИ Tr(A) ТО Tr(A) = ЕСЛИ true ТО true = true
Обратите внимание, что у нас получилось в конце этих формул:
ЕСЛИ true ТО true = false
ЕСЛИ true ТО true = true
То есть, одна и та же формула ЕСЛИ true ТО true одновременно истинна и ложна. Это противоречие. Следовательно, вот это исходное допущение (1) было неверно:
Tr(ЕСЛИ X ТО Y) = ЕСЛИ Tr(X) ТО Yr(Y)
Для операции ЕСЛИ...ТО недопустимо вынесение (внесение) Tr за скобки. Чтобы установить истинность высказывания ЕСЛИ X ТО Y, мало знать истинность операндов – надо знать о них что-то еще.
Это приводит к тому, что стандартная схема абстрагирования становится невозможной. Сложно изучать такую операцию формально. В общем случае для установления истинности условных высказываний приходится применять интуицию, что совершенно недопустимо для современной математики. Математические заключения не должны опираться на такой субъективный фактор, как чья-то интуиция.
Так что же делать? Отказаться от изучения вообще? Что-то в этом роде и происходит. В математике исследование условных высказываний “застряло”. Исследуют другие строго формальные операции, весьма близкие по свойствам – материальную, модальную, строгую, релевантную импликацию. Но настоящие условные высказывания – такие, какими они предстают в живом языке, – пока не поддаются глубокому исследованию.
Тем не менее, условные высказывания применяются даже в математике. Если взять книгу какого-нибудь математика, то мы увидим, что он комментирует свои действия, ведет рассуждения на естественном языке, а в доказательствах теорем сплошь и рядом применяет конструкции “если...то”. Фактически при этом математик опирается на интуицию, а не на формальные правила. Как же математики избегают ошибок, возможных из-за того, что интуиция работает у разных людей по-разному?
Ответ прост: они не позволяют своей интуиции слишком “увлекаться”. Используют небольшое количество количество правил, проверенных временем, и не отступают от них ни на шаг. Что это за правила? В предыдущих главах я их перечислял – modus ponens, modus tollens и некоторые другие. Мы не имеем исчерпывающего знания об условных высказываний, но мы все-так знаем о них кое-что – несколько надежных правил. За их пределы выходить не рекомендуется – логика может подвести.
no subject
no subject
>Tr(X И Y) = Tr(X) И Tr(Y)
Это доказательства не требует?
no subject
X И Y
чтобы посчитать истинность, надо взять истинность X (то есть Tr(X)), потом взять истинность Y (то есть Tr(Y)) и применить к ним функцию И, которая равна true, когда оба операнда true.
no subject
Мне кажется тут дело в основном в (1)разном контексте и (2)нечеткости. Рассмотрим по порядку.
2. Нечеткость: союз "и" это не всегда логическое "и", то же относится и к другим "операциям". Т.е. под "если А, то Б" часто может подразумеваться "я считаю что предположение А приводит непосредственно к Б в нашем разговоре/контексте" и т.п. Тут вроде и так всё более менее понятно откуда ноги растут, модель она не точная и с этим можно смириться (главное не забываться).
1. О контексте. Суждения бытового уровня расматримаются обычно в каком-то контексте, т.е. с привлечением дополнительной информации. И дело тут не в том есть ли конструкция "если то", просто с ней это видно наиболее ярко. Даже в случае с отвлеченным примером про воду и траву мы находимся в каком-то повседневном контексте.
а) Например, в тексте про метаболизм акул встречается фраза "земля - третья планета от солнца". Естественно читающий скажет "что за бред?!". Хотя наши проблемы с ЕСЛИ тут не при чём.
