Проект "логика для чайников". Параграф 40
Oct. 19th, 2007 04:59 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
psilogicПроблема условных высказываний
Для вычисления результата большинства логических операций надо знать только истинность высказываний, но не надо знать точный текст и детальный смысл. Этот факт следует из правил, по которым происходят вычисления:
(X И Y) истинно, когда истинны оба: и X, и Y.
(X ИЛИ Y) истинно, когда истинно X, или Y, или оба.
(X XOR Y) истинно, когда истинно либо X, либо Y, но не оба.
(НЕ X) истинно, когда X ложно.
Как видите, здесь есть ссылки только на истинность, но нет ссылок на смысл, содержание или конкретный текст, который стоит за этими X и Y.
С помощью символа Tr можно записать эти правила строго. Напоминаю, что функция Tr “извлекает” из текста его истинность.
Tr(X И Y) = Tr(X) И Tr(Y)
Tr(X ИЛИ Y) = Tr(X) ИЛИ Tr(Y)
Tr(X XOR Y) = Tr(X) XOR Tr(Y)
Tr(НЕ X) = НЕ Tr(X)
Таким образом, для этих операций “Tr” можно выносить за скобки (или вносить).
Но одна операция не следует этому общему правилу. Я говорю об операции ЕСЛИ...ТО (символ =>>).
Докажем это методом “от противного” (кому лень, можно пропустить формулы).
Напомню, что метод “от противного” заключается в том, чтобы принять временно за истину нечто подозрительное, и вывести из этого что-то явно ложное. Тем самым доказывается, что исходное предположение ложно. В частности, из предположения можно вывести противоречие (противоречия всегда ложны).
Предположим (“противное”), что для этой операции тоже существует правило вынесения за скобки:
Tr(ЕСЛИ X ТО Y) = ЕСЛИ Tr(X) ТО Yr(Y)
Обозначим эту формулу (1).
Пусть A = “вода мокрая”, B = “трава зеленая”. Оба высказывания истинные, то есть: Tr(A) = true, Tr(B) = true.
Высказывание
ЕСЛИ вода мокрая ТО трава зеленая
– ложно, так как эти два факта между собой не связаны. Трава зеленая, но вовсе не потому, что вода мокрая. То есть:
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = false
Обозначим эту формулу (2).
Высказывание
ЕСЛИ вода мокрая ТО вода мокрая
– истинно, так как здесь высказывание обосновывает само себя. То есть:
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = true
Обозначим эту формулу (3).
Теперь осталось объединить все формулы.
Применим формулу (1) к формуле (2):
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = ЕСЛИ Tr(A) ТО Tr(B) = ЕСЛИ true ТО true = false
Применим формулу (1) к формуле (3):
Tr(ЕСЛИ A ТО A) = ЕСЛИ Tr(A) ТО Tr(A) = ЕСЛИ true ТО true = true
Обратите внимание, что у нас получилось в конце этих формул:
ЕСЛИ true ТО true = false
ЕСЛИ true ТО true = true
То есть, одна и та же формула ЕСЛИ true ТО true одновременно истинна и ложна. Это противоречие. Следовательно, вот это исходное допущение (1) было неверно:
Tr(ЕСЛИ X ТО Y) = ЕСЛИ Tr(X) ТО Yr(Y)
Для операции ЕСЛИ...ТО недопустимо вынесение (внесение) Tr за скобки. Чтобы установить истинность высказывания ЕСЛИ X ТО Y, мало знать истинность операндов – надо знать о них что-то еще.
Это приводит к тому, что стандартная схема абстрагирования становится невозможной. Сложно изучать такую операцию формально. В общем случае для установления истинности условных высказываний приходится применять интуицию, что совершенно недопустимо для современной математики. Математические заключения не должны опираться на такой субъективный фактор, как чья-то интуиция.
Так что же делать? Отказаться от изучения вообще? Что-то в этом роде и происходит. В математике исследование условных высказываний “застряло”. Исследуют другие строго формальные операции, весьма близкие по свойствам – материальную, модальную, строгую, релевантную импликацию. Но настоящие условные высказывания – такие, какими они предстают в живом языке, – пока не поддаются глубокому исследованию.
