Хана импликации :)

[psilogic]

На одном форуме нашел очередной "парадокс" импликации. Самый убойный из всех, что я знаю.

Рассмотрим утверждение:

"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"

Это утверждение истинное во всех смыслах: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически всегда стоит пасмурная погода (ну кроме редких случаев "слепого дождика").

Переведем это на язык логики с импликацией. "Неправда, что" переводится операцией отрицания. Все утверждение формализуется как ~(A => B), где
A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.

~(A => B) = true

Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false. Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда. Очевидно, что это противоречит реальности.

Comments

[nefedor.livejournal.com]

Это не отсебятина, а закон логики предикатов

Во-певых, Вы выводите формулу в заглавном сообщении без кванторов, а затем вдруг начинаете их использовать или неявно подразумевать. Из-за этого Вы смешиваете интерпретации первого и второго случая, из-за чего и вылезает мнимое противоречие.
Вы говорите что предикаты Вам не нужны так как ∀x A(x) |- A(x), но тут Вы делаете неверный вывод. Действительнно, ∀x A(x) |- A(x), но это это если доказано что ∀x A(x) = true, в то время как у нас оно как раз ложь, и избавиться от квантора таким образом нельзя.

А может, обойдемся без "различных интерпретаций"? Задачка интересна в первоначальном варианте, условия менять не надо.

А давайте не давайте. :)
Условий никто не меняет, они просто сформулированы так, что допускают различные понимания, значит мы вольны в выборе.

Нет. Он мог заявить это и без этого.

Ну-ка расскажите-ка как это он мог? :)
Вот именно что из-за того что там ЕСЛИ а не И, он и не мог.

[nefedor.livejournal.com]

Стоп. Вы отрицание пронесли внутрь квантора, а квантор не поменяли. Ошибка.

[nefedor.livejournal.com]

Вот и она, ошибка формализации.
~∀x:P(x) и ∀x:~P(x) это две большие разницы.
Из первой не выводимо противоречие, из второй выводимо.
Так как всеобщность звпрятана во фразе про P(x), то очевидно что именно первая формализация правильна.
Ваша фраза "было дано ~P(x) при произвольно заданном x" ошибочна - этого как раз "для произвольного фиксированного х" не дано.

[inkelyad.livejournal.com]

Начнем заново.

psilogic пытается показать, что наивная формализация утверждения
"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"
приводит к странным результатам.

Вот только весь параграф
"Это утверждение истинное: действительно, пасмурная погода не всегда
сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически
всегда стоит пасмурная погода."
все портит: ТАК объясняется истинность при понимании "~∀ x: P(x)".

После этого мы успешно забываем, что мы таки знаем и имеем использовать правильный вариант формализации и работаем с плохим.

Отсюда и парадокс.

[inkelyad.livejournal.com]

Как это будет выглядеть, если так не жульничать:

Мне:
Рассмотрим утверждение:
"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"

Я:
Наивно формализую в виде

A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
высказывание о погоде имеет вид
~(A => B) (1)

Мне:
Это утверждение истинное: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем.

Я:
наивно формализую и это тоже.

пасмурная погода не всегда сопровождается дождем
бывает пасмурный и не дождливый день
(cуществует x0, что A(x0) и не B(x0)) (2)
(2) истинно из опыта
(существует x0, что A(x0) и не B(x0)) = true

А после этого долго пытаюсь понять, как из (2) вывести (1)

Мне:
Высказывание (1) истинно, согласно рассуждениям выше.
~(A => B) = true

Я:
Минуточку, у меня есть (2) = true, но так до сих пор и не вышло (2)=>(1).

[psilogic.livejournal.com]

Да никто не жульничает, не обзывайся, сам дурак :)

(1)
либо
a) дано по условию,
либо
б) принимается вами интуитивно как носителем русского языка,
либо
в) выводится из (2) по правилу вывода:
если существует хотя бы одна комбинация x* свободных переменных из A и B, для которой A(x*) = true и B(x*) = false, тогда A => B ложно.

