![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Проект "логика для чайников". Параграф 40
Проблема условных высказываний
Для вычисления результата большинства логических операций надо знать только истинность высказываний, но не надо знать точный текст и детальный смысл. Этот факт следует из правил, по которым происходят вычисления:
(X И Y) истинно, когда истинны оба: и X, и Y.
(X ИЛИ Y) истинно, когда истинно X, или Y, или оба.
(X XOR Y) истинно, когда истинно либо X, либо Y, но не оба.
(НЕ X) истинно, когда X ложно.
Как видите, здесь есть ссылки только на истинность, но нет ссылок на смысл, содержание или конкретный текст, который стоит за этими X и Y.
С помощью символа Tr можно записать эти правила строго. Напоминаю, что функция Tr “извлекает” из текста его истинность.
Tr(X И Y) = Tr(X) И Tr(Y)
Tr(X ИЛИ Y) = Tr(X) ИЛИ Tr(Y)
Tr(X XOR Y) = Tr(X) XOR Tr(Y)
Tr(НЕ X) = НЕ Tr(X)
Таким образом, для этих операций “Tr” можно выносить за скобки (или вносить).
Но одна операция не следует этому общему правилу. Я говорю об операции ЕСЛИ...ТО (символ =>>).
Докажем это методом “от противного” (кому лень, можно пропустить формулы).
Напомню, что метод “от противного” заключается в том, чтобы принять временно за истину нечто подозрительное, и вывести из этого что-то явно ложное. Тем самым доказывается, что исходное предположение ложно. В частности, из предположения можно вывести противоречие (противоречия всегда ложны).
Предположим (“противное”), что для этой операции тоже существует правило вынесения за скобки:
Tr(ЕСЛИ X ТО Y) = ЕСЛИ Tr(X) ТО Yr(Y)
Обозначим эту формулу (1).
Пусть A = “вода мокрая”, B = “трава зеленая”. Оба высказывания истинные, то есть: Tr(A) = true, Tr(B) = true.
Высказывание
ЕСЛИ вода мокрая ТО трава зеленая
– ложно, так как эти два факта между собой не связаны. Трава зеленая, но вовсе не потому, что вода мокрая. То есть:
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = false
Обозначим эту формулу (2).
Высказывание
ЕСЛИ вода мокрая ТО вода мокрая
– истинно, так как здесь высказывание обосновывает само себя. То есть:
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = true
Обозначим эту формулу (3).
Теперь осталось объединить все формулы.
Применим формулу (1) к формуле (2):
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = ЕСЛИ Tr(A) ТО Tr(B) = ЕСЛИ true ТО true = false
Применим формулу (1) к формуле (3):
Tr(ЕСЛИ A ТО A) = ЕСЛИ Tr(A) ТО Tr(A) = ЕСЛИ true ТО true = true
Обратите внимание, что у нас получилось в конце этих формул:
ЕСЛИ true ТО true = false
ЕСЛИ true ТО true = true
То есть, одна и та же формула ЕСЛИ true ТО true одновременно истинна и ложна. Это противоречие. Следовательно, вот это исходное допущение (1) было неверно:
Tr(ЕСЛИ X ТО Y) = ЕСЛИ Tr(X) ТО Yr(Y)
Для операции ЕСЛИ...ТО недопустимо вынесение (внесение) Tr за скобки. Чтобы установить истинность высказывания ЕСЛИ X ТО Y, мало знать истинность операндов – надо знать о них что-то еще.
Это приводит к тому, что стандартная схема абстрагирования становится невозможной. Сложно изучать такую операцию формально. В общем случае для установления истинности условных высказываний приходится применять интуицию, что совершенно недопустимо для современной математики. Математические заключения не должны опираться на такой субъективный фактор, как чья-то интуиция.
Так что же делать? Отказаться от изучения вообще? Что-то в этом роде и происходит. В математике исследование условных высказываний “застряло”. Исследуют другие строго формальные операции, весьма близкие по свойствам – материальную, модальную, строгую, релевантную импликацию. Но настоящие условные высказывания – такие, какими они предстают в живом языке, – пока не поддаются глубокому исследованию.
Тем не менее, условные высказывания применяются даже в математике. Если взять книгу какого-нибудь математика, то мы увидим, что он комментирует свои действия, ведет рассуждения на естественном языке, а в доказательствах теорем сплошь и рядом применяет конструкции “если...то”. Фактически при этом математик опирается на интуицию, а не на формальные правила. Как же математики избегают ошибок, возможных из-за того, что интуиция работает у разных людей по-разному?
Ответ прост: они не позволяют своей интуиции слишком “увлекаться”. Используют небольшое количество количество правил, проверенных временем, и не отступают от них ни на шаг. Что это за правила? В предыдущих главах я их перечислял – modus ponens, modus tollens и некоторые другие. Мы не имеем исчерпывающего знания об условных высказываний, но мы все-так знаем о них кое-что – несколько надежных правил. За их пределы выходить не рекомендуется – логика может подвести.