Тем не менее, условные высказывания применяются даже в математике. Если взять книгу какого-нибудь математика, то мы увидим, что он комментирует свои действия, ведет рассуждения на естественном языке, а в доказательствах теорем сплошь и рядом применяет конструкции “если...то”. Фактически при этом математик опирается на интуицию, а не на формальные правила. Как же математики избегают ошибок, возможных из-за того, что интуиция работает у разных людей по-разному?
Ответ прост: они не позволяют своей интуиции слишком “увлекаться”. Используют небольшое количество количество правил, проверенных временем, и не отступают от них ни на шаг. Что это за правила? В предыдущих главах я их перечислял – modus ponens, modus tollens и некоторые другие. Мы не имеем исчерпывающего знания об условных высказываний, но мы все-так знаем о них кое-что – несколько надежных правил. За их пределы выходить не рекомендуется – логика может подвести.
Для вычисления результата большинства логических операций надо знать только истинность высказываний, но не надо знать точный текст и детальный смысл. Этот факт следует из правил, по которым происходят вычисления:
(X И Y) истинно, когда истинны оба: и X, и Y.
(X ИЛИ Y) истинно, когда истинно X, или Y, или оба.
(X XOR Y) истинно, когда истинно либо X, либо Y, но не оба.
(НЕ X) истинно, когда X ложно.
Как видите, здесь есть ссылки только на истинность, но нет ссылок на смысл, содержание или конкретный текст, который стоит за этими X и Y.
С помощью символа Tr можно записать эти правила строго. Напоминаю, что функция Tr “извлекает” из текста его истинность.
Tr(X И Y) = Tr(X) И Tr(Y)
Tr(X ИЛИ Y) = Tr(X) ИЛИ Tr(Y)
Tr(X XOR Y) = Tr(X) XOR Tr(Y)
Tr(НЕ X) = НЕ Tr(X)
Таким образом, для этих операций “Tr” можно выносить за скобки (или вносить).
Но одна операция не следует этому общему правилу. Я говорю об операции ЕСЛИ...ТО (символ =>>).
Докажем это методом “от противного” (кому лень, можно пропустить формулы).
Напомню, что метод “от противного” заключается в том, чтобы принять временно за истину нечто подозрительное, и вывести из этого что-то явно ложное. Тем самым доказывается, что исходное предположение ложно. В частности, из предположения можно вывести противоречие (противоречия всегда ложны).
Предположим (“противное”), что для этой операции тоже существует правило вынесения за скобки:
Tr(ЕСЛИ X ТО Y) = ЕСЛИ Tr(X) ТО Yr(Y)
Обозначим эту формулу (1).
Пусть A = “вода мокрая”, B = “трава зеленая”. Оба высказывания истинные, то есть: Tr(A) = true, Tr(B) = true.
Высказывание
ЕСЛИ вода мокрая ТО трава зеленая
– ложно, так как эти два факта между собой не связаны. Трава зеленая, но вовсе не потому, что вода мокрая. То есть:
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = false
Обозначим эту формулу (2).
Высказывание
ЕСЛИ вода мокрая ТО вода мокрая
– истинно, так как здесь высказывание обосновывает само себя. То есть:
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = true
Обозначим эту формулу (3).
Теперь осталось объединить все формулы.
Применим формулу (1) к формуле (2):
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = ЕСЛИ Tr(A) ТО Tr(B) = ЕСЛИ true ТО true = false
Применим формулу (1) к формуле (3):
Tr(ЕСЛИ A ТО A) = ЕСЛИ Tr(A) ТО Tr(A) = ЕСЛИ true ТО true = true
Обратите внимание, что у нас получилось в конце этих формул:
ЕСЛИ true ТО true = false
ЕСЛИ true ТО true = true
То есть, одна и та же формула ЕСЛИ true ТО true одновременно истинна и ложна. Это противоречие. Следовательно, вот это исходное допущение (1) было неверно:
Tr(ЕСЛИ X ТО Y) = ЕСЛИ Tr(X) ТО Yr(Y)
Для операции ЕСЛИ...ТО недопустимо вынесение (внесение) Tr за скобки. Чтобы установить истинность высказывания ЕСЛИ X ТО Y, мало знать истинность операндов – надо знать о них что-то еще.