Если вы не принимаете одно из а), б), в), то мое рассуждение для вас не годится.

[psilogic.livejournal.com]

*устало*

читайте комменты. первая формализация называется strict implication...

[psilogic.livejournal.com]

я ничего никуда не вносил, просто тупо поставил квантор

[psilogic.livejournal.com]

подумайте еще немного сами - у меня сейчас все ответы только матерные, а вас уважаю, обижать не хочу...

[nefedor.livejournal.com]

Вы знаете, я думал когда учился на мехмате. Так что лучше подумайте Вы.

[nefedor.livejournal.com]

Ну и получили соответствующий результат.
Кванторы нужно ставить не тупо, а со смыслом ;)

[nefedor.livejournal.com]

А как называется вторая? Не проще ли сказать, что вторую Вы записали по ошибке?

[psilogic.livejournal.com]

проще для чего - чтобы нефедор перестал придираться? тогда проще вовсе не отечать :)))
вторая - называется material implication... если без квантора. квантор получается по логике предикатов.

[psilogic.livejournal.com]

а... растопыренные пальцы думать мешают... тогда понятно...

[psilogic.livejournal.com]

ну да, примерно так я и делаю. только параграф ничего не портит, он закладывает будущее противоречие :)

кстати, для лучшего понимания, вашей трактовки приведите пожалста 1 пример истинной фразы вида "если ... то ..." и 1 пример ложной?

[nefedor.livejournal.com]

Я, собственно, хочу показать Вам почему здесь нет противоречия. Лично мне проще всего, очевидно, не тратить на это время, если Вам оно не надо. Мне казалось, Вам было надо? Или я неправ?
То что вижу я - что почему-то Вы формализуете "не туда", смешивая несмешиваемое. Мои "придирки" - это желание понять почему Вы так делаете.
Давайте вот что. Если Вам оно надо, распишите пожалуйста математически подробно как оно по-Вашему получается. Возьмите заглавное утверждение и распишите обоснованно (!) все шаги. Так как это у Вас получитья не должно (так как противоречия нет), то я в таком случае попробую найти неверный шаг.
Знаете, у нас логику читал проф. Успенский, тот самый автор известного учебника. Он интересно формулировал определение доказательства. Доказательство - это когда вы что-то объясняете человеку, тот подпрыгивает на месте, и бежит с горящими глазами доказывать это же кому-то другому. Забавно, аллегорично и очень верно, по-моему. Так вот - докажите мне что противоречие есть. Я "играю честно" - стараюсь понять, стараюсь быть объективным. Хотите попробовать?

[nefedor.livejournal.com]

Напротив - мешают думать не мои растопыренные пальцы, а Ваши матерные ответы ;)

[nefedor.livejournal.com]

(а) - нет
(б) - нет
(в) - интереснее.
в) выводится из (2) по правилу вывода:
если существует хотя бы одна комбинация x* свободных переменных из A и B, для которой A(x*) = true и B(x*) = false, тогда A => B ложно.

Интересное правило вывода:
∃x*:~(A(x*)=>B(x*)) |- ∀x:~(A(x)=>B(x))
или если упростить:
∃x*:~F(x*) |- ∀x:~F(x)
То есть, ложность F(x) здесь это отрицание абсолютной истинности (истины при любой интерпретации) то есть наличие (хотя бы) одной ложной интерпретации x*.
Но это значит, что ложное F(x) может вдруг стать истинным при каком-то x=x**, ведь для ложности требуется неистинность при хотя бы одной комбинации свободных переменных. Значит, из ложности F(x) не следует что &forany;x:~F(x). Значит, в этом контексте, вывод о том, что пасмурно ВСЕГДА а дождя нет НИКОГДА - незаконный, так как из ложности не следует всеобщность.
Что и требовалось.