Для вычисления результата большинства логических операций надо знать только истинность высказываний, но не надо знать точный текст и детальный смысл. Этот факт следует из правил, по которым происходят вычисления:
(X И Y) истинно, когда истинны оба: и X, и Y.
(X ИЛИ Y) истинно, когда истинно X, или Y, или оба.
(X XOR Y) истинно, когда истинно либо X, либо Y, но не оба.
(НЕ X) истинно, когда X ложно.
Как видите, здесь есть ссылки только на истинность, но нет ссылок на смысл, содержание или конкретный текст, который стоит за этими X и Y.
С помощью символа Tr можно записать эти правила строго. Напоминаю, что функция Tr “извлекает” из текста его истинность.
Tr(X И Y) = Tr(X) И Tr(Y)
Tr(X ИЛИ Y) = Tr(X) ИЛИ Tr(Y)
Tr(X XOR Y) = Tr(X) XOR Tr(Y)
Tr(НЕ X) = НЕ Tr(X)
Таким образом, для этих операций “Tr” можно выносить за скобки (или вносить).
Но одна операция не следует этому общему правилу. Я говорю об операции ЕСЛИ...ТО (символ =>>).
Докажем это методом “от противного” (кому лень, можно пропустить формулы).
Напомню, что метод “от противного” заключается в том, чтобы принять временно за истину нечто подозрительное, и вывести из этого что-то явно ложное. Тем самым доказывается, что исходное предположение ложно. В частности, из предположения можно вывести противоречие (противоречия всегда ложны).
Предположим (“противное”), что для этой операции тоже существует правило вынесения за скобки:
Tr(ЕСЛИ X ТО Y) = ЕСЛИ Tr(X) ТО Yr(Y)
Обозначим эту формулу (1).
Пусть A = “вода мокрая”, B = “трава зеленая”. Оба высказывания истинные, то есть: Tr(A) = true, Tr(B) = true.
Высказывание
ЕСЛИ вода мокрая ТО трава зеленая
– ложно, так как эти два факта между собой не связаны. Трава зеленая, но вовсе не потому, что вода мокрая. То есть:
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = false
Обозначим эту формулу (2).
Высказывание
ЕСЛИ вода мокрая ТО вода мокрая
– истинно, так как здесь высказывание обосновывает само себя. То есть:
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = true
Обозначим эту формулу (3).
Теперь осталось объединить все формулы.
Применим формулу (1) к формуле (2):
Tr(ЕСЛИ A ТО B) = ЕСЛИ Tr(A) ТО Tr(B) = ЕСЛИ true ТО true = false
Применим формулу (1) к формуле (3):
Tr(ЕСЛИ A ТО A) = ЕСЛИ Tr(A) ТО Tr(A) = ЕСЛИ true ТО true = true
Обратите внимание, что у нас получилось в конце этих формул:
ЕСЛИ true ТО true = false
ЕСЛИ true ТО true = true
То есть, одна и та же формула ЕСЛИ true ТО true одновременно истинна и ложна. Это противоречие. Следовательно, вот это исходное допущение (1) было неверно:
Tr(ЕСЛИ X ТО Y) = ЕСЛИ Tr(X) ТО Yr(Y)
Для операции ЕСЛИ...ТО недопустимо вынесение (внесение) Tr за скобки. Чтобы установить истинность высказывания ЕСЛИ X ТО Y, мало знать истинность операндов – надо знать о них что-то еще.
Это приводит к тому, что стандартная схема абстрагирования становится невозможной. Сложно изучать такую операцию формально. В общем случае для установления истинности условных высказываний приходится применять интуицию, что совершенно недопустимо для современной математики. Математические заключения не должны опираться на такой субъективный фактор, как чья-то интуиция.
Так что же делать? Отказаться от изучения вообще? Что-то в этом роде и происходит. В математике исследование условных высказываний “застряло”. Исследуют другие строго формальные операции, весьма близкие по свойствам – материальную, модальную, строгую, релевантную импликацию. Но настоящие условные высказывания – такие, какими они предстают в живом языке, – пока не поддаются глубокому исследованию.
Тем не менее, условные высказывания применяются даже в математике. Если взять книгу какого-нибудь математика, то мы увидим, что он комментирует свои действия, ведет рассуждения на естественном языке, а в доказательствах теорем сплошь и рядом применяет конструкции “если...то”. Фактически при этом математик опирается на интуицию, а не на формальные правила. Как же математики избегают ошибок, возможных из-за того, что интуиция работает у разных людей по-разному?
Ответ прост: они не позволяют своей интуиции слишком “увлекаться”. Используют небольшое количество количество правил, проверенных временем, и не отступают от них ни на шаг. Что это за правила? В предыдущих главах я их перечислял – modus ponens, modus tollens и некоторые другие. Мы не имеем исчерпывающего знания об условных высказываний, но мы все-так знаем о них кое-что – несколько надежных правил. За их пределы выходить не рекомендуется – логика может подвести.
no subject