Это приводит к тому, что стандартная схема абстрагирования становится невозможной. Сложно изучать такую операцию формально. В общем случае для установления истинности условных высказываний приходится применять интуицию, что совершенно недопустимо для современной математики. Математические заключения не должны опираться на такой субъективный фактор, как чья-то интуиция.
Так что же делать? Отказаться от изучения вообще? Что-то в этом роде и происходит. В математике исследование условных высказываний “застряло”. Исследуют другие строго формальные операции, весьма близкие по свойствам – материальную, модальную, строгую, релевантную импликацию. Но настоящие условные высказывания – такие, какими они предстают в живом языке, – пока не поддаются глубокому исследованию.
Тем не менее, условные высказывания применяются даже в математике. Если взять книгу какого-нибудь математика, то мы увидим, что он комментирует свои действия, ведет рассуждения на естественном языке, а в доказательствах теорем сплошь и рядом применяет конструкции “если...то”. Фактически при этом математик опирается на интуицию, а не на формальные правила. Как же математики избегают ошибок, возможных из-за того, что интуиция работает у разных людей по-разному?
Ответ прост: они не позволяют своей интуиции слишком “увлекаться”. Используют небольшое количество количество правил, проверенных временем, и не отступают от них ни на шаг. Что это за правила? В предыдущих главах я их перечислял – modus ponens, modus tollens и некоторые другие. Мы не имеем исчерпывающего знания об условных высказываний, но мы все-так знаем о них кое-что – несколько надежных правил. За их пределы выходить не рекомендуется – логика может подвести.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-10-19 02:44 pm (UTC)no subject
Date: 2007-10-19 07:55 pm (UTC)>Tr(X И Y) = Tr(X) И Tr(Y)
Это доказательства не требует?
no subject
Date: 2007-10-19 10:44 pm (UTC)X И Y
чтобы посчитать истинность, надо взять истинность X (то есть Tr(X)), потом взять истинность Y (то есть Tr(Y)) и применить к ним функцию И, которая равна true, когда оба операнда true.
no subject
Date: 2007-10-20 03:02 pm (UTC)Мне кажется тут дело в основном в (1)разном контексте и (2)нечеткости. Рассмотрим по порядку.
2. Нечеткость: союз "и" это не всегда логическое "и", то же относится и к другим "операциям". Т.е. под "если А, то Б" часто может подразумеваться "я считаю что предположение А приводит непосредственно к Б в нашем разговоре/контексте" и т.п. Тут вроде и так всё более менее понятно откуда ноги растут, модель она не точная и с этим можно смириться (главное не забываться).
1. О контексте. Суждения бытового уровня расматримаются обычно в каком-то контексте, т.е. с привлечением дополнительной информации. И дело тут не в том есть ли конструкция "если то", просто с ней это видно наиболее ярко. Даже в случае с отвлеченным примером про воду и траву мы находимся в каком-то повседневном контексте.
а) Например, в тексте про метаболизм акул встречается фраза "земля - третья планета от солнца". Естественно читающий скажет "что за бред?!". Хотя наши проблемы с ЕСЛИ тут не при чём.
б) Другой пример. Берём утверждение "если 1=2, то 2+2=5" - с первого взгляда вроде "1=2" и "2+2=5" ничем не связаны кроме ложности. С другой стороны в "математическом контексте" легко можно доказать из первого второе (надеюсь не надо писать как ;) ) Тут кстати также видна субъективность проблемы: кому-то это утверждение может показаться вполне нормальным ))
в) Третий пример. "Если 2+2=5, то я - папа римский". Взяты утверждения из разных контекстов - отсюда и некоторая "бредовость" заключения. С другой стороны можно "свести контексты воедино" - с помощью "доказательства". Например так: "берем 4 папы римских и ставим меня рядом. вот два папы, вот ещё два, соответственно, поскольку 2+2=5, то здесь 5 пап римских, следовательно я тоже папа римский".
