Хана импликации :)

[psilogic]

На одном форуме нашел очередной "парадокс" импликации. Самый убойный из всех, что я знаю.

Рассмотрим утверждение:

"Неправда, что если погода пасмурная, то идет дождь"

Это утверждение истинное во всех смыслах: действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем. Обычно верно обратное: при дожде практически всегда стоит пасмурная погода (ну кроме редких случаев "слепого дождика").

Переведем это на язык логики с импликацией. "Неправда, что" переводится операцией отрицания. Все утверждение формализуется как ~(A => B), где
A - истинность высказывания "погода пасмурная",
B - истинность высказывания "идет дождь".
Все высказывание в целом истинно, согласно рассуждениям выше.

~(A => B) = true

Левая часть будет истинна при единственной комбинации истинностей переменных: A = true, B = false. Таким образом, мы доказали, что: погода пасмурная всегда и дождь не идет никогда. Очевидно, что это противоречит реальности.

Comments

[nefedor.livejournal.com]

(а) - нет
(б) - нет
(в) - интереснее.
в) выводится из (2) по правилу вывода:
если существует хотя бы одна комбинация x* свободных переменных из A и B, для которой A(x*) = true и B(x*) = false, тогда A => B ложно.

Интересное правило вывода:
∃x*:~(A(x*)=>B(x*)) |- ∀x:~(A(x)=>B(x))
или если упростить:
∃x*:~F(x*) |- ∀x:~F(x)
То есть, ложность F(x) здесь это отрицание абсолютной истинности (истины при любой интерпретации) то есть наличие (хотя бы) одной ложной интерпретации x*.
Но это значит, что ложное F(x) может вдруг стать истинным при каком-то x=x**, ведь для ложности требуется неистинность при хотя бы одной комбинации свободных переменных. Значит, из ложности F(x) не следует что &forany;x:~F(x). Значит, в этом контексте, вывод о том, что пасмурно ВСЕГДА а дождя нет НИКОГДА - незаконный, так как из ложности не следует всеобщность.
Что и требовалось.

[psilogic.livejournal.com]

[ Интересное правило вывода:
∃x*:~(A(x*)=>B(x*)) |- ∀x:~(A(x)=>B(x)) ]

Почти так. В моей формулировке квантора во правой части нет, но его можно добавить на следующем шаге:

∃x*:~(A(x*)=>B(x*)) |- ~(A(x)=>B(x))
~(A(x)=>B(x)) |- ∀x:~(A(x)=>B(x))

- так что то, что вы написали, тоже правильно.
То, что само это правило некорректно с точки зрения логики предикатов, это (мне) вполне очевидно. Вы в своем рассуждении пытаетесь доказать, что оно некорректно своим способом, а я в своем рассуждении пытаюсь доказать, что оно некорректно другим способом - только и всего. С вашим доказательством я тоже согласен.

Корректное правило вывода выглядело бы так:

∃x*:~(A(x*)=>B(x*)) |- ~∀x:(A(x)=>B(x))

Разница здесь заключается в том, как формализовать конструкции вида если... то. В некорректном варианте используется формализация по схеме "material implication":

если A(x) то B(x) = A(x) =>B(x)

В корректном варианте используется формализация, по схеме "strict implication" (с некоторыми оговорками о "возможных мирах"):

если A(x) то B(x) = ∀x:A(x) =>B(x)

Эта формализация в данном примере не приводит к парадоксу, но приводит к другим парадоксам в других примерах.

В свое время я придумал еще и такую формализацию, которая еще реже приводит к парадоксам:

если A(x) то B(x) = ∃x:A(x) & ∃x:~B(x) & ~∃x:(A(x) & ~B(x))
(то есть A бывает истинно, B бывает ложно, но не одновременно)
либо что то же самое:
если A(x) то B(x) = ∃x:A(x) & ∃x:~B(x) & ∀x:(A(x)=>B(x))

Эта формализация также не требует понятия возможных миров.

[inkelyad.livejournal.com]

[Разница здесь заключается в том, как формализовать конструкции вида если... то.
...
по схеме "material implication":
если A(x) то B(x) = A(x) =>B(x)
..
по схеме "strict implication":
если A(x) то B(x) = ∀x:A(x) =>B(x)
]
Теперь я понял, почему меня все это запутывает. Просто я после фразы "действительно, пасмурная погода не всегда сопровождается дождем" интуитивно понимаю (Про себя: "контрпримером опровергается квантор всеобщности"), что выбран второй вариант. И дальнейшее использование первого для меня выглядит несколько странно.

[psilogic.livejournal.com]

Что касается моего доказательства "по шагам", то оно выглядит так:
Применяем правило вывода, получаем:
∀x:~(A(x)=>B(x))
Берем конкретное x0, для него будет истинно:
~(A(x0)=>B(x0))
Или, что то же самое, ложно
A(x0)=>B(x0)
Или, что то же самое, истинно A(x0) и ложно B(x0). То есть, в произвольно выбранном месте и времени x0 пасмурно, а дождя нет. Но по опыту мы знаем, что это может быть неправдой. Значит, исходное допущение ~(A(x)=>B(x)) - ложно. Но, с другой стороны, оно истинно по правилу вывода. Значит, непорядок с правилом вывода. Но правило вывода - это попытка формализовать если...то... материальной импликацией. Значит, непорядок с формализацией.

[psilogic.livejournal.com]

Да, еще одно важное замечание. У вас квантор по времени и месту, в strict implication квантор по возможным мирам. Т.е. фиксируем время и место, потом рассматриваем возможные миры. Каждый возможный мир - это наш мир, который МОГ получиться с точки зрения нашей логики. Могло так быть, что дождь и пасмурно? Да. Могло так быть, что дождь и НЕ пасмурно? Как правило, нет. Ну и еще два варианта, для которых ответ "Да". Поэтому ∀x:(A(x)=>B(x)) ложно.