б) Другой пример. Берём утверждение "если 1=2, то 2+2=5" - с первого взгляда вроде "1=2" и "2+2=5" ничем не связаны кроме ложности. С другой стороны в "математическом контексте" легко можно доказать из первого второе (надеюсь не надо писать как ;) ) Тут кстати также видна субъективность проблемы: кому-то это утверждение может показаться вполне нормальным ))
в) Третий пример. "Если 2+2=5, то я - папа римский". Взяты утверждения из разных контекстов - отсюда и некоторая "бредовость" заключения. С другой стороны можно "свести контексты воедино" - с помощью "доказательства". Например так: "берем 4 папы римских и ставим меня рядом. вот два папы, вот ещё два, соответственно, поскольку 2+2=5, то здесь 5 пап римских, следовательно я тоже папа римский".
Итого: проблема соотношения бытовой импликации и математической это часть более общей проблемы, а именно абстрагировавшись от смысла мы получили модель, которая на примерах может давать "странные" результаты именно в плане подстановки смыслов.
Это мне напомнило историю о том что шар (используя аксиому Цермелло) можно разбить на 4 (или 5, не помню точно) множеств из которых с помощью паралельного переноса и поворота можно составить 2 точно таких же шара. Тоже "странный" результат, но с другой стороны эти множества неизмеримы, поэтому не имеют аналога в физическом мире. Т.е. у них нет объема/массы.
no subject
http://psilogic.livejournal.com/201548.html
Среди них выбрал одно (первое и самое важное для логики), которое дальше имею в виду под операцией ЕСЛИ-ТО. Остальные варианты неинтересны.
С вашими примерами я согласен. Действительно, во многих случаях истинность ЕСЛИ X ТО Y зависит от того, знаем ли мы цепочку рассуждений, ведущую от X к Y. Мне этот случай тоже в голову приходил (см. в конце этой страницы "парадокс неизвестного объяснения"). Это проблема логической связи между посылкой и заключением. Если мы не видим связи, это еще не значит, что ее нет. Тогда встает закономерный вопрос - считать ли такие конструкции ложными или лучше считать, что у них неопределенная истинность как у конструкции X ИЛИ Y, когда мы не знаем истинности X.
no subject
"
1. Условное “если”.
Если X истинно, то Y тоже непременно истинно, а если X не истинно, тогда для Y ограничений нет.
"
предполагает что "если X то Y" это именно "Y или не X". т.е. никаких дополнительных смыслов, и следовательно никаких несоответствий с математическим вариантом. Т.е. "если вода мокрая, то трава зеленая" = "трава зеленая или вода не мокрая". А все глюки находятся за пределами пункта 1, т.е. в других смыслах "если". Этот вывод подразумевался?
Может тогда эти смыслы отделять? Переформулировать высказывания вроде "Y выводится из X в логике Л" где "логика Л" некоторые правила вывода + аксиомы. Будет в результате меньше путаницы и никаких парадоксов. а "выводится" как раз и есть то самое "объяснение". если мы находим его в заданной логике - высказывание истино, если доказываем что такое не возможно - ложно. пока оно неизвестно - истиность неизвестна.
З.Ы. лирическое отступление: я тут смотрю по коментах Вы критикуете философов за путаницы... Я в принципе согласен. Хочу только сделать замечание что есть люди, которые точно так же отрицают предыдущую философию и занимаются разбором языка аналогичным образом. Их тем не менее называют философами. (в частности позитивисты, тот же Рассел). Как насчет них?
no subject
Это необходимое условие, но не достаточное. Если верно "Y или не X", тогда _может_ быть верно и "если X, то Y". Но может и не быть. Если "Y или не X" ложно, тогда "если X, то Y" точно ложно. Таблица истинности:
X Y если X то Y
0 0 ?
0 1 ?
1 0 0
1 1 ?
А у философов действительно иногда неплохо получается критиковать других философов. Но чего стоит область, которую удобно только критиковать, но нет ничего позитивного? :)
no subject
Про философов: ну дык не зря ж Рассел и прочие позитивистами называются )) По мне так уже хотя-бы отделение науки от прочего весьма позитивно.
no subject
no subject
no subject
оффтоп; 404