Итого: проблема соотношения бытовой импликации и математической это часть более общей проблемы, а именно абстрагировавшись от смысла мы получили модель, которая на примерах может давать "странные" результаты именно в плане подстановки смыслов.
Это мне напомнило историю о том что шар (используя аксиому Цермелло) можно разбить на 4 (или 5, не помню точно) множеств из которых с помощью паралельного переноса и поворота можно составить 2 точно таких же шара. Тоже "странный" результат, но с другой стороны эти множества неизмеримы, поэтому не имеют аналога в физическом мире. Т.е. у них нет объема/массы.
no subject
Date: 2007-10-20 03:47 pm (UTC)http://psilogic.livejournal.com/201548.html
Среди них выбрал одно (первое и самое важное для логики), которое дальше имею в виду под операцией ЕСЛИ-ТО. Остальные варианты неинтересны.
С вашими примерами я согласен. Действительно, во многих случаях истинность ЕСЛИ X ТО Y зависит от того, знаем ли мы цепочку рассуждений, ведущую от X к Y. Мне этот случай тоже в голову приходил (см. в конце этой страницы "парадокс неизвестного объяснения"). Это проблема логической связи между посылкой и заключением. Если мы не видим связи, это еще не значит, что ее нет. Тогда встает закономерный вопрос - считать ли такие конструкции ложными или лучше считать, что у них неопределенная истинность как у конструкции X ИЛИ Y, когда мы не знаем истинности X.
no subject
Date: 2007-10-20 07:08 pm (UTC)"
1. Условное “если”.
Если X истинно, то Y тоже непременно истинно, а если X не истинно, тогда для Y ограничений нет.
"
предполагает что "если X то Y" это именно "Y или не X". т.е. никаких дополнительных смыслов, и следовательно никаких несоответствий с математическим вариантом. Т.е. "если вода мокрая, то трава зеленая" = "трава зеленая или вода не мокрая". А все глюки находятся за пределами пункта 1, т.е. в других смыслах "если". Этот вывод подразумевался?
Может тогда эти смыслы отделять? Переформулировать высказывания вроде "Y выводится из X в логике Л" где "логика Л" некоторые правила вывода + аксиомы. Будет в результате меньше путаницы и никаких парадоксов. а "выводится" как раз и есть то самое "объяснение". если мы находим его в заданной логике - высказывание истино, если доказываем что такое не возможно - ложно. пока оно неизвестно - истиность неизвестна.
З.Ы. лирическое отступление: я тут смотрю по коментах Вы критикуете философов за путаницы... Я в принципе согласен. Хочу только сделать замечание что есть люди, которые точно так же отрицают предыдущую философию и занимаются разбором языка аналогичным образом. Их тем не менее называют философами. (в частности позитивисты, тот же Рассел). Как насчет них?
no subject
Date: 2007-10-22 09:38 am (UTC)Это необходимое условие, но не достаточное. Если верно "Y или не X", тогда _может_ быть верно и "если X, то Y". Но может и не быть. Если "Y или не X" ложно, тогда "если X, то Y" точно ложно. Таблица истинности:
X Y если X то Y
0 0 ?
0 1 ?
1 0 0
1 1 ?
А у философов действительно иногда неплохо получается критиковать других философов. Но чего стоит область, которую удобно только критиковать, но нет ничего позитивного? :)
no subject
Date: 2007-10-22 09:48 am (UTC)Про философов: ну дык не зря ж Рассел и прочие позитивистами называются )) По мне так уже хотя-бы отделение науки от прочего весьма позитивно.
no subject
Date: 2007-10-22 09:58 am (UTC)no subject
Date: 2007-10-22 10:04 am (UTC)no subject
Date: 2007-10-20 03:04 pm (UTC)оффтоп; 404
Date: 2007-10-20 07:31 pm (UTC)