[psilogic.livejournal.com]

я пока не матерюсь - тока обещаю :))))

[psilogic.livejournal.com]

неа, в обычном. перетолковываете смысл слов

[psilogic.livejournal.com]

в самой нижней ветке отвечу

[psilogic.livejournal.com]

[ Интересное правило вывода:
∃x*:~(A(x*)=>B(x*)) |- ∀x:~(A(x)=>B(x)) ]

Почти так. В моей формулировке квантора во правой части нет, но его можно добавить на следующем шаге:

∃x*:~(A(x*)=>B(x*)) |- ~(A(x)=>B(x))
~(A(x)=>B(x)) |- ∀x:~(A(x)=>B(x))

- так что то, что вы написали, тоже правильно.
То, что само это правило некорректно с точки зрения логики предикатов, это (мне) вполне очевидно. Вы в своем рассуждении пытаетесь доказать, что оно некорректно своим способом, а я в своем рассуждении пытаюсь доказать, что оно некорректно другим способом - только и всего. С вашим доказательством я тоже согласен.

Корректное правило вывода выглядело бы так:

∃x*:~(A(x*)=>B(x*)) |- ~∀x:(A(x)=>B(x))

Разница здесь заключается в том, как формализовать конструкции вида если... то. В некорректном варианте используется формализация по схеме "material implication":

если A(x) то B(x) = A(x) =>B(x)

В корректном варианте используется формализация, по схеме "strict implication" (с некоторыми оговорками о "возможных мирах"):

если A(x) то B(x) = ∀x:A(x) =>B(x)

Эта формализация в данном примере не приводит к парадоксу, но приводит к другим парадоксам в других примерах.

В свое время я придумал еще и такую формализацию, которая еще реже приводит к парадоксам:

если A(x) то B(x) = ∃x:A(x) & ∃x:~B(x) & ~∃x:(A(x) & ~B(x))
(то есть A бывает истинно, B бывает ложно, но не одновременно)
либо что то же самое:
если A(x) то B(x) = ∃x:A(x) & ∃x:~B(x) & ∀x:(A(x)=>B(x))

Эта формализация также не требует понятия возможных миров.

[psilogic.livejournal.com]

Что касается моего доказательства "по шагам", то оно выглядит так:
Применяем правило вывода, получаем:
∀x:~(A(x)=>B(x))
Берем конкретное x0, для него будет истинно:
~(A(x0)=>B(x0))
Или, что то же самое, ложно
A(x0)=>B(x0)
Или, что то же самое, истинно A(x0) и ложно B(x0). То есть, в произвольно выбранном месте и времени x0 пасмурно, а дождя нет. Но по опыту мы знаем, что это может быть неправдой. Значит, исходное допущение ~(A(x)=>B(x)) - ложно. Но, с другой стороны, оно истинно по правилу вывода. Значит, непорядок с правилом вывода. Но правило вывода - это попытка формализовать если...то... материальной импликацией. Значит, непорядок с формализацией.

[psilogic.livejournal.com]

Да, еще одно важное замечание. У вас квантор по времени и месту, в strict implication квантор по возможным мирам. Т.е. фиксируем время и место, потом рассматриваем возможные миры. Каждый возможный мир - это наш мир, который МОГ получиться с точки зрения нашей логики. Могло так быть, что дождь и пасмурно? Да. Могло так быть, что дождь и НЕ пасмурно? Как правило, нет. Ну и еще два варианта, для которых ответ "Да". Поэтому ∀x:(A(x)=>B(x)) ложно.

[inkelyad.livejournal.com]

[Разница здесь заключается в том, как формализовать конструкции вида если... то.
...
по схеме "material implication":
если A(x) то B(x) = A(x) =>B(x)
..
по схеме "strict implication":
если A(x) то B(x) = ∀x:A(x) =>B(x)
]
Теперь я понял, почему меня все это запутывает. Просто я после фразы "действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем" интуитивно понимаю (Про себя: "контрпримером опровергается квантор всеобщности"), что выбран второй вариант. И дальнейшее использование первого для меня выглядит несколько странно.